k

(2ax +b −b)+l

k

kb

kx +l

2a

(2ax +b)+ l −

∫

= ∫

dx = ∫

2a

2a

dx =

ax2 +bx +c

ax2 +bx +c

ax2 +bx +c

k

(2ax +b)dx

kb

dx

∫

=

2a

+

l −

∫

,

ax2 +bx +c

2a

ax2 +bx +c

а далее в I интеграле производится поднесение под знак дифференциала, а во II – в квадрат-

ном трехчлене выделяется полный квадрат.

Пример 2.24.

3x −7

3

1 (8x + 4 −4)−

7

3 (8x + 4)−7

− 3

4

∫

dx =

∫

8

dx = ∫

8

8

dx =

4x2 + 4x +5

4x2 + 4x +5

4x2 + 4x +5

=

3

∫(4x2 + 4x +5)−

1

(8x + 4)dx −

17 ∫

dx

=

2

8

2

(2x)2 + 2 (2x) 1+1+5

1

(2x +1)

= 3 ∫

(4x2 + 4x +5)−2

d(4x2 + 4x +5)−17 ∫

2 d

=

по таблице

=

1

8

2

интегралов

1

(2x +1)2 + 22

3

(4x2 + 4x +5)−2

+1

17

2

=

−

ln 2x

+1+

(2x +

1)

+ 4 +C =

8

1

4

+1

3

− 2

17

=

4x

2

+ 4x +5 −

(2x

2

+C.

4

4

ln 2x +1+

+1)

+

4

m = −1; n = 5;

p = −

1

; m +1 = 0 Z

1

3

n

1) ∫

dx

= ∫x−1(1+ x5 )−

II подстановка Чебышева :(1+ x5 )= t3;

3 dx =

=

x3 1+ x5

3

= t; x = (t

3

1

1

(t

3

−

4

2

1

+ x

−1)

; dx = 5

−1)

5

3t

dt

5

1

(t3 −1)−

4

3t2 dt

5

3

tdt

= ∫

5

=

∫

.

1

5

t3 −1

(t3 −1)5 t

2) R(t)=

t

=

t

=

A

+

Bt +C

=

A(t2 +t +1)+(Bt +C)(t −1)

;

t3 −1

(t −1)(t2 +t +1)

t −1

t2 +t +1

(t −1)(t2 +t +1)

A(t2 + t +1)+ (Bt + C)(t −1)= t;

t =1; A 3 =1; A =

1

;

3

1

t = 0; A 1+ C (−1)= 0; C =

;

3

1

1

4

2

2

1

t = −1;

A + (C − B)(− 2)= −1; C − B =

(A +1)=

=

; B = C −

= −

;

2

2

3

3

3

3

−

1

t +

1

2

t −1

1

(2t +1−1)−1

3) R(t)=

1/ 3

+

3

3

=

1

1

−

1

2

=

1

1

−

1

2

=

t −1 t2 +t +1 3 t −1 3 t2 +t +1 3 t −1 3

t2 +t +1

−

3

1

1

1

2t +1

1

=

−

−

2

= R(t);

3 t −1 6 t2 +t +1 3 t2 +t +1