Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

111

По условию n= 400, p= 0,75, q= 0,25, k= 280. Применяем локальную

теорему Муавра-Лапласа:

x	k np	280 300	2,31.
	npq	75

По таблицам функции Гаусса: ( 2,31) (3,31) 0,0277 .

Искомая вероятность равна:

P (280)	1	(x)	0,0277	0,0032 .

400	npq	75

в) Случайная величина Х с математическим ожиданием a= 2 и средним
квадратическим	отклонением 3 распределена по нормальному закону.

Записать плотность распределения и функцию распределения случайной величины Х. Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал

; ,

4 .

Решение.

Плотность вероятностей

случайной

величины

X, распределенной по

x a 2

нормальному закону имеет вид

f (x)

2 . Для заданных параметров

a=2

плотность вероятностей

запишется

следующим образом:

f (x)

x 2 2

9 .

Функция распределения случайной величины X, распределенной по нормальному закону:

		x a			z 2
F (x)	1			2
			e

	2

dz . Запишем функцию распределения для заданных

		x 2		z 2
параметров a 2 и 3: F (x)	1			2 dz .
		3	e
	2

Искомая вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал ; вычисляется по формуле:

112

		a			a
P X						,

	1	x e	z 2
где (x)	1		2	dz – функция Лапласа.
где (x)	2		2	dz – функция Лапласа.
	2	0
Поэтому
		4 2			2 2		2	4
P 2 X 4
P 2 X 4
				3		3	3	3

(0,67) (1,33) 0,2486 0,4082 0,6568

Здесь учтена нечётность функции Лапласа, значения которой находятся из таблицы.

Задание 5.12.
Задана матрица перехода системы из состояния i (i 1, 2, 3) в состояние
j ( j 1, 2, 3) за один шаг:
a	b	c

d	e	k .
	m
l	m	n

Найти матрицу перехода из состояния i в состояние j						за два шага, если
a 0,6;	b 0,3;	c 0,1;	d 0,2;	e 0,5;	k 0,3;	l 0,2;	m 0,3;
n 0,5.

Решение.

Заданная матрица имеет вид:

0,6	0,3	0,1
P 0,2	0,5	0,3 .

	0,3
0,2	0,3	0,5

Матрица перехода i j за n шагов равна An .

Для n 2 искомой является матрица P2 :

113

0,6	0,3	0,1	0,6	0,3	0,1	0,44	0,36	0,20
P2 0,2	0,5	0,3	0,2	0,5	0,3	0,28	0,40	0,32 .

	0,3			0,3			0,36
0,2	0,3	0,5	0,2	0,3	0,5	0,28	0,36	0,36

Задание 5.13.

Из генеральной совокупности извлечена выборка, представленная в виде статистического ряда (в первой строке указаны выборочные значения xi , во второй – соответствующие им частоты ni ).

Требуется:

1) вычислить выборочное	среднее	xв , выборочную дисперсию Dв ,
исправленные выборочные	дисперсию		S 2	и среднеквадратическое
отклонение S ;

2)построить по данным статистического ряда эмпирическую функцию распределения и ее график;

3)по выборочному среднему xв и исправленному среднеквадратическому

отклонению			S найти	с	доверительной			вероятностью		0,95
доверительный интервал
а) для математического ожидания M (x) , если								среднеквадратическое
	отклонение (x) известно (принять (x) S );
б) для M (x) , если (x) неизвестно;
в) для (x) .
Число степеней свободы принять равным 3.

xi		2	3	5		6	8		9	10

ni		4	10	21		30	20		10	5

114

Решение.

1. Объём выборки

n ni 4 10 21 30 20 10 5 100 .

Выборочное среднее

xв 1n xi ni 1001 (2 4 3 10 5 21 6 30 8 20 9 10 10 5 6.23.

Выборочная дисперсия

Dв n1 (xi xв )2 ni n1 xi2 ni .xв 2

1001 (22 4 32 10 52 21 62 30 82 20 92 10 102 5) (6.23)2 4.20.

Исправленная выборочная дисперсия

S 2

100

4.24 .

)2 n

n 1

Исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение

S S 2 4.24 2.06.

2. Статистическая (эмпирическая) функция распределения выборки

F * (x)	nx			ni	,

	n		xi x n
где nx – количество элементов xi			выборки, меньших, чем x .
0,		x 2
0.04,			2 x 3

			3 x 5
0.14,
0.35,			5 x 6
F * (x)			6 x 8
0.65,
0.85,			8 x 9
			9 x 10
0.95,
			10 x.
1,

115

График функции F * (x) :

F * (x)

0,95

0,85

0,65

0,35

0,14

0,04

																						x
		0				2	3			5	6				8				9		10	x
		0				2	3			5	6				8				9		10
3. а) При известном (x)										доверительный интервал для математического
ожидания M (x) определяется по формуле
						t		(x)		M (x)				t		(x)		,
				x	в			(x)				x	в			(x)
				x								x
									n								n
									n								n
где t		– корень уравнения								(t)	0,95				0,475					отыскивается из таблицы
где t		– корень уравнения								(t)	2				0,475					отыскивается из таблицы
											2
значений		функции Лапласа								(t) .		По				таблице					t 1,96 . Принимаем
(x) S 2,06 и вычисляем
	t (x)		1,96 2,06				0,40 .
							0,40 .
	n		100

Находим доверительный интервал для M (x) :

6,23 0,40 M (x) 6,23 0,40 или (5,83;6,63) .

б) Если среднеквадратическое отклонение неизвестно, то в качестве его точечной оценки принимается значение S ( (x) S 2,06 ), а доверительный

116

интервал для M (x) имеет вид

xв

; xв

где значение

определяется из таблицы распределения Стьюдента при

заданных

0,95

и числе степеней свободы, равном 3. По таблице t 3,18

(уровень значимости 1 ).

3,18 2,06

0,66 .

100

Находим доверительный интервал для M (x) , если среднеквадратическое

отклонение неизвестно:

6,23 0,66 M (x) 6,23 0,66 или (5,57;6,89) .

в) Доверительный интервал для (x) :

S(1 q) (x) S(1 q) ,

где

определяется

из таблицы значений q q( ,n) . При

0,95,

n 100 находим q 0,143.

S(1 q) 2,06 0,857 1,77,

S(1 q) 2,06 1,143 2,35.

Следовательно,

1,77 (x) 2,35 или (1,77;2,35).

Задание 5.14.

Дано статистическое распределение срока службы инструмента до выхода за пределы точности (в месяцах).

xi – срок службы в мес.	21–26	26–31	31–36	36–41	41–46

mi – частота	9	23	36	22	10

Требуется:

1)построить полигон и гистограмму относительных частот (частостей);

2)по виду полигона и гистограммы и, исходя из механизма образования исследуемой СВ, сделать предварительный выбор закона распределения;

117

3)предполагая, что СВ распределена по нормальному закону, найти точечные оценки параметров распределения, записать гипотетичную функцию распределения;

4)найти теоретические частоты нормального распределения и проверить

гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона 2 при уровне значимости 0,05 .

Решение.
Вычислим относительные частоты							mi	,	середины интервалов		x* ,
Вычислим относительные частоты					i			,	середины интервалов		x* ,
					i		n				i
							n
высоты прямоугольников гистограммы h				i		.
высоты прямоугольников гистограммы h						.
		i		h
				h

i	0,09	0,23			0,36				0,22	0,1
x*	23,5	28,5			33,5				38,5	43,5
i
i	0,018	0,046	0,072						0,044	0,02
h	0,018	0,046	0,072						0,044	0,02
h

Построим гистограмму и полигон частостей.

Так как полигон частостей приближенно представляет кривую Гаусса и срок службы инструмента зависит от большого количества независимых параметров, то можно сделать предположение о нормальном распределении

118

срока службы инструмента. Вычислим точечные оценки параметров

распределения.

					1			k					1
a x					1			x m					1			(23,5 9 28,5 23 33,5 36
a x								x m								(23,5 9 28,5 23 33,5 36
		в			n i 1				i i				100
					n i 1								100
								38,5 22 43,5 10) 33,55.
								n								2
											2
											2
в		s							X			xв					.
в		s					n 1		X			xв					.
							n 1
			1			k		x 2 m					1
	X 2		1										1			(23,52 9 28,52 23 33,52 36 38,52 22
	X 2															(23,52 9 28,52 23 33,52 36 38,52 22
			n i 1					i		i			100
			n i 1										100
															43,52 10) 1155,85.
	s	100				1155,85 33,552 5,53 .
	s		99			1155,85 33,552 5,53 .
			99
Запишем гипотетичную функцию распределения
				1				x a						1			x 33,55
	F (x)																		.
	F (x)																		.
				2						s				2				5,53

Вычислим теоретические частоты в предположении, что СВ распределена

по нормальному закону:

xв

xi xв

npi ;

xi 1

Вычисления значений функции Лапласа приведены в таблице.

							x
											x
				xi		xв			i			в

№	xi	xi xв

										s
					s					s
1								–0,5
2	26	–7,55		–1,37			–0,4147

3	31	–2,55		–0,46			–0,1772
4	36	2,45	0,44				0,1700
5	41	7,45	1,35				0,4115
6							0,5

119

Вычислим теоретические частоты:

p1 P( X 26) 0,4147 0,5 0,0853, p2 P(26 X 31) 0,1772 0,4147 0,2375 ,

p3 P(31 X 36) 0,1700 0,1772 0,3472 ,
p4 P(36 X 41) 0,4115 0,1700 0,2415,
p5 P(41 X ) 0,5 0,4115 0,0885.
m	np 100 0,0853 8,53, m						23,75, m 34,72,								m 24,15,		m 8,85.
1	1			2					3						4	5
Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия 2 .
Вычислим статистику Пирсона.
2	k		mi )	2	(9 8,53)			2	(23 23,75)				2		(36 34,72)	2
2	(mi		mi )		(9 8,53)				(23 23,75)						(36 34,72)
	i 1		mi			8,53					23,75				34,72
				(22 24,15)			2			(10 8,85)2
												0,437.
				24,15					8,85			0,437.
				24,15					8,85
Из таблицы критических точек распределения 2															по уровню значимости
0,05 и числу степеней свободы н = k – 3 = 2 найдем															2 (0,05; 2) 5,991.
															кр
Так как	2 2		, то		нет оснований отвергать									гипотезу о нормальном
		кр

распределении СВ.

Задание 5.15.

Измерялась чувствительность видео- и звукового каналов первой

программы 20 телевизоров. Данные измерений ( в микровольтах) приведены

(первое из чисел пары – чувствительность видеоканала каждого телевизора,

второе – звукового):
400 – 140	340 – 160	480 – 160	320 – 120
420 – 170	500 – 240	430 – 270	540 – 260
450 – 110	450 – 100	420 – 190	450 – 280
380 – 160	280 – 150	410 – 200	320 – 130
540 – 180	310 – 120	500 – 180	460 – 200

120

Найти среднюю чувствительность видеоканала и звукового канала

телевизоров, среднеквадратичное отклонение чувствительности каждого из каналов и выборочный коэффициент корреляции чувствительности обоих каналов. Написать выборочное уравнение линейной регрессии на .

Решение.

Оценки для m и m найдем по формулам:

	1	n			1	n
m	1	x	;	m	1	y	.
m		x	;	m		y	.
		i				i
	n i 1				n i 1

Подставив числовые значения, получим:

m 201 (400 420 2 450 3 380 540 2 340 500 2 280310 480 430 410 320 2 460) 420;

(140 170 110 160 3 180 3 180 2 240 100

150 120 2 270 190 200 260 280 2 130) 180.

При

неизвестных

математических

ожиданиях m и

m оценками для

среднеквадратичных отклонений будут:

1 20

xi m

420

76 ;

1 i 1

19 i 1

1 20

yi m

yi 180

57,8.

1 i 1

19 i 1

Используя формулу оценки для корреляционного момента при

неизвестных математических ожиданиях m

и m , найдем:

m yi

420 yi

180 589,47 .

1 i 1

19 i 1

Следовательно, выборочный коэффициент корреляции случайных величин

и :

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf