Математика. Часть 1

91

среднее квадратическое отклонение в . Предполагают, что гипотеза H 0

состоит

в том, что СВ распределена нормально с параметрами a

,

в .

xв

1

x xв

F0

(x)

2

Ф

S

.

xi 1 xв

xi xв

Pi P(xi X xi 1) Ф

S

Ф

S

.

2

:

набл

k

2

2

mi mi .

набл

i 1

mi

и числу степеней свободы

k r 1 ( k – число интервалов, r – число

параметров предполагаемого распределения СВ X ) определяют критическое

значение

2

2

кр , .

Если

2

2 ,

то считают, что нет оснований отвергать гипотезу

H

0

о

набл

кр

нормальном распределении генеральной совокупности.

Если

2

2

, то

гипотеза H

0

нормального распределения

СВ

набл

кр

n

M / у xi P xi / y .

i 1

Для непрерывной случайной величины M / у xf

x / y dx , где

случайной величины .

Функцию

m y M / у называют

функцией

регрессии

первого рода

или модельной функцией регрессии

на . Аналогично,

m x M / x – модельная функция регрессии на .

Уравнения

m y M / y ;

m x M / x

(*)

Угловые коэффициенты прямых регрессии y / x

и x / y называют

93

коэффициентами линейной регрессии соответственно на и

на

.

Безразмерной характеристикой связи между случайными величинами и

служит коэффициент корреляции:

K / ,

где K корреляционный момент,

D ,

D .

Если 0 , то прямые регрессии наклонены вправо, если

0

–

влево.

Если 1 , то прямые регрессии сливаются в одну прямую и случайные

величины и связаны между собой линейной зависимостью a b .

Если 0 , то прямые регрессии проходят параллельно осям координат.

В этом случае и

некоррелированы; в частности, так будет всегда,

Таблица 4.1.

y \ x

xi

x2

xl

ml

y1

r11

r21

ri1

m1

y2

r12

r22

ri2

m2

yk

r1k

r2k

rik

mk

ni

n1

n2

ni

l

k

N ni m j

i 1

j 1

принимают

отношение

среднеквадратичного отклонения условного

~

математического

ожидания

Yx M / x относительно математического

l

~

2

~

ni Yxi

my

y / x

Yx

l 1

;

k

mi y j my 2

j 1

k

~

2

mi Yyi

mx

X y

j 1

.

x / y

l

x m

2

n

i 1

i

i

x

4.

Если корреляционное отношение y / x 1, между случайными

величинами и существует функциональная зависимость: .

5.

Если U x0 , V y0 0, 0 , то

разделенными переменными

dy

2xdx

0 .

y

1 x2

Интегрируя это уравнение, находим

dy

d 1 x2

0 ,

y

1 x2

ln

y

ln1 x2

ln

C

.

Или

ln

y

ln

C

,

2

1

x

96

Замечание.

При делении на y 1 x2 предполагалось, что

y 1 x2 0 , т.е.

y 0 ,

Решение.

Функции

P(x, y) y4 2x3 y,

Q(x, y) x4 2xy3

являются

Q(kx, ky) kx 4 2kx ky 3

k 4 x4 2kxk3 x3 k 4

Q(x, y) .

Положим y u x ,

тогда

dy udx xdu .

Подставим

эти выражения в

исходное уравнение, которое после сокращения на x4 0 примет вид:

u4

u dx 1 2u3 xdu 0.

Выполнив разделение переменных, получим

dx

1 2u3

du .

x

u u 4

Разложив

дробь

1 2u3

на простейшие

дроби,

и,

вычислив методом

u u 4

dx

3u

2

1

du

u 0 , u 1.

3

x

1 u

u

Интегрируя, получим

ln

x

ln

u

ln1 u3

ln

C

,

откуда

x

u C

, или x 1 u3 C u .

1 u3

x3 y3 Cxy .

Замечание.

При u 1 получаем

y x – решение уравнения. Это решение частное,

оно

получается

из

общего

интеграла

x3 y3 Cxy при

C 0 . При u 0

получаем решение

y 0 . Кроме того,

x 0 также является решением.

Эти

решения частные, они получаются из общего интеграла C x3 y3 xy

при

1

C1 0 .

Задание 5.3.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

ex y siny dx e y

x x cosy dy 0 .

Решение.

Здесь P x, y ex y siny ,

Q x, y e y x x cosy ,

P

1 cos y ,

y

Q

1 cos y .

Следовательно, левая

часть

уравнения

есть

полный

x

дифференциал

некоторой

функции

u x, y ,

т.е.

u

ex y sin y ,

x

u

ex y cos y . Проинтегрируем

u по x :

y

x

x y'' y'

ln y' / x .

Решение.

z

Полагая

y' z , преобразуем уравнение к виду

x z ' z ln

или

x

z

z

z

z'

ln

. Это – однородное уравнение первого порядка. Полагая

t ,

x

x

x

откуда

z t x ,

z' t ' x t ,

получим

уравнение

t '

x t t lnt ,

или

dt

dx

. Интегрируя, находим ln lnt 1 lnx lnC

, или lnt 1 C x ,

t lnt 1

x

1

1

откуда t ecx 1 ,

далее, возвращаясь к переменной y , приходим к уравнению

y' xec1 x 1 . Следовательно, y x ec1 x 1dx

1

x ec1 x 1

1

ec1 x 1 C2 .

C1

C12

б) Решить дифференциальное уравнение 1 y'2 y y'' .

Решение.

Положим y' z , y'' z

dz

. Уравнение примет вид 1 z 2 y z

dz

; это

dy

dy

zdz

dy

;

ln 1 z2 2lny 2lnC

;

1 z 2

C 2

y 2 ; z

C 2

y2

1 .

1 z 2

y

1

1

1

99

y' C

2 y2

1 ,

dy

dx ,

1

ln C y

C 2

y 2 1 x C

.

2

1

C12 y2 1

C1

1

1

Задание 5.5.

а) Найти

общее

решение

дифференциального

уравнения

y 20 y 19 y 0.

Решение.

Это

линейное

однородное

дифференциальное

уравнение.

Характеристическое уравнение k 2

20k 19 0 ,

его корни k 19 , k

2

1 .

1

Общее решение имеет вид y

0

C e 19 x

C

e x .

1

2

б)

Найти

частное

решение

дифференциального

уравнения

y

4 y

4 y

0 , удовлетворяющее

начальным условиям y 0 1,

y 0 1

(решить задачу Коши).

Решение.

Составляем характеристическое уравнение k 2

4k 4 0 , корни которого

k1

k2 2 .

Тогда

общее

решение

данного

дифференциального

уравнения

имеет вид

y

0

e 2 x C C

x .

1

2

Для

решения

задачи

Коши

найдём

e

2 x

C2 2C1 2C2 x . Из

y0

начальных условий

y 0 1,

y

0 1 составим систему

C 1;

C 1;

1

1

C2 2C1 1;

C2 1.

Искомое частное решение y

0

e 2 x x 1 .

Задание 5.6.

ex

а) Решить дифференциальное уравнение

y

y ex 1 методом вариации

ex

Здесь правая часть

f x ex 1

есть функция общего вида, поэтому для

однородное уравнение

y y 0 ,

характеристическое уравнение k 2

1 0 , его

корни k1

1,

k2

1, фундаментальная система решений (линейно независимые

решения)

y e x ,

y

2

ex

, общее

решение

y

0

C y C

2

y

2

C e x

C

ex .

1

1

1

1

2

Общее

решение

данного

неоднородного

уравнения

находим

в

виде

yH

C1 x e

x

C2 x e

x

.

Найдём

x

,

e

x

.

Составим

систему

y1 e

y2

x

e

x

0

C e

C

e

1

1

2

2 x

x

x

. Решая её, находим C

.

e

x

2 ex 1

, C

2 ex 1

x

x

1

2

C1e

C2e

ex

1

C1 x

1

e2 x dx

1

ex dex

1

ex

1

ln ex 1 C1* .

2 ex 1

2 ex 1

2

2

ex

1 t

1

x

1

C2 x

1

dx

dt

1 C2* .

dt

ln ex

x

t t 1

2

e

1

dx

2

2

2