Если в каждой точке фигур ы плотность постоянна и равна единице, то масса фигуры численно равна мере фигуры:

– ∫dl = l – длине линии L;

L

– ∫∫ds = s – площади области D;

D

– ∫∫dσ = s – площади поверхности Σ;

Σ

– ∫∫∫dv = v – объему тела V.

v

В этом и состоит геометрический смысл интеграла по фигуре.

4.2 Основные свойства определенного интеграла по фигуре

Определенный интеграл по фигуре обладает следующими свойствами.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла по фигу-

ре

∫cf (p)dk = c ∫ f (p)dk, c = const .

FF

2. Интеграл по фигуре от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов по этой же фигуре от каждого из слагаемых

∫(f (p)+ g(p))dk = ∫ f (p)dk + ∫g(p)dk .

F F F

3 (Свойство аддитивности). Если фигуру F разбить на n непересекающихся фигур Fi , то интеграл по всей фигуре равен сумме интегралов от той же функции по фигурам, на которые разбили фигуру F

Теорема 4.2. Если функция f (p) непрерывна на замкнутой фигуре F, то внутри фигуры найдется такая точка M, что интеграл по фигуре будет равен произведению значения подынтегральной функции в этой точке на меру фигуры

∫ f (p)dk = f (M )K .

F

90

4.3Двойной интеграл. Вычисление двойного интеграла

вдекартовой системе координат

4.3.1Определение двойного интеграла. Геометрический и физический смысл

Пусть в замкнутой области D плоскости Oxy задана непрерывная функция двух переменных z = f (x, y). Разобьем область D произвольным образом на n элементарных площадок площадью ∆si и диаметром λi (рис. 4.1). В каждой элементарной площадке возьмем точку Pi (xi , yi ) и вычислим значение функции в этой точке f (Pi )≈ f (xi , yi ). Найденное значение функции умножим на площадь элементарной площадки ∆si , так поступим с каждой элементарной площадкой и полученные произведения просуммируем. Составленная таким образом сумма называется n-ой интегральной суммой для функции f (x, y) по области D

n

Sn = ∑ f (xi , yi )∆si .

i=1

y

Pi,∆s

Di

Рисунок 4.1

Если существует конечный предел n-ой интегральной суммы Sn при неограниченном увеличении числа разбиений при условии, что максимальный диаметр разбиения стремится к нулю и этот предел не зависит от способа разбиения области D на элементарные площадки и от выбора точек Pi , то он называется двойным интегралом от функции f (x, y) по области D

В этом случае функцию f (x, y) называют интегрируемой в области D, D называется областью интегрирования.

Теорема 4.3 (достаточное условие существования двойного интеграла). Если функция f (x, y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

Выясним геометрический смысл двойного интеграла. Рассмотрим цилиндрическое тело, ограниченное сверху поверхностью z = f (x, y), снизу – замкнутой областью D, с боков

– цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz, а направляющей явля-

91

ется граница области D. Найдем объем этого тела. Для этого разобьем область D на n элементарных площадок Di площадью ∆si , i =1,n . Выберем i-ю элементарную площадку и возьмем на ней точку Pi (xi , yi ) и вычислим значение функции f (x, y) в этой точке f (Pi )= f (xi , yi ) (рис. 4.2). Найденное значение функции умножим на площадь элементарной площадки ∆si , в результате получим объем столбика с основанием ∆si и высотой f (xi , yi )

∆vi = f (xi , yi )∆si .

f (Pi ) = Z

Рисунок 4.2 Объем цилиндрического тела приближенно будет равен сумме объемов столбиков

Их выше сказанного следует, что двойной интеграл численно равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f (x, y), снизу – областью D, по бокам – цилиндрической поверхностью с направляющей, параллельной оси Oz, направляющая

– граница области D.

Если f (x, y)≡1, то двойной интеграл по области D будет численно равен площади

области D SD = ∫∫ds .

D

Если в каждой точке пластины D задана поверхностная плотность как функция координат ρ = ρ(x, y), то масса пластины D будет равна двойному интегралу от плотности по об-

ласти D M = ∫∫ρ(x, y)ds . В этом и состоит физический смысл двойного интеграла.

D

92

4.3.2 Основные свойства двойного интеграла

1.Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла

∫∫cf (x, y)ds = c∫∫ f (x, y)ds .

2. Двойной интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме двойных интегралов от каждого из слагаемых

∫∫(f (x, y)+ g(x, y))ds = ∫∫ f (x, y)ds + ∫∫g(x, y)ds .

D D D

Доказательство. Для доказательства воспользуемся определением двойного интегра-

ла

3. Если в каждой точке области D выполняется неравенство f (x, y)≥ g(x, y), то

∫∫ f (x, y)ds ≥ ∫∫g(x, y)ds .

DD

4.Пусть m и M – наименьшее и наибольшее значения функции z = f (x, y) в области D

иS – площадь области D, тогда справедливо неравенство

mS ≤ ∫∫ f (x, y)ds ≤ MS .

93

4.3.3 Вычисление двойного интеграла в прямоугольной декартовой системе коор-

Oy, если любая прямая, параллельная оси Oy и проходящая через область D, пересекает границу области D не более, чем в двух точках (рис. 4.3).

y=ϕ(x)

y

оси Ox, если любая прямая, параллельная оси Ox и проходящая через область D, пересекает границу области D не более, чем в двух точках (рис. 4.4).

Рисунок 4.4

Пусть область D является правильной в направлении оси Oy (рис. 4.3) и требуется вы-

числить ∫∫ f (x, y)ds . Для вывода формулы для вычисления двойного интеграла воспользуем-

D

ся геометрическим смыслом двойного интеграла. Пусть функция z = f (x, y) непрерывна в

94

замкнутой области D и является неотрицательной в этой области, тогда двойной интеграл численно равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f (x, y), снизу – областью D, по бокам – цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz (рис. 4.5).

zz = f (x, y)

D C

Рисунок 4.5

Построим сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox. В результате получ а- ем криволинейную трапецию ABCD. Площадь данного сечения найдем с помощью определенного интеграла

ψ(x)

S(x)= ∫ f (x, y)dy .

ϕ(x)

Объем цилиндрического тела определим с помощью параллельных сечений

Полученная формула служит для вычисления двойного интеграла в декартовой системе координат. Интеграл, стоящий в правой части формулы, называется повторным интегралом. Он вычисляется следующим образом: вначале вычисляется внутренний интеграл по переменной y, а затем – внешний интеграл по переменной x.

Если область D является правильной в направлении оси Ox, то двойной интеграл вы-

b ψ(y)

95

Рассмотрим примеры вычисления двойного интеграла.

Пример 1. Вычислить ∫∫xdxdy , где область D ограничена линиями: y = x2, y = 2 − x .

D

Решение. Построим область интегрирования (рис.4.6).

x2 =1. Из рисунка видно, что переменная x изменяется от – 2 до 1, а переменная y – от линии y = x2 до линии y = 2 − x . перейдем от двойного интеграла к повторному и вычислим его

Пример 2. Вычислить ∫∫xydxdy , если область D ограничена линиями: y = x2, y2 = x .

D

Решение. Сделаем чертеж области D (рис.4.7).

y

y = x2

y2 = x

Рисунок 4.7

96