Величина f (c) называется средним значением функции f (x) на отрезке [a,b]. Замечание. Теорема о среднем имеет ясный геометрический смысл: значение опреде-

b

ленного интеграла ∫ f (x)dx при f (x)≥ 0 равно площади прямоугольника, имеющего высоту

a

f (c) и основание (b −a).

3.5 Условия существования определенного интеграла

Теорема 3.2 (необходимое условие интегрируемости функции). Если функция f (x)

интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Замечание. Обратная теорема не верна, т.е. из ограниченности функции не следует ее интегрируемость.

Теорема 3.3 (достаточное условие интегрируемости функции). Если функция f (x)

непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на нем.

Замечание. Как следует из теоремы, условие непрерывности функции на отрезке [a,b] является достаточным условием ее интегрируемости, однако это не означает, что определенный интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегрируемых функций гораздо шире. Например, можно доказать, что существует определенный интеграл от функций, имеющих конечное число точек разрыва.

3.6 Определенный интеграл с переменным верхним пределом

b

Пусть задан ∫ f (x)dx . Будем изменять верхний предел интегрирования, не выходя за

a

пределы промежутка [a,b]. Значение интеграла при этом будет меняться, т.е. интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию верхнего предела.

Обозначим эту функцию через Φ(x)

и назовем ее интегралом с переменным верхним пределом. Следующая теорема является основной теоремой дифференциального и интегрального исчисления, устанавливающая связь между производной и интегралом.

61

Теорема 3.4. Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е.

x+∆x

∫ f (t)dt = f (c)∆x , где c [x, x + ∆x].

x

Следовательно, Φ(x + ∆x)− Φ(x)= f (c)∆x .

Разделим это равенство на ∆x и найдем предел при ∆x → 0

x

имеет первообразную Φ(x)= ∫ f (t)dt . А так как всякая другая первообразная может отли-

a

чаться от Φ(x) только на постоянную, то теорема устанавливает также связь между неопределенным и определенным интегралом

x

∫ f (x)dx = ∫ f (t)dt +C .

a

62

3.7 Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 3.5 (основная теорема интегрального исчисления). Пусть функция f (x)

непрерывна на [a,b]. Тогда если F(x) является первообразной для f (x) на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

b

∫ f (x)dx = F(b)− F(a), которая называется формулой Ньютона-Лейбница.

a

a

Подставим в это равенство x = a и получаем ∫ f (t)dt = F(a)+ C , но так как согласно

a

F(b)− F(a)= F(x)ba .

Замечание 2. Полученная формула, с одной стороны, устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралом, а с другой стороны, дает простой метод вычисления определенного интеграла, кроме вычисления с помощью предела интегральной суммы.

π

Пример 3.2. ∫cos xdx . Так как одной из первообразных cos x является sin x , то при-

0

меняя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

63

3.8 Замена переменной в определенном интеграле

функции x = ϕ(t) является отрезок [a,b]; 3) ϕ(α)= a и ϕ(β)= b , то справедлива формула:

bβ

∫f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt .

aα

Доказательство. Пусть F(x) есть первообразная для f (x) на [a,b]. Тогда по форму-

b

ле Ньютона-Лейбница ∫ f (x)dx = F(b)− F(a). Функция F(ϕ(t)) является первообразной для

a

функции f (ϕ(t)) ϕ′(t), t [α,β], т.к. по правилу нахождения производной сложной функции

64