Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 6313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

2.5.3 Интегрирование простейших рациональных дробей

Определение. Простейшими рациональными дробями называются дроби:

;

Ax + B

;

Ax + B

x −a

(x −a)k

x2 + px + q

(x2 + px + q)k

где A, B, a, p, q, k – заданные числа;

D = p2 −4q < 0 – дискриминант квадратного трехчлена,

k = 2,3,4, .

Вычислим интегралы от этих функций:

1) ∫

dx = A∫

= A∫

d(x −a)

= Aln

x −a

+C, C R .

x −a

(x −a)−k +1

2) ∫

dx =

A∫(x −a)−k dx = A

+C .

(x −a)k

−k +1

3) ∫

Ax + B

dx =

x2 + px + q

x2 + px + q = x

2 + 2x

p 2

− p2

−

+ q

= x

4q − p2

A t

−

где

= ∫

+ a

;

= −D > 0;

dt =

+ a

заменим x +

= t,

x = t −

dx = dt

tdt

B −

d(t

)

d(t2 + a2 )

A∫

+ ∫

tdt =

+ a

∫

B −

∫

+ a

+ a2

B −

arctg

+ C =

= x +

Ap 1

x +

+ a2

x +

B −

arctg

+ C.

p 2

x2 + px + q = x +

−

+ q =

+ a

Ax + B

−

∆

4) ∫

dx =

где

a2 = q

−

= −

0; т.к.

= p2 −4q < 0;

(x2 + px + q)k

замена :

x +

= t;

x = t −

;

dx = dt

A t −

+ B

Atdt

1 dt

= ∫

+ B −

∫

(t2 + a2 )k

2 + a2 )k

(t2

+ a2 )k

−k

∫(t

+ a

) d(t

+ a

)+ B −

−t

Здесь

= ∫

∫

dt + ∫

(t2

+ a

(t2

+ a2 )

(t2 + a2 )

+ a2 )

В интеграле - по частям

= (t

−k

2t dt

t = u(t);

du = dt;

dv(t)

+ a

2tdt

)

− ∫

2tdt = d(t

= a2

2 k

+ a

Ik −1

+ a

)

(t2 + a2 )−k +1

v(t)=

−k +1

(t2 + a

2 )−k +1 t

∫

(t2 + a2 )−k +1

Ik −1 −

dt =

−k +1

−k +

Ik −1 +

(t2 + a2 )−k +1 t

−

∫

dt =

2a2 (k −1)

(t2 + a2 )k −1

1 t

−

k −1

1)(t2

k −1

2(k −1)

2a2 (k −

+ a2 )

Окончательно

Ik =

2k −3

Ik −1,

k = 2;3;4; .

2 (

)(2

2 )k −1

2(k −1)

k −1 t

+ a

(2.10)

(2.11)

В силу рекуррентной формулы (2.11): вычисление Ik сводится к Ik −1 ; Ik −1 – к Ik −2 ; и т.д.; I2 – к I1 . Но:

I =		dt	=!!!=	1	arctg	t	+ C ,	(2.12)
1	∫ t2 + a2			a		a
	∫ t2 + a2			a		a

поэтому последовательно находим I1, , Ik .

Пример 2.10. Найти интеграл I = ∫

2x + 5

(x2 + 2x + 6)

Решение.

I =

x2 + 2x +6 = (x2 + 2x +1)+5 = (x +1)2 + (

)2 = t2 + a2,

= ∫

2(t −1)+5 dt =

где x +1 = t; a =

dx = dt

(t2 + a2 )2

5; x = t −1;

=		2tdt	+3		dt	=		(t2	+ a2 )−2 d(t2 + a2 )+3I2 =
	∫(t2 + a2 )2			∫(t2 + a2 )2			∫

=(t2 + a2 )−2+1 +3I2 ,

−2 +1

где I2 = ∫

по ф.(3.3), где k = 2

2 2 −3

I1 ;

2 1

(t2 + a2 )2

2a2 1 (t2 −a2 )1

arctg

+C .

∫ t2 + a2

Зная I1 , из (2.13) и (2.14) имеем:

t = x +1; a =

+C =

= −

)

arctg

+ a

−a

t2 + a2 = x2 + 2x +6

3(x +1)

x +1

+C.

= −

10(x2 + 2x +6)+

arctg

x2 + 2x +6

(2.13)

(2.14)

2.6Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические

ииррациональные функции, методом рационализации

2.6.1Интегрирование тригонометрических функций

Определение. Рациональной функцией R(a,b, ,c)

аргументов a,b, ,c называется

отношение

R(a,b, ,c)=

P(a,b, ,c)

Q(a,b, ,c)

двух многочленов P и Q от указанных аргументов.

Пример 2.11. Функция

xy +10y3 + 4

R(x, y) –

рациональная функция от x, y .

−5xy +5y2 −3

Пример 2.12. Функция

+53

−8

= R(

)

– рациональная функция от аргу-

+ 23

−3

ментов

и 3

Пример 2.13. Функция

2cos2 x −3sin x + 4

= R(sin x,cos x) – рациональная функция от

7cos sin2 x −3

аргументов sin x и cos x .

Рассмотрим интеграл

∫R(sin x,cos x)dx = I .

(2.15)

2) Другие тригонометрические подстановки

1. Пусть в интеграле (2.15) функция R обладает свойством

R(−sin x;cos x)= −R(sin x;cos x)

1) Универсальная тригонометрическая подстановка
t = tg	x	(2.16)

2

рационализирует интеграл (2.15), т.е. сводит его к интегралу от некоторой рациональной функции аргумента t.

При этом:

sin x =	2t	; cos x =	1−t2	; dx =	2dt	.	(2.17)
	1+t2		1+t2		1+t2

(2.18)

– «нечетность R относительно sin x ». Тогда в интеграле (2.15) удобна подстановка t = cos x ; в итоге получается интеграл от некоторой рациональной функции нового аргумен-

та t.

2. Если в интеграле (2.15) будет
R(sin x;−cos x)= −R(sin x;cos x)	(2.19)

–«нечетность R по аргументу cos x », то удобна подстановка t = sin x .

3.Если же выполняется условие

R(−sin x;−cos x)= R(sin x;cos x)

(2.20)

– «одновременная четность по sin x

и cos x », то удобна рационализирующая подста-

новка t = tg x . При этом следует учесть, что

sin2 x =

;

cos2 x =

; sin xcos x =

;

dx =

1+ t2

Пример 2.14.

подынтегральная функция R(sin x,cos x)не обладает особенностями;

∫

делаем универсальную тригонометрическую подстановку (2.16);

3 +sin x

применяем формулы (2.17); t = tg

2dt

это − интеграл от

3t +1

∫

1+t

∫

= 2

= =

arctg

+ 2t

рациональной функции

1+t2

						3tg	x	+1
		x		1
							2
=	t = tg		=				2		+C.
		2
		2			2 arctg	2	2

Пример 2.15. ∫

cos x

R(sin x,cos x)=

−нечетная

по cos x

cos xdx

d(sin x)

cos x

∫

cos2 x

∫1

−sin2 x

подстановка t = sinx

= ∫

1 ln

1+t

+C =

1 ln

1+sin x

+C.

1−t

1−sin x

Пример 2.16.

подынтегральная функция R(sin x,cos x)

∫

a2 cos2 x +b2 sin2 x

− одновременно четная по sin x и cosx подстановка t = tg x;

cos

sin

делаем подготовительные преобразования

d(tg x)

b1 d(bt)

= ∫

cos2 x

= ∫

sin2 x

+ a2

(bt)

cos2 x a2 +b2

cos

arctg bt +C =

arctg

b tg x

+C.

3) Некоторые частные случаи интегралов от тригонометрических функций

1. ∫sinm x cosn x dx (m, n – целые числа, причем хотя бы одно – нечетное).

•Если n – нечетное, то делают подстановку t = sin x .

•Если m – нечетное, то берут t = cos x .

Пример 2.17.

∫sin2 x cos3 x dx =

число 3 − нечетное

= ∫sin2 x cos2 x cos x dx =

подстановка t = sin x

= ∫sin2 x

(1−sin2 x)d(sin x)= ∫(t2 −t4 )dt = t3

− t5

+C = sin3 x

− sin5 x

+C.

2. В интеграле ∫sinm x cosn x dx числа m и n – оба четные натуральные числа. В

этом случае производится понижение порядков степеней по формулам

sin2 x =

(1−cos 2x); cos2 x =

(1−cos 2x).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 6313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf