3.11.3 Длина дуги кривой

1) Длина дуги кривой в прямоугольных координатах

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая уравнением y = f (x). Найдем длину дуги АВ этой, кривой, заключенной между вертикальными прямыми x = a и x = b (рис. 8).

i=1

Длиной s дуги АВ называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

Таким образом, длина вписаной ломаной равна

n

sn = ∑ 1+(f ′(ξi ))2 ∆xi .

i=1

74

По условию, f ′(x) непрерывна, следовательно, функция 1+(f ′(ξi ))2 i тоже непрерывна. Поэтому существует предел написанной интегральной суммы, который равен определенному интегралу:

Замечание 1. Исходя из последней формулы, можно получить производную от длины дуги по абсциссе. Если верхний предел интегрирования будем считать переменным и обозначим через х (переменную интегрирования менять не будем), то длина дуги s будет функ-

Пример 6. Определить длину окружности x2 + y2 = r2 .

Решение. Вычислим сначала длину четвертой части окружности, лежащей в первом

окружности s = 2πr . Найдем теперь длину дуги кривой в том случае, когда уравнение кривой задано в параметрической форме:

данном участке не обращается в нуль. В этом случае уравнения (10) определяют некоторую

75

Замечание 2. Можно доказать, что формула (11) остается в силе и для таких кривых, которые пересекаются вертикальными прямыми более чем в одной точке (в частности, для замкнутых кривых), лишь бы во всех точках кривой были непрерывны обе производные ϕ′(t)

и ψ′(t).

Пример 7. Вычислить длину астроиды x = a cos3 t, y = asin3 t .

Решение. Так как кривая симметрична относительно обеих координатных осей, то вычислим сначала длину ее четвертой части, расположенной в первом квадранте. Находим

dx = −3a cos2 t sin t, dy = 3asin2 t cost . Параметр t будет изменяться от 0 до π/2. Следова-

которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина наибольшего звена стремится к нулю. Если функции ϕ(t), ψ(t) и χ(t) непрерывны и имеют непрерывные производные на отрезке [α,β], то кривая имеет определенную длину (т. е. для нее существует вышеуказанный предел), которая вычисляется по формуле

Решение. Из данных уравнений находим dx = −asin tdt, dy = a costdt, dz = amdt . Подставляя в формулу (13), получим

76

где ρ – полярный радиус, θ – полярный угол.

Напишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = ρcosθ, y = ρsin θ . Если сюда вместо ρ подставим его выражение (14) через θ, то получим уравнения x = f (θ)cosθ, y = f (θ)sin θ. Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой и для вычисления длины дуги применить формулу (11). Для этого найдем производные от х и у по параметру θ:

Следовательно,

θ1

s = ∫ ρ′2 +ρ2 dθ.

θ0

Пример 9. Найти длину кардиоиды ρ = a(1+cosθ) (рис. 9).

Рисунок 9 Изменяя полярный угол θ от 0 до π, получим половину искомой длины. Здесь

ρ′ = −asin θ. Следовательно,

что а > b.

Решение. Для вычисления воспользуемся формулой (11). Вычислим сначала 1/4 длины дуги, т. е. длину дуги, соответствующей изменению параметра от t = 0 до t = π/ 2 :

77

последний интеграл. Но он не выражается в элементарных функциях. Этот интеграл можно вычислить только приближенными методами (например, по формуле Симпсона).

В частности, если большая полуось эллипса равна 5, а малая равна 4, то k = 3/ 5, и

Симпсона (деля отрезок [0,π/ 2] на четыре части), получим приближенное значение интегра-

Рисунок 10

Предположим, что Q(x) есть непрерывная функция от х, и определим объем данного тела. Проведем плоскости x = x0 = a, x = x1, x = x2, , x = xn = b .

Эти плоскости разобьют тело на слои.

В каждом частичном промежутке xi−1 ≤ x ≤ xi выберем произвольную точку ξi и для

78

каждого значения i =1,2, , n построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси Ох, а направляющая представляет собой контур сечения тела Т плоскостью x = ξi . Объем такого элементарного цилиндра с площадью основания Q(ξi ), xi−1 ≤ ξi ≤ xi и

n

высотой ∆xi равен Q(ξi )∆xi . Объем всех цилиндров будет vn = ∑Q(ξi )∆xi .

i=1

Предел этой суммы при max xi → 0 (если он существует) называется объемом данного тела:

n

v = lim ∑Q(ξi )∆xi .

max xi →0 i=1

Так как vn представляет собой, очевидно, интегральную сумму для непрерывной функции Q(x) на отрезке и выражается определенным интегралом:

Рисунок 11

Решение. В сечении эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости Oyz и отстоя-

79