Далее исследуем границу области D. Исследование проводим по всем участкам облас-

ти.

1. Участок ОА. Уравнение этой стороны x = 0. Подставляем это значение x в исход-

z2′ = 2x −4 = 0, x = 2 . Полученная точка M2 (2,0) принадлежит линии ОВ. Значение функции в этой точке z(M2 )= z2(M2 )= 4 −8 + 3 = −1.

Значение функции в точке границы z(B)= z2(B)=100 − 40 + 3 = 63 .

3. Участок АВ. Уравнение этой стороны: y =10 − x . Подставив в исходную функцию это выражение для y, получим

z3 = x2 +(10 − x)2 +10x(10 − x)−4x −8(10 − x)+3 =

= x2 +100 −20x + x2 +100x −10x2 −4x −80 +8x +3 = −8x2 +84x + 23.

Критические точки полученной функции z3 определяем из условия z3′ = 0 :

1.6 Метод наименьших квадратов

Пусть в процессе эксперимента получены пары значений

31

Требуется установить зависимость вида y = f (x). Если зависимость не задана, то мы на плоскости XOY строим исходные точки и соединяем их отрезками прямых. По форме полученной ломаной линии устанавливаем (вообще говоря, приближенно) формулу связи между x и y (линейная, нелинейная).

1. Пусть рассматривается линейная зависимость y = a0 + a1x ,

где a0 и a1 – неизвестные параметры, подлежащие определению. Значения этих параметров ( a0 , a1 ) определяем по методу наименьших квадратов. Суть метода состоит в том, что сумма квадратов отклонений расчетных значений от фактических должна быть величиной минимальной:

i=1

i

Подставляем в (1.29) исследуемую линейную зависимость:

l= ∑n (yi − a0 − a1xi )2 → min .

i=1

Функция l является функцией двух переменных ( a0 и a1 ). Необходимое условие существования экстремума будет иметь вид:

Сократим уравнения системы на (–2):

∑n (yi − a0 − a1xi )= 0i=1

∑n (yi xi − a0xi − a1xi2 )= 0

i=1

Известно, что сумма разности равна разности сумм:

Коэффициенты a0 и a1 являются постоянными по отношению к суммам. Следовательно, их можно вынести за знак суммы:

32

Полученная система является системой для определения неизвестных параметров a0 и a1 . Решая эту систему, определяем числовые значения a0 и a1 . Подставив найденные числовые значения a0 и a1 в рассматриваемую зависимость, получаем конечный результат.

Пример 1.33. По данным эксперимента построить линейную зависимость y = a0 + a1x .

Решение. Построим исходные точки на плоскости (рис. 6.1). Соответствующая ломаная линия близка к отрезку прямой.

Рис. 1.6

По исходным данным имеем:

Подставляем эти данные в систему (6.2)

5a0 +15a1 =11

15a0 +55a1 = 45

Умножим первое уравнение на (–3):

33

Расчетная линия показана на рисунке 6.1 пунктиром. Она близко подходит к средней

линии.

2. Рассмотрим параболическую зависимость (нелинейную) y = a0 + a1x + a2x2 .

Это функция трех переменных ( a0,a1,a2 ). Необходимое условие существования экстремума будет иметь вид:

34

Полученная система является системой для определения коэффициентов ai .

Пример 1.34. Построить зависимость y = y(x) по данным

Решение. На плоскости XOY строим данные точки и соответствующую ломаную линию (рис. 1.7).

Видно, что зависимость между x и y близка к параболической. По исходным данным имеем:

Рис. 1.7 Замечание. Для каждой зависимости получается своя расчетная система или уравне-

ние, т.е. каждый раз в функцию l (1.29) подставляем свою рассматриваемую зависимость.

35