является правильной в направлении оси Ox. Переменная y изменяется от 0 до 1; переменная x

4.4 Тройной интеграл, его свойства. Геометрический и физический смысл тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат

4.4.1Определение тройного интеграла, его свойства, геометрический

ифизический смысл

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью Σ. Пусть в области V и на ее границе определена некоторая функция u = f (x, y, z). Ра-

зобьем область V произвольным образом на n элементарных тел объемом ∆vi , i =1,n . Выберем произвольный i-й элементарный объем. Возьмем в нем точку Pi = (xi , yi , zi ) и вычислим значение функции u = f (x, y, z) в этой точке ui = f (Pi )= f (xi , yi , zi ). Найденное значение функции умножим на величину объема ∆vi . Так поступим с каждым элементарным объемиком, и полученные произведения просуммируем. Составленная сумма называется n-й интегральной суммой для функции u = f (x, y, z) по телу V

n

Sn = ∑ f (xi , yi , zi )∆vi .

i=1

z

∆νi

Pi

V

Рисунок 4.8

97

Если существует конечный предел n-й интегральной суммы при неограниченном увеличении числа разбиений, при условии, что максимальный диаметр разбиения λ стремится к нулю и этот предел не зависит от способа разбиения тела V на элементарные объемы и от выбора точек Pi , то он называется тройным интегралом от функции f (x, y, z) по телу V.

В этом и состоит физический смысл тройного интеграла.

Если в каждой точке тела V плотность постоянна и равна единице, то масса тела численно равна объему тела V

V = ∫∫∫dv .

V

Геометрический смысл тройного интеграла состоит в следующем: объем тела V чис-

ленно равен тройному интегралу по телу V.

Тройной интеграл обладает следующими свойствами:

1.Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла

∫∫∫kf (x, y, z)dv = k∫∫∫ f (x, y, z)dv .

V V

2. Тройной интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме тройных интегралов от каждого из слагаемых

∫∫∫(f (x, y, z)+ g(x, y, z))dv = ∫∫∫ f (x, y, z)dv + ∫∫∫g(x, y, z)dv .

V V V

3. Если тело V разбито на несколько непересекающихся тел Vi, то тройной интеграл по телу V равен сумме тройных интегралов по телам, на которые разбили тело V

4.Если в каждой точке области V выполняется неравенство f (x, y, z)≥ g(x, y, z), то

∫∫∫f (x, y, z)dv ≥ ∫∫∫g(x, y, z)dv .

V V

5. Если функция f (x, y, z) в замкнутой области V, то внутри области существует точка

P(x, y, z), в которой выполняется равенство ∫∫∫ f (x, y, z)dv = f (x, y, z) V .

V

98

6.Если функция f (x, y, z) непрерывна в области V и m, M соответственно наименьшее

инаибольшее значения функции в области V, то

mV ≤ ∫∫∫ f (x, y, z)dv ≤ MV .

V

4.4.2 Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат

Предположим, что область V удовлетворяет следующим условиям:

1) Всякая прямая, параллельная оси Oz пересекает область не более, чем в двух точ-

ках.

2)Область V проектируется на плоскость xOy в правильную область D.

3)Всякая часть области V, отсеченная плоскостью, параллельной любой из координатных плоскостей, удовлетворяет условиям 1 – 2.

Область V, удовлетворяющая условиям 1 – 3, называется правильной.

Пусть тело V ограничено сверху поверхностью z = z2 (x, y), снизу – z = z1(x, y). Пусть проекцией тела V на плоскость xOy является область D, ограниченная линиями: снизу – линией y = ϕ1(x, y), сверху – линией y = ϕ2 (x, y), по бокам – прямыми x = a и x = b . Трехкратным интегралом от функции f (x, y, z) по телу V называется следующий интеграл

Трехкратный интеграл вычисляется следующим образом: вначале вычисляется внутренний интеграл, затем – средний и в конце – внешний. Вычисление тройного интеграла приводится к вычислению трехкратного интеграла. Для вывода этого воспользуемся физиче-

ским смыслом тройного интеграла.

z

dz

Рисунок 4.9

99

Пусть плотность в каждой точке тела V задана функцией f (x, y, z), тогда масса тела V определяется по формуле

M = ∫∫∫ f (x, y, z)dv .

V

Разобьем область D на n элементарных площадок. Выберем i-ю площадку и обозначим ее площадь ds. На этой площадке, как на основании, строим цилиндр с образующей, параллельной оси Oz. Выберем на высоте z из цилиндра элемент высотой dz. Объем выбранного элемента будет равен dzds, а масса элемента – f (x, y, z)dzds . Масса всего столбика будет равна сумме масс всех элементов

z2 (x, y)

∆M = ∫ f (x, y, z)dsdz .

z1(x, y)

Масса всего тела V будет равна сумме масс всех столбиков

z2 (x, y)

M = ∫∫ds ∫ f (x, y, z)dz .

D z1(x, y)

Вычисленные массы равны

z = 0; y = 0; y = 2 . Тело V изображено на рис. 4.10 а), проекция тела на плоскость xOy – на рис. 4.10 б).

z

Рисунок 4.10

Решение. Из рисунков видно, что переменная z изменяется от плоскости z = 0 до по-

100