2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2.1 Основные понятия
Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f (x), если F′(x)= f (x).
Теорема 2.1. Если F1(x) и F2 (x) – две первообразные для f (x), то они могут отличаться лишь на constC :
F1(x)− F2 (x)= C .
Доказательство.
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(F1(x)− F2 (x)) |
f (x)− f (x)= 0; но C |
= 0 (только!) F1(x)− F2 (x)= С , |
|||||||||||||||||||||||||
= F1 |
(x)− F2 (x)= |
|
|
||||||||||||||||||||||||
что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следствие 2.1. Если известна какая-либо одна первообразная F(x) |
для |
f (x), то |
|||||||||||||||||||||||||
другая: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1(x)= F(x)+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
||||||||
Определение. |
Неопределенным интегралом ∫ f (x)dx от функции |
f (x) |
называется |
||||||||||||||||||||||||
множество всех первообразных для |
f (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Из следствия 2.1 получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ f (x)dx = F(x)+ C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.2) |
|||||||||
где F(x) – какая-либо первообразная для функции f (x), т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3) |
|
F (x)= f (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Замечание. Согласно (2.3), вычисление интеграла (2.2) можно проверить с помощью |
|||||||||||||||||||||||||||
производной – это, например, делается при получении следующей таблицы |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∫0 dx = C (C − число) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫1 dx = x + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫xk |
|
|
|
|
|
xk +1 |
|
|
|
|
(например, ∫x dx = |
|
|
x2 |
∫ |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
dx = |
|
|
|
+C |
(k ≠ −1) |
|
|
|
+C; |
|
|
|
|
|
= 2 |
|
x +C), |
||||||||||
|
|
k +1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
∫dx |
= ln |
|
x |
|
+ C, ∫ax dx = |
ax |
+ C, где a > 0, a ≠1 (в частности, |
|
|
∫ex dx = ex + C), |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫sin x dx = −cos x +C;
∫cos x dx = sin x + C;
36
∫cosdx2 x = tgx + C;
∫sindx2 x = −ctgx +C;
∫ |
dx |
= |
|
1 |
|
arctg |
x |
+ C; (в частности, |
∫ |
|
dx |
|
= arctgx + C), |
||||||||||||||
a2 + x2 |
a |
|
1+ x2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫ |
dx |
|
1 |
|
|
a + x |
|
+ C; (в частности, |
|
∫ |
|
dx |
|
= |
1 |
ln |
|
|
1+ x |
|
|
+ C), |
|||||
= |
|
ln |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
a2 − x2 |
|
|
a − x |
|
|
1− x2 |
|
1− x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫
∫
|
dx |
|
= arcsin |
x |
+ C; |
(в частности, ∫ |
|
dx |
|
= arcsin x + C), |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a2 − x2 |
|
|
|
a |
|
1− x2 |
|
|
|||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
x + x2 ± a2 |
+C , |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 ± a2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫sh x dx = ch x + C;
∫ch x dx = sh x + C;
∫chdx2 x = th x + C;
∫shdx2 x = −cth x +C .
Здесь: sh x = |
ex − e−x |
; ch x = |
ex + e−x |
; |
thx = |
sh x |
; cth x = |
ch x |
. |
|
2 |
2 |
ch x |
sh x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Замечание 1. Во всех формулах букву «х» можно поменять в обеих частях на любую функцию ϕ(x), ϕ(t), ϕ(s) и т.д., имеющую производную, например:
а) в формуле ∫cos x dx = sin x + C; x → ex : ∫cos(ex ) d(ex )= sin(ex )+ C ;
б) x → lnt : ∫cos(lnt)d(lnt)= sin(lnt)+C ;
в) x → s5 : ∫cos(s5 )d(s5 )= sin(s5 )+C .
Замечание 2. При дифференцировании элементарной функции получается также элементарная функция; при интегрировании – не всегда (говорят: «интеграл не берется»). Например:
∫e−x2 dx – «интеграл Пуассона» – «не берется»;
∫cos(x2 )dx; ∫sin(x2 )dx – «интеграл Френе»;
37
∫ln1x dx – «интегральный логарифм»;
∫sinx x dx; ∫ cosx x dx – «интегральные синус и косинус» – тоже не берутся.
2.2Основные свойства неопределенного интеграла
1.а) (∫ f (x)dx)′ = f (x);
б) d(∫ f (x)dx)= f (x)dx .
2. |
∫dΦ(x)= Φ(x)+C . |
|
|
|
|||
3. а) ∫αf (x)dx = α∫ f (x)dx ; |
|
|
|
||||
|
б) ∫(f1(x)+ f2 (x))dx = ∫ f1(x)dx + ∫ f2(x)dx . |
|
|||||
4. |
Если |
|
|
|
|
||
∫ f (x)dx = F(x)+C , |
|
|
(2.4) |
||||
то ∫ f (ax + b)dx = |
1 |
F(ax + b)+ C . |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
5. |
Если ϕ(x) имеет производную, то |
|
|
||||
∫ f (ϕ(x))d(ϕ(x))= F(ϕ(x))+C ; F(x) – первообразная для f (x). |
(2.5) |
||||||
Доказательства. |
|
|
|
||||
|
|
|
′ |
′ |
′ |
|
|
1. а) (∫ f (x)dx) |
= (F(x)+ C) |
f (x); |
|
||||
= F (x)+ 0 = |
|
||||||
|
б) d(∫ f (x)dx)= (∫ f (x)dx)′dx = f (x)dx . |
|
|
||||
2. |
∫dΦ(x)= ∫Φ′(x)dx = Φ(x)+ C . |
|
|
||||
3. а) ∫αf (x)dx = αF(x)+C = α(F(x)+C1)= α∫ f (x)dx ; |
|
||||||
б) ∫(f1(x)+ f2(x))dx = (F1(x)+ F2(x))+С = (F1(x)+C1)+(F2(x)+C2 )=
= ∫ f1(x)dx + ∫ f2 (x)dx .
4. Если |
′ |
f (x), то |
′ |
|
правило производной от сложной функции |
|
= |
||||
|
|
||||||||||
F (x)= |
F (ax +b)= |
|
|||||||||
|
′ |
|
1 |
|
′ |
|
|
f (ax +b) первооб- |
|||
= f (ax +b) (ax +b) = f (ax +b) a |
|
|
|
|
= |
f (ax +b), т.е. для |
|||||
|
F(ax +b) |
||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
разной служит функция 1 F(ax +b). a
38
5. (F(ϕ(x)))′ = dFdϕ ddxϕ = f (ϕ(x)) ϕ′(x). Значит, первообразной функцией для функции
f (ϕ(x)) ϕ′(x) служит функция F(ϕ(x)), т.е.
′ |
|
|
|
∫ f (ϕ(x))dϕ(x)= F(ϕ(x))+C . |
(2.6) |
||||||||||
∫ f (ϕ(x))ϕ (x) dx = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
||||
Формула (2.6) называется формулой поднесения ϕ (x) под знак дифференциала. |
|
||||||||||||||
Пример 2.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫cos(ln x) dx = |
|
dx |
= 1 dx = (ln x)′dx = d(ln x) |
|
|
= ∫cos(ln x) d(ln x)= sin(ln x)+C , |
т.к. |
||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫cos x dx = sin x +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫cos(x5 )x4dx = |
|
dx5 = |
5x4dx |
= ∫cos(x5 )15 d(x5 )= 15 |
∫cos(x5 )d(x5 )= |
|
|
|
= 15 sin(x5 )+C. |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
x4dx = |
1 d(x5 ) |
|
таблица |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.3.
∫cos(ex )exdx = exdx = dex = ∫cos(ex )d(ex )= таблица = sin ex +C .
2.3 Замена переменной в неопределенном интеграле
Теорема 2.2. Пусть x = ϕ(t) – непрерывная функция; ϕ′(t) – тоже непрерывная; ϕ(t)
имеет обратную функцию. Тогда:
′ |
(2.7) |
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt – |
формула замены переменной.
Доказательство. Проверим, что равны производные по x от обеих частей (2.7):
а) (∫ f (x)dx)′x = (F(x)+C)′ = F′(x)= f (x);
б) (∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt)′x = (f (ϕ(t))ϕ′(t)) ϕ′1(t) = f (ϕ(t))= f (x);
производные а) и б) – равны формула (2.7) – верна, ч.т.д.
Пример 2.4. Вычислить ∫
1− x2 dx .
Решение.
|
|
|
|
|
замена : |
x = sin t; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dx = cost dt; |
|
|
||||||
∫ |
1 |
− x2 dx = |
|
= ∫cost cost dt = = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
− x |
2 |
= |
|
cost |
|
= |
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= (считаем, что I |
|
четверть)= cost |
|
||||||
39