2.4 Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле

d(u v)= u dv +v du ∫d(u v)= ∫u dv + ∫v du

1)∫d(u v)= u v +C

u v +C = ∫u dv + ∫v du

2)Выражая отсюда ∫u dv , получим формулу (2.8), ч.т.д.

Пример 2.6.

∫(1− x2 )exdx = два раза по частям!!! = ex (2x − x2 −1)+C

– это производная от некоторой известной функции), удобно интегрировать по частям, положив u(x)= ln x (или соответственно arcsin x и т.д.), а за dv(x) – все оставшееся под интегралом.

2. Интегралы ∫eax cosbx dx, ∫eax sin bx dx, ∫sin(ln x) dx, ∫cos(ln x) dx находятся, если два раза применить формулу интегрирования по частям, обозначить интеграл через I и затем решить уравнение относительно I.

Пример 2.7. Вычислить ∫sin(ln x) dx Решение. Обозначим интеграл I;

40

Из полученного равенства находим искомый интеграл I:

I= 1 ((sin(ln x))− x cos(ln x))+C . 2

2.5Разложение рациональных функций в сумму простейших рациональных дробей.

Интегрирование рациональных функций

2.5.1 Основные понятия. Разложение рациональных дробей в сумму простейших дробей

Определение. Рациональной функцией (дробно-рациональной функцией, рациональ-

ной дробью) называется отношение

R(x)= P(x) Q(x)

двух многочленов.

Определение. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя P(x) меньше степени знаменателя Q(x). В противном случае дробь называется неправиль-

ной.

Неправильная дробь путем деления (например, «уголком») приводится к сумме некоторого многочлена (частного от деления) и правильной дроби.

вильной дроби (т.е. «выделить правильную часть дроби»). Решение. Производим деление «уголком»:

41

Без доказательства.

2.5.2 Правило отыскания коэффициентов Ai , Bj , Mk ,

1.Привести сумму в правой части (2.9) к общему знаменателю.

2.Записать равенство числителей дробей слева и справа.

3.Приравнять коэффициенты многочленов-числителей при одинаковых степенях x.

4.Получится система линейных алгебраических уравнений относительно этих коэф-

фициентов; решая эту систему, находим нужные коэффициенты.

Замечание. Кроме (или вместо п. 3) можно поступить так: в указанные многочлены-

числители (п. 2) подставить числа x = x1, x = x2 , получить несколько уравнений относительно искомых коэффициентов.

42

Приравниваем числители:

A(x2 + x +1)+ B(x3 −1)+(Mx + N )(x2 −2x +1)= 2x3 + 4x2 + x + 2;

Ax2 + Ax + A + Bx3 − B + Mx3 −2Mx2 + Mx + Nx2 −2Nx + N = 2x3 + 4x2 + x + 2.

Приравниваем коэффициены слева и справа при одинаковых степенях x:

Решаем систему методом Гаусса; ее расширенная матрица

Восстановим систему уравнений по полученной матрице:

43