2 2

4−x

2

2 2

2

4

−x2

2

2

2

2

z

1

2

1

2

∫∫∫zdv = ∫ dx∫dy

∫zdz = ∫ dx∫

dy =

∫ dx∫

(4

− x2 ) dy =

∫

(4 − x2 )

y

dx =

2

2

2

V

−2 0

0

−2 0

0

−2 0

−2

0

2

2

3

5

2

8x

x

64

64

= ∫(4 − x2 )dx = ∫

(16 −8x2 + x4 )dx =

16x −

+

= 32 − 64

+32 −

+

=

512 .

3

3

5

5

3

15

−2

−2

−2

координаты x и y являются функциями от u и v

x = ϕ(u;v)

(4.1)

y = ψ(u;v)

Функции ϕ и ψ однозначны, непрерывны и имеют непрерывные частные производные

в некоторой области D′. По формулам (4.1) каждой паре чисел

(u;v) D′ соответствует

ν

y

D

Р4

P4′

P3′

Р3

Р1

Р2

P1′

P2′

D′

0

и

0

x

v

y

ν + ∆ν

Pu′

P ′

P4

3

P3

∆s′

∆s

v

P′

P ′

P1

P2

1

2

0

u

u + ∆u u

0

x

n

n

Sn = ∑ f (xi , yi )∆si = ∑F(ui ,vi )∆si′ .

i=1

i=1

Вычислим площадь ∆s криволинейного прямоугольника

P1P2P3P4

через координаты

точек P1, P2, P3, P4 .

P1(x1, y1),

x1 = ϕ(u,v),

y1 = ψ(u,v)

P2 (x2, y2 ),

x2 = ϕ(u + ∆u,v),

y2 = ψ(u + ∆u,v)

P3(x3, y3 )

x3 = ϕ(u + ∆u,v + ∆v),

y3 = ψ(u + ∆u,v + ∆v),

P4 (x4, y4 )

x4 = ϕ(u,v + ∆v),

y4 = ψ(u,v + ∆v).

При нахождении ∆s мы будем считать,

что P1P2 || P4P3, P4P1 || P3P4 . Заменим прираще-

ние функции дифференциалом, тогда координаты примут значения

x1 = ϕ(u,v);

∂ϕ

y1 = ψ(u,v);

∂ψ

x

= ϕ(u,v)

+

∆u;

y

2

= ψ(u,v)

+

∆u;

2

∂u

∂u

x

= ϕ(u,v)

+

∂ϕ

∆u +

∂ϕ

∆v;

y

= ψ(u,v)

+

∂ψ

∆u +

∂ψ

∆v;

3

∂u

∂v

3

∂u

∂v

x

= ϕ(u,v)

+

∂ϕ

∆v;

y

4

= ψ(u,v)

+

∂ψ

∆v.

4

∂v

∂v

При сделанных предположениях можно считать, что четырехугольник P1P2P3P4 явля-

ется параллелограммом и его площадь определяется по формуле

∂ϕ

∂ψ

∂ϕ

∂ψ

∂ϕ

∂ϕ

∆s ≈

(x − x

)(y

− y

2

)− (x − x

)(y

− y )

=

−

∆u∆v =

∂u ∂v

∆u∆v .

3

1

3

3

2

3

1

∂u ∂v ∂v ∂u

∂ψ ∂ψ

∂u

∂v

∂ϕ

∂ϕ

Определитель I =

∂u

∂v

называется определителем Якоби или якобианом.

∂ψ

∂ψ

∂u

∂v

Тогда площадь ∆s ≈

I

∆s′.

Подставим найденную площадь в интегральную сумму

n

n

Sn = ∑ f (xi , yi )∆si = ∑F(ui ,vi )

I

∆si′ .

i=1

i=1

D

D′

x = r cosϕ;

y = r sin ϕ.

Вычислим якобиан.

∂x

∂x

cosϕ

− r sin ϕ

= r(sin2 ϕ + cos2

ϕ)= r .

I =

∂v

∂ϕ

=

∂y

∂y

sin ϕ

r cosϕ

∂v

∂ϕ

Тогда формула для вычисления двойного интеграла в полярной системе координат

примет вид

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (r cosϕ;r sin ϕ)rdϕdr .

D

D′

∫∫ f (x2

2π

2

(r2 cos2 ϕ+ r2 sin2

2π

2

+ y2 )dxdy = ∫ dϕ∫

ϕ)rdr = ∫ dϕ∫r3dr =

D

0

1

0

1

4

2

2π r

2π 15

15

02π =

15π

= ∫

dϕ =

∫

dϕ =

ϕ

.

4

4

4

2

0

0

1

Пусть требуется вычислить тройной интеграл

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz в декартовой систе-

V

ме координат.

Перейдем к новым координатам

u, v, w с помощью подстановки

x = ϕ(u,v, w); y = ψ(u,v, w); z = χ(u,v, w).

Переход к новой системе координат осуществляется по формуле

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (ϕ(u,v, w);ψ(u,v, w);χ(u,v, w))

I

dudvdw , где I – якобиан, кото-

V

V

рый для тройного интеграла имеет вид

∂x

∂x

∂x

∂u

∂v

∂w

I =

∂y

∂y

∂y

.

∂u

∂v

∂w

∂z

∂z

∂z

∂u

∂v

∂w

∂x

∂x

∂x

∂r

∂ϕ

∂z

cosϕ

− r sin ϕ

0

I =

∂y

∂y

∂y

=

sin ϕ

r cosϕ

0

= r ≥ 0 .

∂r

∂ϕ

∂z

0

0

1

∂z

∂z

∂z

∂r

∂ϕ

∂z

β

r (ϕ)

z

(ϕ,r)

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (r cosϕ;r sin ϕ; z)rdrdϕdz = ∫dϕ

2∫rdr

2 ∫ f (r cosϕ;r sin ϕ, z)dz .

V

V ′

α

r1(ϕ)

z1(ϕ,r)

2π

1

1

2π

1

2

1

2π

1

2

1

r

2

cos

2

ϕ+ r

2

sin

2

z

M = ∫ dϕ∫rdr ∫

ϕdz = ∫ dϕ∫r

dr ∫dz = ∫

dϕ∫

r

2

dr =

0

0

r

2

0

0

r

2

0

0

r

2π

1

2π r3

r5

1

1

1 2π

4π

= ∫ dϕ∫

(r2

−r4 )dr = ∫

−

dϕ =

−

∫dϕ =

.

3

5

3

15

5

0

0

0

0

0

Рисунок 4.17

Связь между декартовыми и сферическими координатами выражается соотношениями

x = r cosϕsin θ;

y = r sin ϕsin θ; z = r cosθ; 0 ≤ r < ∞; 0 ≤ ϕ ≤ 2π; 0 ≤ θ ≤ π.

Якобиан для перехода от декартовой системы координат к сферической имеет вид

∂x

∂x

∂x

∂ϕ

∂θ

∂r

I =

∂y

∂y

∂y

= r2 sin θ.

∂ϕ

∂θ

∂r

∂z

∂z

∂z

∂ϕ

∂θ

∂r

Переход от декартовой системы координат к сферической осуществляется по формуле

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (r cosϕsin θ;r sin ϕsin θ;r cosθ)r2 sin θdϕdθdr .

V

V ′

Рассмотрим вычисление тройного интеграла в сферической системе координат.

Пример. Вычислить ∫∫∫zdxdydz , где тело V ограничено сферой x2 + y2 + z = 42 и ко-

V

.

нусом z =

x2 + y2