3 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

3.1 Понятие определенного интеграла

Пусть функция f (x) определена на отрезке [a,b], a < b . Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками a = x0 < x1 < x2 < < xi−1 < xi < xi+1 < < xn = b . В каждом из полученных отрезков [xi−1, xi ] выберем произвольную точку ξi (xi−1 ≤ ξi ≤ xi ) и найдем значение функции в ней f (ξi ). Через ∆xi обозначим разность xi − xi−1, которую будем называть длиной частичного отрезка [xi−1, xi ]. Составим сумму

для данного разбиения и данного выбора точек ξi .

Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка разбиения: λ = max{∆xi}.

i=1,n

Определение. Если существует конечный предел I интегральной суммы (3.1) при λ → 0 , то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x) по отрезку [a,b] и обозначается следующим образом:

В этом случае функция f (x) называется интегрируемой на [a,b], числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования.

Рассмотрим более подробно предельный переход в формуле (3.2). Предположим, что отрезок [a,b] последовательно разбивают на части сначала одним способом, потом другим и т.д. В результате получена последовательность {τk } таких разбиений и соответственно последовательность интегральных сумм {Sk }, где интегральные суммы зависят от λ. И опреде-

ление определенного интеграла можно дать следующим образом: функция f (x) называется интегрируемой на [a,b], если для любой последовательности разбиений {τk }, у которой klim→∞λk = 0 соответствующая последовательность интегральных сумм {Sk } стремится всегда

к одному и тому же пределу I = klim→∞ Sk .

Пример 3.1. Используя определение, вычислить интеграл ∫cdx , где c – некоторое

число.

55