Математика. Часть 1

Математическое ожидание M (X ) np .

Дисперсия D(X ) npq.

Наивероятнейшее значение случайной величины k0 – число испытаний,

при котором достигается максимальная вероятность в n независимых испытаниях:

np q k0 np p .

Предельные теоремы в схеме Бернулли

В задачах, в которых рассматривается большое число независимых испытаний n , а вероятность p наступления события A в каждом испытании мала, вероятность Pn (m) может быть приближенно вычислена по формуле Пуассона. Справедлива

Теорема (Пуассона). Пусть вероятность события A при каждом испытании

72

в серии из n независимых испытаний равна n , где 0 – постоянная, не зависящая от n . Тогда вероятность Pn (m) при n и фиксированном m

стремится к m e . m!

Таким образом, если n , при выполнении условий теоремы получаем:

закону Пуассона, равно ее дисперсии: M (X ) D(X ) .

Приближенную формулу для вычисления вероятности

устанавливает

Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа). Пусть вероятность

где x m np . npq

Другими словами, при больших n имеет место приближенная локальная

формула Муавра-Лапласа

удовлетворительное значение вероятности при достаточно больших значениях

73 n , а также если p не слишком близко к 0 или 1. Функция (x) четная; ее значения для x 0 заданы таблицей.

На практике при большом числе испытаний n и не слишком малой

вероятности p важно оценить вероятность того, что число появлений события

A лежит в некоторых границах. Эту оценку устанавливает

Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа). Пусть m – число

наступления события A в серии из n независимых испытаний, p – вероятность

Другими словами, при больших значениях n имеет место приближенная

интегральная формула Муавра-Лапласа

Pn (m1 m m2 ) (x2 ) (x1 )

значения при x 0 задаются таблицей.

Оценка погрешности при использовании интегральной формулы Муавра-

Лапласа показывает, что эта формула обеспечивает хорошую точность уже при npq 10 .

Равномерный закон распределения вероятностей

распределенной на [a,b], если ее плотность вероятностей

Графики f (x) и F(x) изображены на рис.1 и рис.2 соответственно.

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по равномерному закону, в заданный интервал ; :

Нормальный закон распределения вероятностей

75

Непрерывная случайная величина X называется распределенной по нормальному закону или имеет гауссовское распределение, если ее плотность вероятностей имеет вид

Графики f(x) и F(x) изображены на рис.3 и рис.4 соответственно a .

Дисперсия D( X ) 2 .

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал ; :

76

Экспоненциальный (показательный) закон распределения вероятностей

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по

экспоненциальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

Графики f (x) и F(x) изображены на рис.5 и рис.6 соответственно.

Рис.5 Рис.6

Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по экспоненциальному закону M ( X ) 1 .

Дисперсия D( X ) 12 .

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону, в заданный интервал ; :

P( X ) e e

77

Логарифмически-нормальный закон распределения вероятностей

Непрерывная случайная величина Х имеет логарифмически-нормальное

распределение, если ее логарифм подчинен нормальному закону.

Плотность распределения вероятностей случайной величины X, имеющей логарифмически-нормальное распределение:

Дисперсия D( X ) a2 e 2 e 2 1 .

Графики f (x) и F(x) изображены на рис.7 и рис.8 соответственно.

Распределение 2

Пусть Zi i 1,2,...,k – независимые случайные величины, распределенные

78

по нормальному закону, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение – единице.

Тогда сумма квадратов этих величин распределена по закону 2 (''хи квадрат") с k степенями свободы:

Распределение 2 определяется одним параметром – числом степеней свободы k . С увеличением числа k распределение медленно приближается к нормальному.

Графики f (x) и F(x) изображены на рис.9 и рис.10 соответственно.

79

Распределение Стьюдента

Распределением Стьюдента называется распределение случайной

величины

где Z – случайная величина, распределенная по нормальному закону, причем ее математическое ожидание равно нулю, а среднее квадратическое отклонение –

где Г( у) – гамма-функция в точке y.

Графики f (x) и F(x) изображены на рис.11 и рис.12 соответственно.

80

Математическое ожидание M (t) 0.

Дисперсия D(t) k . k 2

4.12. Закон больших чисел и его следствие

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату,

почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

Неравенство Маркова. Для каждой неотрицательной случайной величины X , имеющей математическое ожидание M (X ) , при любом 0

справедливо:

P( X ) M ( X ) .