отрезок [a,b] разобьем на n произвольных частей точками a = x0 < x1 < x2 < < xn = b . В каждом из полученных отрезков [xi−1, xi ] выберем произвольную точку ξi и найдем значе-
ние силы в этой точке F(ξi ). Сила, действующая на этом отрезке, меняется от точки к точке и, чем меньше будет длина отрезка, тем изменение этой силы будет меньше и ее приближенно можно считать постоянной и равной значению F(ξi ). Тогда работа постоянной на отрезке [xi−1, xi ] силы может быть найдена по формуле:
Ai = F(ξi )∆xi .
Приближенное значение работы на всем отрезке [a,b] тогда будет равным:
|
|
n |
A ≈ F(ξ1)∆x1 + F(ξ2 )∆x2 + + F(ξn )∆xn = ∑F(ξi )∆xi . |
||
|
|
i=1 |
Это равенство тем точнее, чем меньше длина ∆xi . За точное значение работы A при- |
||
нимаем следующий предел: |
|
|
n |
b |
|
A = lim ∑F(ξi )∆xi |
= ∫F(x)dx , где λ = max ∆xi . |
|
λ→0 i=1 |
a |
i=1,n |
Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = a до t = b , при переменной скорости V =V (t) равен:
b
S = ∫V (t)dt ;
a
масса m неоднородного стержня на отрезке [a,b] равна
b
m = ∫γ(x)dx , где γ(x) – переменная плотность.
a
3.3Свойства определенного интеграла
Вдальнейшем предполагаем, что все интегралы, входящие в формулы, существуют.
b
Интеграл ∫ f (x)dx был введен для случая a<b. Обобщим понятия определенного интеграла
a
на случай a=b и a>b.
1. Если a=b, то по определению
b |
|
∫ f (x)dx = 0 . |
(3.3) |
a
57
Если a>b, то по определению
b |
a |
|
∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx . |
(3.4) |
|
ab
2. Каковы бы ни были числа a, b, c , всегда имеет место равенство:
b |
c |
b |
|
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx . |
(3.5) |
||
a |
a |
c |
|
Доказательство. Допустим, что a<c<b. Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка [a,b], то проведем разбиение так, чтобы точка c была точкой разбиения, например, c = xm . Тогда интегральную сумму S можно разбить на две суммы:
m |
|
n |
|
|
|
|
S = ∑ f (ξi )∆xi + |
∑ f (ξi )∆xi |
. Пользуясь свойствами пределов, получаем: |
||||
i=1 |
|
i=m+1 |
|
|
|
|
|
m |
|
n |
c |
b |
|
lim S = lim ∑ f (ξi )∆xi + lim |
∑ f |
(ξi )∆xi = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx . |
|
|||
λ→0 |
λ→0 i=1 |
λ→0 i=m+1 |
a |
c |
|
|
Доказательство при другом расположении точек a, b, c сводится к рассмотренному |
||||||
|
|
|
|
c |
b |
c |
случаю. Пусть, например, a<b<c. Тогда по доказанному ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx , откуда |
||||||
|
|
|
|
a |
a |
b |
b |
c |
c |
|
|
|
|
получаем: ∫ f |
(x)dx = ∫ f (x)dx − ∫ f (x)dx , и, учитывая (3.4), окончательно получаем: |
|||||
a |
a |
b |
|
|
|
|
b |
c |
b |
|
|
|
|
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx . |
|
|
|
|
||
a |
a |
c |
|
|
|
|
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. |
|
|||||
b |
b |
|
|
|
|
|
∫cf (x)dx = c∫ f (x)dx . |
|
|
|
(3.6) |
||
aa
Доказательство. |
Составим интегральную |
сумму для функции |
cf (x): |
||
n |
n |
)∆xi , тогда, пользуясь свойствами пределов: |
|
||
∑cf (ξi )∆xi = c∑ f (ξi |
|
||||
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
b |
|
n |
n |
b |
|
∫cf (x)dx = lim c∑ f (ξi )∆xi = c lim ∑ f (ξi )∆xi = c∫ f (x)dx . |
|
||||
a |
λ→0 |
i=1 |
λ→0 i=1 |
a |
|
4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов, т.е.
b |
b |
b |
|
∫ |
(f (x)± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx . |
(3.7) |
|
a |
a |
a |
|
58
Доказательство. Составим интегральную сумму для функции |
f (x)± g(x): |
||
n |
n |
n |
n |
S = ∑ |
(f (ξi )± g(ζi ))∆xi = ∑ |
(f (ξi )∆xi + g(ξi )∆xi )= ∑ f (ξi )∆xi + ∑g(ξi )∆xi . |
|
i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
Тогда, пользуясь свойствами пределов, получаем:
|
b |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
∫(f (x)± g(x))dx = lim S |
|
∑ f (ξi )∆xi ± |
∑g(ξi |
|
= |
|
|
|
||||
|
= lim |
)∆xi |
|
|
|
||||||||
|
a |
λ→0 |
λ→0 i=1 |
|
i=1 |
|
. |
|
|
|
|||
|
n |
|
|
n |
|
|
b |
b |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx. |
|
|
|
|||
|
= lim ∑ f (ξi )∆xi |
± lim ∑g(ξi |
)∆xi = |
|
|
|
|||||||
|
λ→0 i=1 |
|
λ→0 i=1 |
|
|
a |
a |
|
|
|
|
||
|
Замечание. Свойство 4 имеет место для любого конечного числа слагаемых. |
||||||||||||
|
3.4 Оценки интегралов. Формула среднего значения |
|
|
||||||||||
|
1. Если всюду на отрезке [a,b] функции |
f (x)≥ 0 , то |
|
|
|
|
|||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x)dx ≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
|
Так |
как |
f (x)≥ 0 |
на |
всем |
отрезке |
[a,b], |
то |
f (ξi )≥ 0 и |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
∆xi = xi − xi−1 > 0 , и, следовательно, интегральная сумма ∑ f (ξi )∆xi ≥ 0. Переходя к пределу |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
в данном неравенстве, получаем: lim |
n |
|
|
|
|
|
b |
(x)dx ≥ 0. |
|||||
∑ f (ξi )∆xi ≥ |
0 , и, следовательно, ∫ f |
||||||||||||
|
|
|
|
λ→0 i=1 |
|
|
|
|
a |
|
|
||
|
2. Если всюду на отрезке [a,b] |
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|||
|
f (x)≤ g(x), то ∫ f (x)dx ≤ ∫g |
(x)dx . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
Доказательство. |
|
Применяя |
к |
функции |
g(x)− f (x)≥ 0 |
свойство |
1, получаем: |
|||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
∫ |
(g(x)− f (x))dx ≥ 0 и, |
|
согласно |
свойству 4, ∫g(x)dx − ∫ f |
(x)dx ≥ 0. |
Окончательно |
|||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
bb
∫f (x)dx ≤ ∫g(x)dx .
aa
3.Для функции f (x), определенной на отрезке [a,b], имеет место неравенство:
bb
∫f (x)dx ≤ ∫ f (x)dx .
aa
Доказательство. Применим вторую оценку для неравенства:
− f (x) ≤ f (x)≤ f (x).
59
Получаем
b |
|
f (x) |
|
b |
b |
b |
|
f (x) |
|
b |
b |
||||||||
∫− |
|
|
dx ≤ ∫ f (x)dx ≤ ∫ |
|
f (x) |
|
dx , и |
− ∫ |
|
|
dx ≤ ∫ f (x)dx ≤ ∫ |
|
f (x) |
|
dx . Но полученное |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a |
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
a |
a |
||||||||
неравенство эквивалентно неравенству
bb
∫f (x)dx ≤ ∫ f (x)dx .
aa
4. Если m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на отрезке [a,b], то
b
m(b −a)≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b −a).
a
Доказательство. По условию m ≤ f (x)≤ M . Отсюда, учитывая вторую оценку, полу-
b |
b |
b |
|
чаем ∫mdx ≤ ∫ f (x)dx ≤ ∫Mdx и по свойству 1 определенного интеграла и результатам при- |
|||
a |
a |
a |
|
мера 1, |
|
|
|
b |
b |
b |
b |
m∫dx ≤ ∫ f (x)dx ≤ M ∫dx и m(b −a)≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b −a). |
|||
a |
a |
a |
a |
Теорема о среднем |
|
||
Теорема 3.1. Если функция |
f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке |
||
существует такая точка c, что |
|
||
b |
(x)dx = f (c) (b −a). |
|
|
∫ f |
|
||
a |
|
|
|
Доказательство. Так как f (x) непрерывна на [a,b], то по теореме Вейерштрасса существуют числа m и M такие, что
min f (x)= m ≤ f (x)≤ M = max f (x).
|
[a,b] |
|
|
[a,b] |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
Тогда, |
согласно оценке 4 |
m(b −a)≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b −a) и, следовательно, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
b |
|
|||
|
∫ f (x)dx |
|
|
∫ f (x)dx |
|
|||
m ≤ |
a |
|
≤ M . Обозначим |
a |
|
= M0 . |
||
|
|
|||||||
b − a |
(b − a) |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
Так как M0 |
заключено между наибольшим и наименьшим значением непрерывной |
||||||
функции на [a,b], |
то согласно теореме о прохождении непрерывной функции через любое |
|||||||
60