В частности, если a = b = c , эллипсоид превращается в шар, и в этом случае получаем

v= 4 πa3 . 3

3.11.5 Объем тела вращения

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции aABb, ограниченной кривой y = f (x), осью Ох и прямыми x = a, x = b .

В этом случае произвольное сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси абс-

цисс, есть круг, площадь которого Q = πy2 = π(f (x))2 . Применяя общую формулу для вычисления объема,

ния объема тела вращения:

bb

v = π∫ y2dx = π∫(f (x))2 dx .

aa

Пример 12. Найти объем тела, образуемого

y = a (ex / a + e−x / a )вокруг оси Ох на участке от x = 0 до x = b

2

80

Рисунок 13

Каждая хорда длины ∆si , i =1,2, ,n при вращении опишет усеченный конус, пло-

распространенной на все звенья ломаной. Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ∆si стремится к нулю, называется площадью рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (2.16) не является интегральной суммой для функции

так как в слагаемом, соответствующем отрезку (xi−1, xi ), фигурирует несколько точек этого

81

отрезка xi−1, xi ,ξi . Но можно доказать, что предел суммы (16) равняется пределу интегральной суммы для функции (17), т.е.

Пример 13. Определить площадь поверхности параболоида, образованного вращени-

ем вокруг оси Ох дуги параболы y2 = 2 px , соответствующей изменению х от x = 0 до x = a .

Решение.

3.11.7 Вычисление работы с помощью определенного интеграла

Пусть под действием некоторой силы F материальная точка М движется по прямой Os, причем направление силы совпадает с направлением движения. Требуется найти работу, произведенную силой F при перемещении точки М из положения s = a в положение s = b .

1) Если сила F постоянна, то работа А выражается произведением силы F на длину пути, т. е.

A= F(b −a).

2)Предположим, что сила F непрерывно меняется в зависимости от положения материальной точки, т. е. представляет собой функцию F(s), непрерывную на отрезке a ≤ s ≤ b .

Разобьем отрезок [a,b] на n произвольных частей с длинами ∆s1,∆s2, ,∆sn , затем в каждом частичном отрезке (si−1, si ) выберем произвольную точку ξi и заменим работу силы

F(s) на пути ∆si , i =1,2, ,n произведением F(ξi )∆si .

Это значит, что в пределах каждого частичного отрезка мы принимаем силу F за постоянную, а именно полагаем F = F(ξi ). В таком случае выражение F(ξi )∆si при достаточно

82

малом ∆si дает нам приближенное значение работы силы F на пути ∆si , а сумма

n

An = ∑F(ξi )∆si будет приближенным выражением работы силы F на всем отрезке [a,b].

i=1

Очевидно, An представляет собой интегральную сумму, составленную для функции

F = F(s) на отрезке [a,b]. Предел этой суммы при max ∆si → 0 существует и выражает ра-

боту силы F(s) на пути от точки s = a до точки s = b :

a

Пример 14. Сжатие S винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила

10 Н (рис. 14).

Рисунок 14

Решение. Сила F и перемещение S связаны по условию зависимостью F = kS , где k – постоянная.

Будем выражать S в метрах, F – в ньютонах. При S = 0,01, F =10, т. е. 10 = k 0,01, откуда k =1000, F =1000 S . На основании формулы (2.19) имеем

Пример 15. Сила F, с которой электрический заряд e1 отталкивает заряд e2 (того же

стоянная.

Определить работу силы F при перемещении заряда e2 из точки A1 , отстоящей от e1 на расстоянии r1, в точку A2 , отстоящую от e1 на расстоянии r2 , полагая, что заряд e1 помещен в точке A0 , принятой за начало отсчета.

83