Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 6314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Пример 2.18.
∫sin4 xdx =	sin2 x =	1	(1	− cos2x)	1		(1	2		1	(1− 2cos2x + cos2	(2x))dx =

		2			= ∫	2		− cos2x)	dx = ∫	4

	снова "понижаем степень":		3	1		1


=	cos2 2x = 1 (1+cos 4x)	= =	8 x −	4 sin 2x +			sin 4x +C.
						32
	2
3. Интегралы вида
I1 = ∫sin αx cosβxdx; I2 = ∫sin αxsinβxdx;					I3 = ∫cosαxcosβxdx

удобно проинтегрировать, применив соответственно формулы:

sin a cosb = 1 (sin(a +b)+sin(a −b)); 2

sin asin b = 1 (cos(a −b)−cos(a +b)); 2

cos a cosb = 1 (cos(a +b)+cos(a −b)) 2

2.6.2 Интегрирование дробно-линейных иррациональностей

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей – это поиск интгралов вида

ax +b

dx ,

∫R x;

;

; ;

cx + d

где R – рациональная функция своих аргументов; a,b,c,d, множеству действительных чисел; r1, r2, , rn Q (т.е. являются рациональными числами – отношениями двух целых чисел).

Такие интегралы преобразуются к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки

ax +b = tq , cx + d

где q – наименьший общий знаменатель дробей r1,r2, ,rn .

Частные случаи

• ∫R(x;(ax +b)r1 ;(ax +b)r2 ; ;(ax +b)rn )dx рационализируется с помощью подста-

новки ax +b = tq , где q – наименьший общий знаменатель дробей r1,r2, ,rn .

• при a =1; b = 0 : ∫R(x; xr1 ; xr2 ; ; xrn )dx рационализируется подстановкой x = tq , где смысл числа q такой же, как и в предыдущем случае.

Пример 2.19. ∫3

x +1

x −1

x +1

1/ 3

Подынтегральная функция содержит

x −1

Подстановка :

x +1

= t3; x +1 = t3(x −1); x − xt3 = −t3 −1;

x −1

− x(t3 −1)= −(t3 +1); x

= t3 +1

= t3 −1+ 2 =1+ 2(t3 −1)−1;

t3 −1

−2

− 6t2

dx = 2 (−1) (t3

−1)

3t2 dt

dt.

(t3 −1)2

− 6t2

(t3 −1)2

t3dt

= ∫t

= −6∫

(t3 −1)(t3 +1)−

t3 +1

t3 −1

–получен интеграл от рациональной функции аргумента t.

Пример 2.20.

(2x −3)− в степени

1 и

1 . Подстановка :

x +3 2x −3

∫

dx =

2x −3

6; x = 1 (t6

+3); dx = 3t5dt.

2x −3

= t

(t6 +3)+t2

= ∫

3t5 dt −интеграл от рациональной функции аргумента t.

1+t3

Пример 2.21.

1+ 4

Под интегралом − x1/ 4 и x1/ 2.

∫

dx =

x +

Подстановка : x = t4; t = x1/ 4; dx = 4t3dt.

= ∫

1+t

4t3

dt = 4∫

dt − интеграл от рациональной функции аргумента t.

4 +t

2.6.3 Биномиальный дифференциал и его интегрирование

Определение. Биномиальным дифференциалом называется выражение xm (a +bxn )p dx ,

где a,b R; m, n, p Q .

Теорема 2.5 (Чебышева). Интеграл

∫xm (a +bxn )p dx

(2.21)

от биномиального дифференциала можно выразить через элементарные функции только в следцующих трех случаях:

I. p Z .

II. m +1 Z . n

III. m +1 + p Z . n

(Z – множество целых чисел).

Причем рационализирующие подстановки Чебышева таковы:

I. x = tq , где q – наименьший общий знаменатель дробей m и n. II. a +bxn = ts , где s – знаменатель дроби p.

III.a +bxn = ts , где s – знаменатель дроби p. xn

Пример 2.22.

m = 0; n =

4; p = − 1 ; s

= 4;

m +1

+ p = 0 Z;

= ∫x0 (1+ x4 )−1/ 4 dx =

подстановка

1+ x4

= t

;

= t

; x

;

∫

t4 −1

x = (t

−1/ 4

−5/ 4

4 1+ x4

−1)

; dx = − 4

−

dt; 1

+ x

t4 −1+1

=1+

1+ x4

−3t3(t4 −1)−5/ 4 dt

t4 −1

4 −1

4 t4 −1

−t2dt

1 2t2 −1+1

= ∫

t4 −1 =∫

(1−t2 )(1+t2 )dt =

∫

(1−t2 )(1+t2 )dt =

t4 −1

∫

(t2 −1)+ (t2 +1)

∫

1 1

∫

2 −t +t

(1−t2 )(1+t2 )

dt =− 2

+ 2

= − 2 atrctgt

+ 2

dt =

1+t2

1−t2

(1−t)(1+t)

1 atrctgt +

∫

(1−t)+(1+t)

dt = = 1 atrctgt

+ 1

∫d(1+t)+

∫

−d(1−t) =

(1−t)(1+t)

4 1+t

1−t

atrctgt +

ln1+t

ln1−t

+C =

+ x4

1+ x4

−

= 4

atrctg

1+ x4

+C.

ln1+

−

ln1−

1+ 4 x

−

Пример 2.23.

x 2

+ x 4

dx =

∫

m = − 1 ; n =

1 ; p =

1 ;

m +1

/ 2

= 2 − целое число.

/ 4

Подстановка Чебышева 1+ 4

= t3; x = (t3 −1)4;

= ∫

12t2 (t3 −1)3 dt =

dx = 4 (t3 −1)3 3t2 dt;

= (t3 −1)2

(t3 −1)

12∫t3(t3 −1)dt =12∫(t6 −t3dt)= = 12 (1+ 4

)7 / 3

−3(1+ 4

)4 / 3 +C.

2.6.4 Интегралы от квадратичных иррациональностей ∫R x;

+ bx + c dx

При вычислении таких интегралов удобно применять так называемые рационализи-

рующие подстановки Эйлера:

I. подстановка Эйлера. Если a > 0 , то полагают

ax2 +bx +c = ±a x +t ;

II. подстановка Эйлера. Если c > 0 , то делают подстановку

ax2 +bx +c = x t ± c ;

III. подстановка Эйлера. Если существует корень x0 квадратного трехчлена, то берут ax2 +bx +c = (x − x0 ) t .

2.6.5 Тригонометрические подстановки при интегрировании иррациональностей

− x

делают подстановку x = a sin t

или x = a cost .

I В интегралах вида ∫R x;

+ x

берут x = a tgt или x = a ctgt .

II В интегралах ∫R x;

III В интегралах ∫R x;

−a

делают замену переменной

x =

или

cost

x = a , t – новая переменная. sin t

В итоге исходный интеграл приводится к интегралу от тригонометрического выражения, а полученный интеграл вычисляется ранее описанными способами.

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 6314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf