Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 5

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК)

Цель работы: Изучение вычислительных возможностей пакета MathCAD для реализации сглаживания экспериментальных зависимостей по МНК в инженерных и научных расчетах.

Используемые программные средства: MathCAD 14.

Теоретические сведения

Пусть на вход некоторого прибора подается сигнал x , а на выходе измеряется сигнал y . Известно, что величины x и y связаны функциональной зависимостью, но какой именно – неизвестно. Требуется определить эту функциональную зависимость y =ϕ(x) приближенно (из опыта). Пусть в результате n измерений получен ряд экспериментальных точек. Известно, что через n точек можно всегда провести кривую, аналитически выражаемую многочленом (n −1)-й степени. Этот многочлен называют интерполяционным. И вообще, замену функции ϕ(x) на функцию ψ (x) так, что их значения совпадают в заданных точках:

ϕ(xi ) = ψ(xi ),i =1,2,...,n,

(5.1)

называют интерполяцией.

Однако такое решение проблемы не является удовлетворительным, поскольку y ≠ ϕ(xi ) из-за случайных ошибок измерения и влияния на измерения значений помех и шумов в приборе. Так что:

yi = ϕ(xi ) + δi ,

(5.2)

где δi – некоторая случайная ошибка. Поэтому требуется провести кривую так, чтобы она в наименьшей степени зависела от случайных ошибок. Эта задача называется сглаживанием (аппроксимацией) экспериментальной зависимости и часто решается методом наименьших квадратов. Сглаживающую кривую называют аппроксимирующей.

Задача аппроксимации решается следующим образом. В декартовой прямоугольной системе координат наносят точки. По расположению этих точек высказывается предположение о принадлежности искомой функции к

определенному классу функций.	Например, линейная функция ϕ(x) = a0 + a1x,
квадратичная ϕ(x) = ax2 + bx + c	и т.д. В общем случаеϕ(x) = ϕ(x,a	0	,a ,...,a	r	) .
		0	1	r

Неизвестные параметры функции определяются из требования минимума суммы квадратов случайных ошибок, т.е. минимума величины

n	n
δ = ∑δi2	= ∑(yi −ϕ(xi ,a0	,a1 ,...,ar ))2	(5.3)
i=1	i=1

Величина δ называется также суммарной невязкой. Необходимым условием минимума функции нескольких переменных является обращение в нуль частных производных невязки:

∑(yi −ϕ(xi ,a0 ,a1 ,...,ar )) ∂ϕ		= 0, j = 0,1,...,r.	(5.4)
n
i=1	∂aj

Решая систему уравнений (5.4), находим неизвестные параметры и тем самым полностью определяем функцию, которая наилучшим образом (в смысле наименьших квадратов отклонений от исходных точек или наименьшей суммарной невязки) аппроксимирует (приближает) искомую функцию.

Остановимся подробнее на линейной зависимости ϕ(x) = a0 + a1 x . Дифференцируя (5.3), получим следующую систему уравнений:

∑(yi −a0 − a1 xi ) = 0,
n
	(5.5)
i=n1	(5.5)
∑(yi −a0 − a1 xi )xi = 0.
i=1

Для представления в матричном виде системы уравнений (5.5) преобразуем

ее:

	n		n
n a0 + a1 ∑xi = ∑ yi
	i=1	i=1		(5.6)
	n	n	n	(5.6)
a0 ∑xi + a1		∑xi2	= ∑xi yi
	i=1	i=1	i=1

Составим матрицы:

1) экспериментальных данных:

x		y
	1		1
x2		y2		,
X =		и Y =



xn		yn

2) неизвестных параметров аппроксимирующей функции ϕ(x)= a0 + a1 x :

Z= a0 ,

3) коэффициентов при неизвестных a0 и a1 в системе (5.6):

	n	n
	n	∑xi		,
A = n		n		,
		i=1
	∑xi	∑xi	2
i=1		i=1

4) правых частей уравнений (5.6):

	n
	∑yi
B =	ni=1	.
	∑xi yi
i=1

Следовательно, матричная запись системы (5.5):

A Z = B	(5.7)
и ее решение:
Z = A−1 B .	(5.8)

Рассмотрим применение основных формул метода наименьших квадратов на небольшом массиве для значений линейной функции y =1 + x , измеренных с ошибками.

Ввод экспериментальных точек:

X 0 := 0,	X1 :=1,	X 2 := 2,	X3 := 3,	X 4 := 4,
Y0 :=1,	Y1 :=1.9,	Y2 := 3,	Y3 := 3.9,	Y4 := 5.1.
Длина исходных массивов:
n := length(X )		n = 5	i := 0...(n −1)

График зависимости Y (X ):

6
4
y
2
0 0	2	4
	x

Вычисление					параметров			аппроксимирующей линейной функции
ϕ(x)= a0 + a1 x .
n := 5,				i := 0...(n −1),
		0			1

	1				1.9
X :=		2		Y	:=	3	.
		3				3.9
		3				3.9
		4				5.1
		4				5.1
(Используем шаблоны палитры Matrix).
		n		∑X				∑Y
A:=							B :=

	∑X			X X				X Y
Z := lsolve(Α,Β)
a0			Z				a0	0.94
	:=		Z					=
a							a	1.02
1							1
Аппроксимирующая функция имеет вид:
ϕ(x):= a0 + a1 x,							ϕ(x):= 0.94 +1.02 x

Вычисление суммарной невязки для полученных параметров:

δ:= ∑(Yi − ϕ(Xi ))2 ,	δ = 0.024.
i

Ввиду простоты расчетов линейная зависимость используется довольно часто. Кроме того, многие функции, зависящие от двух параметров, можно линеаризовать путем замены переменных.

Для этого необходимо подобрать такое преобразование исходной зависимости y(x) = ϕ(a0 ,a1, x) , в результате которого зависимость приобретает линейный вид v = b0 +b1u . Далее решается задача линейной аппроксимации для новой зависимости и вычисленные коэффициенты b0 и b1 пересчитываются в коэффициенты a0 и a1.

Для ряда часто встречающихся двухпараметрических зависимостей возможные замены переменных приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Вид зависимости

Замена

Ограничения

переменных

Гиперболическая y

= a0

+ a1

v = y

u = 1

x ≠ 0

Логарифмическая y

= a0 + a1 ln x

v = y

u = ln x

x > 0

Показательная y

= a0ea1x

v = ln y

u = x

y > 0

a0 > 0

Степенная y = a0 xa1

x > 0, y > 0

v = ln y

u = ln x

a0 > 0

Комбинированная y

v = y

u = e−x

y ≠ 0

+ a e−x

Обратные замены для пересчета b0 и b1 в a0 и a1 . приведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Вид зависимости

Обратная замена

Ограничения

переменных

Гиперболическая

= b0

a1 = b1

Логарифмическая

= b0

a1 = b1

Показательная

= eb0

a1 = b1

Степенная

= eb0

a1 = b1

Комбинированная

= b0

a1 = b1

Рассмотрим использование линеаризации исходной зависимости y(x) для

функции y = 2 −1/ x , значения которой измерены с ошибками.

X 0 :=1,

X1 := 2,

X 2 := 3,

X3 := 4,

X 4 := 5,

Y0 :=1.02,

Y1 :=1.5,

Y2 :=1.667,

Y3 :=1.75,

Y4 :=1.8.

Длина исходных массивов n := length(X ) :

n = 5,

i := 0..(n −1) .

Линеаризация исходной зависимости U

1 ,

V :=Y .

Исходная зависимость Y (X ):

1.5

1 0

Линеаризованная зависимость V (U ) :

	2
V	1.5
	1	0	0.5	1
			U

Далее все вычисления будем выполнять с массивами U и V , содержащими точки линеаризованной зависимости.

Вычисление параметров линеаризованной зависимости U = в0 + в1 u :

	1			1.02		U0
						U0
	2			1.5
	2			1.5		U1
X :=	3	,	Y := 1.667		,	U := U	2	,	V :=Y .
	4			1.75
	4			1.75		U3
	5			1.8		U
	5			1.8			4

n ∑U

∑V

−1

В1,

в0

:= Z1,

A1:=

В1:=

Z1:= А1

∑U U

в1

U V

1.992

− 0.974

Вычисление невязки для линеаризованной зависимости V = в0 + в1 U :

δ:= ∑[Vi − (b0 + b1 Ui )]2 ,	δ = 3.898 10−5 .
i

Обратный переход к исходной зависимости: a0 := b0 , a1 := b1.

Исходная зависимость имеет вид: ϕ(x):= a0 + ax1 , аппроксимирующая

функция:

ϕ1(x)=1,992 − 0,974x .

Вычисление невязки для исходной зависимости:

δ1:= ∑(Yi − ϕ1(Xi ))2 ,	δ1 = 3.92 10−5.
i

Пусть теперь точки (xi , yi ) располагаются на графике вблизи некоторой параболы.

Ставится задача провести параболу, уравнение которой y = ax2 + bx + c , через множество точек Mi (xi , yi ) “наилучшим образом”, то есть так, чтобы сумма абсолютных величин погрешностей:

n		n		n
∑	εi	= ∑	Yi − yi	= ∑	axi	2 −bxi − yi
i=1		i=1		i=1

оказалась минимальной.

Применив способ наименьших квадратов, найдем минимум суммы квадратов погрешностей, то есть минимум функции трех переменных a, b и c .

F(a,b, c) = (ax12 + bx1 + c − y1 )2 +... + (axn 2 + bxn + c − yn )2 .

Необходимое условие экстремума функции:

Fa' (a,b,c) = 2(ax12 + bx1 + c − y1 )x12 +... + 2(axn

2 + bxn + c − yn )xn2 = 0 ,

Fb' (a,b,c) = 2(ax12 + bx1 + c − y1 )x1 +... + 2(axn

2 + bxn + c − yn )xn = 0,

Fc' (a,b,c) = 2(ax12 + bx1 + c − y1 )+... + 2(axn

2 + bxn + c − yn )= 0 .

Отсюда:

+ bxn

(ax1

+ bx1 + c − y1 )x1 +... +

(axn

+ c − yn )xn = 0,

(ax12 + bx1 + c − y1 )x1 +... + (axn

2 + bxn + c − yn )xn = 0,

(ax12 + bx1 + c − y1 )+... + (axn

2 + bxn + c − yn )= 0.

Применив сокращенные обозначения, получим:

a∑xi4

+b∑xi3

+ c∑xi2

= ∑xi2 yi ,

i=1

a∑xi3

+b∑xi2

+ c∑xi

= ∑xi yi ,

(5.9)

i=1

a∑xi2

+b∑xi

+ cn = ∑ yi .

i=1

Эта

система уравнений

называется

нормальной системой способа

наименьших квадратов при выравнивании по параболе.

Рассмотрим применение основных формул метода наименьших квадратов на небольшом массиве для значений квадратичной функции y = ax2 + bx + c ,

Ввод экспериментальных точек

X 0 :=1 X1 := 2 X 2 := 3 X 3 := 4 X 4 := 5

Y0 := 0.5 Y1 :=1 Y2 := 2	Y3 := 3.5	Y4 := 6
Длина исходных массивов
n := length(X )	n = 5	i := 0...(n −1)

График зависимости Y (X )

Вычисление параметров аппроксимирующей квадратичной функции

ϕ(x) = ax2 + bx + c :

n := 5

12 X := 345

i := 0...(n −1)

	0.5

1
Y :=	2	.
	3.5
	3.5
	6
	6

(Используем шаблоны палитры Matrix).

	∑X 4		∑X 3	∑X 2		∑ X 2 Y
	∑X 3		∑X 2	∑X
A :=					B :=	∑ X Y
	∑X	2	∑X	n		∑Y

Z := A−1 B

b := Zc

ab =c

0.321

− 0.579

0.8

Аппроксимирующая функция имеет вид:

ϕ(x):= a x2 + b x + c, ϕ(x):= 0,321 x2 − 0,579 x + 0,8

Вычисление суммарной невязки для полученных параметров

δ := ∑(Yi −ϕ(Xi ))2	δ = 0.029
i

Задание к лабораторной работе

В табл. 5.3 приведены экспериментально полученные точки, определяющие зависимость между переменными x и y по одной из пяти функций, приведенных в табл. 5.1. Необходимо составить документ, позволяющий линеаризовать зависимость и подобрать параметры a0 и a1 по методу наименьших квадратов и проверить правильность вычислений с помощью известной зависимости. Правильно составленный документ будет давать пренебрежимо малую невязку в том случае, когда значения Y вычисляются точно по заданной зависимости (ошибки будут возникать только за счет округлений при вычислении).

Поскольку вид зависимости первоначально неизвестен, следует проделать вычисления для всех пяти зависимостей и выбрать ту из них, которая обеспечивает наименьшую из всех вычисленных суммарную невязку.

Эти данные заносятся в протокол выполнения работы и служат основанием для составления отчета с выводами по работе.

Таблица 5.3

х	-1	-0.55	-0.1	-0.35	0.35	0.8	1.25	1.7	2.15	3.05
у	-6.78	-6.56	-6.14	-5.31	-3.68	-0.85	5.81	18.15	42.4	90.0
х	0.01	0.56	1.11	1.66	2.21	2.28	3.3	3.85	4.4	4.95
у	34.23	1.54	3.54	5.09	6.36	7.44	8.37	9.2	34.23	1.54
х	-2	-1.6	-1.2	-0.8	-0.4	0	0.4	0.8	1.2	1.6
у	16	10.24	5.76	2.56	0.53	0	0.64	2.56	5.76	10.2
х	0.3	1.57	2.84	4.11	5.38	6.65	7.92	9.19	10.46	11.7
у	15.33	4.55	3.41	2.97	2.74	2.6	2.59	2.44	2.38	2.34
х	-3.5	-2.65	-1.8	-0.95	-0.1	0.75	1.6	2.43	3.3	4.15
у	0.01	0.03	0.07	0.12	0.19	0.2	0.29	0.31	0.325	0.33
х	0.15	0.94	1.72	2.51	3.29	4.08	4.86	5.65	6.43	7.22
у	-9.69	-4.2	-2.37	-1.25	-0.43	0.21	0.74	1.3	1.58	1.93
х	0.35	0.82	1.28	1.75	2.21	2.675	3.14	3.605	4.07	4.53
у	6.86	5.23	4.78	4.57	4.45	4.37	4.35	4.28	4.25	4.22
х	-1	-0.8	-0.6	-0.4	-0.2	0.0	0.2	0.4	0.6	0.8
у	4.14	4.2	4.3	4.45	4.67	5	5.49	6.85	7.32	8.95
х	2	2.3	2.6	2.9	3.2	3.5	3.8	4.1	4.4	4.7
у	2.67	4.06	6.16	8.13	10.92	14.29	18.29	22.97	28.39	34.6
х	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
у	0.01	0.02	0.05	0.11	0.21	0.38	0.42	0.47	0.49	0.5
х	0.95	1.21	1.47	1.74	2.0	2.26	2.52	2.78	3.05	3.31
у	8.16	3.39	2.19	1.34	0.88	0.61	0.54	0.33	0.28	0.19
х	0.35	0.82	1.28	1.75	2.21	2.68	3.14	3.61	4.07	4.53
у	16.99	8.83	6.61	5.56	4.96	4.62	4.29	4.09	3.93	3.8
х	-1.7	-1.43	-1.16	-0.89	-0.62	-0.35	-0.08	0.19	0.46	0.73
у	26.96	14.46	7.17	2.92	0.45	-0.98	-1.35	-2.31	-2.6	2.77
х	-5	-3.5	-2	-0.5	1	2.5	4	5.5	7	8.5
у	0	0.01	0.06	0.28	0.87	2.05	2.92	3.23	3.31	3.33
х	-2	-1.4	-0.8	-0.2	0.4	1.0	1.6	2.2	2.8	3.4
у	6.8	3.33	1.09	0.02	0.27	1.7	4.35	8.23	13.33	19.6
х	0.4	0.86	1.32	1.78	2.24	2.7	3.16	3.62	4.08	4.54
у	-20.5	-11.2	-8.3	-6.93	-6.5	5.59	-5.3	4.93	4.83	4.54
х	0.01	0.51	1.01	1.52	2.01	2.51	3.0	3.05	4.0	4.5
у	1.14	2.39	3.01	3.37	3.63	3.83	3.99	4.13	4.25	4.35
х	-5	-3.91	-2.82	-1.73	-0.64	0.45	1.54	2.63	3.72	4.81
у	0	-0.01	-0.01	-0.03	-0.07	-0.18	-0.2	-0.23	-0.24	-0.25
х	-2.1	-1.79	-1.48	-1.17	-0.86	-0.55	-0.24	0.07	0.38	0.69
у	0.28	0.29	0.3	0.32	0.36	0.48	0.78	1.52	3.41	8.21
х	0.01	0.53	1.05	1.57	2.09	2.61	3.12	3.64	4.16	4.68
у	15.22	3.31	1.26	0.05	-0.81	-1.74	-2.17	-2.48	-2.88	-3.23
х	0	0.4	0.8	1.2	1.6	2.0	2.4	2.8	3.2	3.6
у	0.3	7.5	11.37	14.5	17.24	19.9	21.98	24.11	26.12	28.0
х	-4	-3.01	-2.02	-1.03	-0.04	0.95	1.94	2.93	3.92	4.91
у	-0.02	-0.05	-0.12	-0.26	-0.49	-0.72	-0.87	-0.94	-0.98	-0.99
х	0.4	0.81	1.22	1.5	2.04	2.45	2.86	3.27	3.68	4.09
у	1.8	0.53	0.12	-0.09	-0.21	-0.31	-0.35	-0.39	-0.43	-0.46
х	-1	-0.72	-0.44	-0.17	0.12	0.39	0.67	0.95	1.22	1.5
у	-4.95	-4.89	-4.74	-4.39	-3.6	-1.93	2.42	12.08	34.33	85.5

Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

-теоретическое введение;

-номер индивидуального варианта;

-исходные данные (массивы X и Y), взятые из таблицы 1.3;

-текст разработанного документа;

-пробный расчет для точек известной зависимости, измеренных без ошибок для проверки правильности документа;

-результаты вычисления невязок и графики исходных и линеаризованных кривых для всех пяти зависимостей;

-выводы по проделанной работе, позволяющие решить, какая из зависимостей измерялась в данном варианте работы.

Контрольные вопросы

1. Что такое интерполяция и аппроксимация? Чем они отличаются?

2.В чем заключается метод наименьших квадратов?

3.Являются ли необходимые условия минимизации также и достаточными?

4.В каком случае можно линеаризовать аппроксимирующую кривую?

5.С какой целью и каким образом проводится линеаризация?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025796.88 Кб0Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб1Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб0Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf