Решение.
1) Функции e1/ x и x2 терпят разрыв в точке x = 0. Справедливо неравенство
e1/ x |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
e1/ x |
|
|
|
|
≥ |
|
. Но так как ∫ |
|
dx расходится (см. пример 3.9), то следовательно, ∫ |
|
dx |
также |
|
x2 |
x2 |
x2 |
x2 |
||||||
|
0 |
0 |
|
|
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2) Рассмотрим две функции |
1 |
|
|
и |
|
1 |
|
, которые терпят разрыв в точке x = 0. Так как |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
= lim |
=1, то интегралы |
∫ |
|
dx |
и ∫ |
dx ведут себя одинаково. Исследуем |
||||||||||||||||||||||
x |
→0 |
|
1 |
|
|
|
|
x→0 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 sin x |
0 |
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходимость интеграла ∫ |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
dx = lim(ln(x) |
|
1ε ) |
= lim(0 −ln ε)= ∞ – расходится. Следовательно, и |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
dx = lim |
∫ |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
x |
|
ε→0 |
0+ε x |
|
ε→0 |
|
|
|
|
|
ε→0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
также расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.11Геометрические и механические приложения определенного интеграла
3.11.1Вычисление площадей в прямоугольных координатах
Если на отрезке [a,b] функция |
f (x)≥ 0 , то, как известно, площадь криволинейной |
трапеции, ограниченной кривой y = f (x), осью Ох и прямыми x = a и x = b , равна |
|
b |
|
Q = ∫ f (x)dx . |
(1) |
a
b
Если f (x)≤ 0 на [a,b], то определенный интеграл также ∫ f (x)dx ≤ 0. По абсолютной
a
b
величине он равен площади Q соответствующей криволинейной трапеции: −Q = ∫ f (x)dx .
a
Если f (x) конечное число раз меняет знак на отрезке [a,b], то интеграл по всему отрезку [a,b] разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам.
Интеграл будет положителен на тех отрезках, где f (x)≥ 0 , и отрицателен там, где f (x)≤ 0 . Интеграл по всему отрезку даст соответствующую алгебраическую сумму площа-
69
дей, лежащих выше и ниже оси Ох (рис. 1). Для того чтобы получить сумму площадей в обычном смысле, нужно найти сумму абсолютных величин интегралов по указанным выше
b
отрезкам или вычислить интеграл Q = ∫ f (x)dx .
a
Рисунок 1 Пример 1. Вычислить площадь Q фигу-
ры, ограниченной синусоидой sin x и осью Ох, при 0 ≤ x ≤ 2π (рис. 2).
|
Решение. |
Так как |
|
sin x ≥ 0 при |
|||||||
0 ≤ x ≤ 2π и sin x ≤ 0 при π < x ≤ 2π, то |
|||||||||||
π |
|
2π |
|
|
2π |
|
π |
|
0π |
||
|
|
||||||||||
Q = ∫sin xdx + |
∫sin xdx |
|
= ∫ |
|
sin x |
|
dx, ∫sin xdx = −cos x |
|
|||
|
|
|
|||||||||
0 |
|
π |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2π |
|
|
π2π = −(cos 2π−cos π)= −2. |
||||||||
∫sin xdx = −cos x |
|||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2
= −(cos π−cos0)= −(−1−1)= 2,
Следовательно, |
Q = 2 + |
|
−2 |
|
= 4 . |
|
y = f1(x), y = f2 (x) |
|
|
|
|
||||||
Если нужно вычислить площадь области, ограниченной кривыми |
||||||||
и ординатами x = a, x = b , то при условии |
f1(x)≥ f2 (x) будем иметь (рис. 3) |
|||||||
b |
b |
|
|
b |
|
|
||
Q = ∫ f1(x)dx − ∫ f2 (x)dx = ∫(f1(x)− f2 |
(x))dx . |
(2) |
||||||
a |
a |
|
|
a |
|
|
||
Рисунок 3
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 
x и y = x2
(рис. 4).
70
Рисунок 4
Решение. Находим точки пересечения кривых: 
x = x2, x = x4 , откуда x1 = 0, x2 =1. Следовательно,
1 |
1 |
1 |
( |
|
− x2 )dx = |
2 |
|
|
1 |
x |
3 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Q = ∫ |
|
dx − ∫x2dx = ∫ |
|
x3/ 2 |
|
− |
|
|
|
= − |
− |
= |
. |
||||||||
x |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
3 |
|
|
0 |
3 |
|
0 |
3 |
3 |
3 |
|
|||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Вычислим теперь площадь криволинейной трапеции в случае, если кривая задана уравнениями в параметрической форме (рис. 5)
|
|
Рисунок 5 |
x = ϕ(t), |
y = ψ(t), |
(3) |
где α ≤ t ≤ β и |
ϕ(α)= a, ϕ(β)= b . |
Пусть уравнения (3) определяют некоторую функцию |
y = f (x) на отрезке [a,b], и, следовательно, площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле
b b
Q = ∫ f (x)dx = ∫ ydx .
aa
Сделаем замену переменной в этом интеграле: x = ϕ(t), dx = ϕ′(t)dt . На основании уравнений (2.3) получим y = f (ϕ(t))= ψ(t). Следовательно,
β |
′ |
|
|
Q = ∫ |
(4) |
||
ψ(t)ϕ (t)dt . |
α
Это и есть формула для вычисления площади криволинейной трапеции в случае кривой, заданной параметрически.
Пример 3. Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом x = acost, y = bsin t .
71
Решение. Вычислим площадь верхней половины эллипса и удвоим. Здесь х изменяется от – а до + а, следовательно, t изменяется от π до 0,
0
Q = 2∫(bsin t)(−
π
π1−cos 2t
=2ab∫ 2
0
|
|
|
0 |
|
|
π |
|
asin tdt)= −2ab∫sin |
2 tdt = 2ab∫sin2 tdt = |
||||||
|
|
|
π |
|
0 |
||
t |
|
sin 2t |
|
π |
|||
|
|
||||||
dt = 2ab |
|
− |
|
|
|
= πab. |
|
2 |
4 |
||||||
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
||||||
Пример 4. Вычислить площадь области, ограниченной осью Ох и одной аркой цик-
лоиды x = a(t −sin t), y = a(1−cost).
Решение. Изменению t от 0 до 2π соответствует изменение х от 0 до 2πa. По формуле (4) имеем
2π |
|
|
2π |
|
|
2π |
2π |
2π |
|
|
|
Q = ∫a(1−cost)a(1 |
−cost)dt = a |
2 |
∫(1 |
2 |
2 |
|
∫dt −2 |
∫costdt + ∫cos |
2 |
|
|
|
−cost) dt = a |
|
|
|
tdt , |
||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
2π |
2π |
2π |
2π 1 |
+cos 2t |
|
|
∫dt = 2π, |
∫costdt = 0, |
∫cos2 tdt = ∫ |
|
|
dt = π. |
|
|
2 |
|||||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
Окончательно получаем Q = a2 (2π+ π)= 3πa2 .
3.11.2 Площадь криволинейного сектора в полярных координатах
Пусть в полярной системе координат имеем кривую, заданную уравнением ρ = f (θ), где f (θ) – непрерывная функция при α ≤ θ ≤ β.
Определим площадь сектора ОАВ, ограниченного кривой ρ = f (θ) и радиусвекторами θ = α и θ = β.
Разобьем данную область радиус-векторами α = θ0, θ = θ1, , θn = β на n частей. Обозначим через ∆θ1, ∆θ2, , ∆θn углы между проведенными радиус-векторами (рис. 6).
Рисунок 6
Обозначим через ρi длину радиус-вектора, соответствующего какому-нибудь углу θi , заключенному между θi−1 и θi .
72
Рассмотрим круговой сектор с радиусом ρi и центральным углом ∆θi . Его площадь
|
1 |
|
|
1 |
n |
1 n |
|
|
|
|
|
||
будет равна ∆Qi = |
|
ρi2∆θi . Сумма |
Qn = |
|
∑ρi2∆θi = |
|
∑(f (θi ))2 ∆θi |
даст площадь «сту- |
|||||
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 i=1 |
2 i=1 |
|
|
|
||||||
пенчатого» сектора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как эта сумма является интегральной суммой для функции ρ2 = (f (θ))2 на отрезке |
|||||||||||||
α ≤ θ ≤ β, то ее предел при max ∆θi |
→ 0 есть определенный интеграл |
1 β |
ρ2dθ . Он не зави- |
||||||||||
|
|
||||||||||||
2 α∫ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сит от того, какой радиус-вектор ρi |
мы возьмем внутри угла ∆θi . Этот предел естественно |
||||||||||||
считать искомой площадью фигуры. Можно было бы показать, что это определение площади не противоречит данному ранее; иначе говоря, если вычислять площадь криволинейного сектора с помощью криволинейных трапеций, то мы получим тот же результат. Таким образом, площадь сектора ОАВ равна
|
1 |
|
β |
|
|
|
|
|
Q = |
|
|
∫ρ2dθ, |
(5) |
||||
2 |
||||||||
|
|
α |
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
β |
(f |
(θ))2 dθ. |
|
|
|
Q = |
|
|
∫ |
(6) |
||||
2 |
|
|||||||
|
|
α |
|
|
|
|
||
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой ρ = a |
|
|
||||||
cos 2θ |
||||||||
(рис. 7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 7 Решение. Радиус-вектор опишет область с площадью, равной четверти искомой пло-
щади, если θ меняется от 0 до π/4.
1 |
|
1 |
π/ 4 |
1 |
|
π/ 4 |
a2 |
|
sin 2θ |
|
π/ 4 |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Q = |
|
∫ρ2dθ = |
|
a2 |
∫cos 2θdθ = |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
4 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
4 |
|||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной лемнискатой, будет равна Q = a2 .
73