Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

101

y0 C1 y1 C2 y2 C1 C2ex общее решение однородного уравнения.

Частное решение y* y1* y2* y3* , где решения y1* Axex , y2* Be2 x , y3* x A1 x A0 .

Определим коэффициенты А, В, A1 , A0 , для этого продифференцируем y*

и подставим в исходное уравнение

A 1 x e

2Be

2 x

2 A1 x A0

4Be

2 A1

y* A 2 x e

2 x

A 2 x ex 4Be2 x 2 A A 1 x ex 2Be2 x

2 A x A ex

e2 x x .

Приравняем соответствующие коэффициенты в левой и правой частях

A 1

e2 x

2B 1

2 A 1

2 A A 0

A 1, B

, A

A 1.

2 x

Получаем yH

C1 C2e

x 1 .

Задание 5.7.

а) Методом характеристического уравнения найти общее решение

системы:

dx1

x ;

dx2

Решение.

Составляем характеристическое уравнение:

102

	2		1	0 ,			2 6 5 0,		1,				2	5 .
	2		1	0 ,			2 6 5 0,		1,					5 .
	3		4						1
	3		4
Для 1			1 составляем систему:
2		1	1			0	,				0;	.
					1	0	,	1		2		.
					2			3 1 3 2 0.
3			4 1		2			3 1 3 2 0.

Система уравнений сводится										к				одному		уравнению: 1							2	0 .	Это
уравнение определяет вектор 1; 1 .
Для 2		5 составляем систему:
2 5		1				0	,							3								0;
			1			0	,										1				2
3		4 5		2										3	1				2	0.
				2											1				2
Система уравнений сводится к одному уравнению: 3 1																							2	0.	Это
уравнение определяет вектор								1; 3 .					Получаем					фундаментальную						систему
решений:
при		1,	x		et ,				x		21			et .
1			11								21
при	2	5 ,	x			e5t	,			x		22		3e5t .
	2		12									22
			x C et					C		e5t			;
Общее решение:					1		1		2
			x2 C1et 3C2 e5t .

б) Найти общее решение системы методом исключения:

dx1		2x	x ;

	1		2
dt

dx2		3x	4x		.

	1			2
dt

Решение.

Дифференцируем первое уравнение:

d 2 x1 2 dx1 dx2 . dt 2 dt dt

Получим новую систему уравнений:

103

dx1

x ;

d 2 x1

dx1

dx2

Первое уравнение новой системы разрешим относительно функции

x2 .

Для этого во второе уравнение новой системы подставим выражение для

dx2

из

d 2 x

4x .

второго уравнения исходной системы:

dt 2

полученном

уравнении x

заменяем

выражением

dx1

2x ,

найденным из первого уравнения исходной системы:

d 2 x

3x 4

dt 2

Приходим к дифференциальному уравнению второго порядка

относительно неизвестной функции x1 t :

2 x

0 .

dt 2

Решаем последнее уравнение:

6 5 0

2 5 .

Отсюда x C et C

e5t . Тогда

dx1

C et

e5t .

Подставляя

полученные

выражения для

dx1

получим: x

C et

e5t 2 C et C

e5t .

Общее решение:

x C et

e5t ;

x2 C1et 3C2 e5t .

104

Задание 5.8.

Для доставки экстренного сообщения отправлены различными маршрутами два курьера. Вероятности своевременной доставки сообщения курьерами равны 0,8 и 0,6 соответственно. Найти вероятности того, что: а)

своевременно успеют оба курьера; б) только один курьер; в) хотя бы один курьер; г) оба курьера опоздают.

Решение.

Обозначим через A , B случайные события, наступающие в случаях, когда

успевают первый или второй курьеры соответственно,							P(A) 0,8,	P(B) 0,6 .
Введем также события: C – успевают оба курьера, D – только один курьер, E –
хотя бы один курьер, F – оба курьера опоздают.
а)	Представим событие в виде C A B . Применяя теорему умножения
вероятностей и учитывая очевидную из условия независимость событий A , B
находим
P(C) P(A B) P(A) (B) 0,8 0,6.
			D A			B
б)	Согласно	условию	D A	B	A	B	(чертой	обозначены
противоположные события). По			теореме сложения				вероятностей с учетом

несовместности слагаемых имеем

P(D) P A B A B P A B P A B .

Вновь, применяя теорему умножения при независимых сомножителях,

находим

P(D) P( A) P(B) P( A) P(B) P( A) (1 P(B)) (1 P( A)) P(B)0,8(1 0,6) (1 0,8) 0,28.

в) Здесь D A B . Слагаемые A , B совместны, поэтому теорема сложения запишется:

P(D) P( A B) P( A) P(B) P( A B) P( A) P(B) P( A) P(B)

0,8 0,6 0,8 0,6 0,92.

105

г) По условию F A B , откуда

P(F) P A B P A P B 1 P(A) (1 P(B)) 0,2 0,4 0,08 .

Заметим	также,	что события D F является достоверным,			поэтому
P(D F) 1.	Поскольку D ,		F несовместны, то	P(D F) P(D) P(F),
откуда можно также найти вероятность P(F) 1 P(D) 0,08 .
Задание 5.9.
Компания имеет		три	источника поставки	комплектующих –	фирмы

A, B, C . На долю фирмы A приходится 50% общего объема поставок, B – 30%

и C – 20%. Среди поставляемых фирмой A деталей 10% нестандартных,

фирмой B – 5% и фирмой C – 6%. Найти вероятность, что взятая наугад деталь стандартна. Выбранная деталь оказалась стандартной. Определить вероятность того, что деталь поступила от фирмы B .

Решение.

Пусть событие D – выбранная деталь стандартна. Вероятности гипотез о том, то деталь поставлена фирмами A, B, C , равны соответственно

P(A) 0,5 ,		P(B) 0,3,		P(C) 0,2 .
Условные вероятности, что выбранная деталь стандартна, при условии
поставки соответственно фирмами A, B, C равны
PA (D) 0,9	,	PB (D) 0,95	,	PC (D) 0,94	.
	,		,		.

По формуле полной вероятности находим

P(D) P( A) PA D P(B) PB D P(C) PC D0,5 0,9 0,3 0,95 0,2 0,94 0,923.

Вероятность того, что выбранная стандартная деталь поставлена фирмой

B , определяется по формуле Байеса.
PD	B	P B PB D	0,3 0,95	0,309.
		P D	0,923

106

Задание 5.10.

а) Дискретная случайная величина X задана законом распределения.

Найти математическое ожидание M x , дисперсию D x , среднее

квадратическое отклонение σ(x) , начальные и центральные моменты первого,

второго, третьего и четвертого порядков.

Решение.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

	X i	1	2	4
	Pi	0,1	0,3	0,6
Математическое ожидание				случайной величины X вычисляется по

формуле

M x xi pi .

M x 1 0,1 2 0,3 4 0,6 3,1.

X i2	1	4	16
Pi	0,1	0,3	0,6

M x2 1 0,1 4 0,3 16 0,6 10,9 .

Дисперсия случайной величины X вычисляется по формуле

D x M (x2 ) M (x) 2 .

D x 10,9 3,1 2 1,29 .

Среднеквадратическое отклонение случайной величины X вычисляется по формуле

x D(x) .

x 1,29 1,14 .

107

X i3	1	8	64

Pi	0,1	0,3	0,6

M x3 1 0,1 8 0,3 64 0,6 40,9.

X i4	1	16	256

Pi	0,1	0,3	0,6

M x4 1 0,1 16 0,3 256 0,6 158,5.

Начальные моменты случайной величины X :

1 M x 3,1;

2 M x2 10,9 ;

3 M x3 40,9 ;

4 M x4 158,5 .

Центральные моменты случайной величины X :

1 M x M (x) 0 ;

2		2			12 10,9 3,12						1,29 ;
	3		3		3	2			2 3		40,9 3 10,9 3,1 2 3,12 41,25 ;
								1		1
	4			4	4		3		1	6	2	2	3 4
												1	1
		158,5 4 40,9 3,1 6 10,9 3,12												3 3,14	187,48.

б) По заданной функции распределения случайной величины найти плотность распределения и построить ее график. Вычислить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал a,b , математическое

ожидание и дисперсию, если

0,		x 3
	x 3 3
	x 3 3
F x		, 1 x 7 ;
		64
1,		x 7.

a 2 ;	b 5.

108

Решение.

Плотность распределения определяется по формуле

0,				x 3
	3
	3
f x F ' x		x 3 2	,	3 x 7
f x F ' x	64	x 3 2	,	3 x 7
	64			x 7
0,				x 7

График показан на рисунке:

Искомая вероятность:

P 2 5 F 5 F 2 5 3 3 0 0,125. 64

Математическое ожидание и дисперсия:

	3	7
M xf x dx	3	x x 3 2 dx 6 ;
M xf x dx	64	x x 3 2 dx 6 ;
	64	3
			7
M 2 x2 f x dx		3	x2	x 3 2 dx 36,6 ;
M 2 x2 f x dx			x2	x 3 2 dx 36,6 ;
	64		3

D M 2 M 2 0,6 .

109

Задание 5.11.

а) Построить ряд распределения, функцию распределения и её график, и

найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа наступлений случайного события А в указанной ниже серии независимых испытаний: поступила партия из 3 изделий, каждое из которых может оказаться бракованным (событие A , P(A) 0,4 ).

Решение.

Случайная величина (СВ) Х – число бракованных изделий – может

принимать значения 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений вычисляются по

формуле Бернулли при							p 0,4 ,		q 1 0,4 0,6 .
p	0	C 0		0,40	0,63		0,216		,	p C1		0,4 0,62			0,432 ,
	0	3								1	3
p C 2				0,42	0,6 0,288			,		p3	3	0,4	3	0,6	0	0,064 .
	2	3						,		p3	C3	0,4		0,6		0,064 .
Ряд распределения СВ Х, распределенной по биномиальному закону,
имеет вид:

				xi			0			1		2				3
				pi		0,216			0,432			0,288				0,064

Функция распределения									по	определению				равна F(x) P(X x) и
запишется:
			0,			x 0
			0,216,			0 x 1

						1 x 2
F (x) 0,648,						1 x 2
			0,936,			2 x 3

						3 x
			1,			3 x

110

График показан на рисунке.

Вычисляем математическое ожидание и дисперсию:

M[x] xi pi 0 0,216 1 0,432 2 0,288 3 0,064 1,2 , или

i 0

M[x] n p 3 0,4 1,2.

M[x2 ] xi2 pi 02 0,216 12 0,432 22 0,288 32 0,064 2,16 .

i 0

D[x] 2,16 1,2 2 0,72 , или D[x] n p q 3 0,4 0,6 0,72.

б) Решить задачи, используя приближенные формулы: локальную формулу Муавра-Лапласа, интегральную формулу Муавра-Лапласа и формулу Пуассона.

Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Решение.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf