Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>


cos	n1	n2	,	(3.20)

	n1	n2

где n1 (A1, B1), n2 (A2 , B2 ) – нормальныевекторыданныхпрямых.

cos

A1A2 B1B2

(3.20')

A 2

B 2

A 2 B 2

Условие параллельности прямых можно записать в виде

(3.21)

Условие перпендикулярности прямых:

n1 n2 0 A1A2

B1B2

(3.22)

y = kx + b – уравнение прямой с уг-

ловым коэффициентом, где k = tgα– уг-

ловой коэффициент прямой,

α– угол

bнаклона прямой к оси Oх положитель-

ного направления, b – начальная орди-

O	x	ната, т. е. величина отрезка, отсекае-
		мого прямой от оси Oу.

Пример 3.3. Найтиуголφмежду прямымиy = k1x + b1 иy = k2x + b2. Решение. По условию k1 = tgα1, k2 = tgα2.

y		α1	= α2 + φ; φ = α1 – α2;
		α1	= α2 + φ; φ = α1 – α2;

	1	tg tg(		2	)				tg 1			tg 2		;
		tg tg(			)									;
			1					1	tg 1 tg 2
	2	x						1	tg 1 tg 2
O	2
O							k1		k2
			tg				k1		k2			.	(3.23)
			tg			1						.	(3.23)
						1	k			k	2
									1		2

Если прямые перпендикулярны, то tgφ не существует, следова-

тельно, 1 k1k2 0 k1 k2 1.

Условие перпендикулярности двух прямых:

k	1	.	(3.24)

1	k2

Если прямые параллельны, то tgφ = 0, следовательно,
k1 k2 – условие параллельности двух прямых.			(3.25)

Пример 3.4. Найти угол между прямыми у = 2х + 3 и у = –3х + 5.

Решение.	tg	3 2	1,	45 .
		1 2 3

Пусть прямая не параллельна оси Oу, задана точкой М0(х0, у0) и угловым коэффициентом k. Уравнение прямой можно записать как у = kx + b. Так как точка М0 лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой у0 = kx0 + b b = y0 – kx0.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом:

y = kx + y0 – kx0 или y – y0 = k(x – x0).

(3.26)

Если прямая параллельна оси Оу и проходит через точку М0(х0, у0), то ее уравнение х = х0.

Векторно-параметрическое уравнение прямой (R3 и R2)

Положение прямой в пространстве вполне определено, если задана точка М0(х0, у0, z0) этой прямой и вектор, отличный от нулевого, s (m, n, p), которому прямая параллельна.

Вектор s, который лежит на прямой или параллелен прямой,

называется направляющим вектором прямой.

На прямой L возьмем произвольную точку М(x, y, z). r0 и r –

радиус-векторы соответственно точек М0 и М.
		t s
Таккак M0 M	s , то M0M		t R.

								то		t > 0. Если
z		L	Если M		0	M s,		то		t > 0. Если
z	M0	L			0
	M0	M	M0M s, то t < 0.
		s	Векторно-параметрическое уравнение
r0	r	s	3			2
0			прямой в R	(или R ):			M0M		r	r0 ;
0		y				r r0 t s
		y	или			r r0 t s
x			или			r r0 ts.				(3.27)
x						r r0 ts.				(3.27)
Если r (x, y, z), r0			(x0, y0, z0 ),	s (m, n,			p),	то параметриче-
ские уравнения прямой в R3:

x x0 mty y0 nt .z z0 pt

Параметрические уравнения прямой в R2:

x x0 mt .y y0 nt

(3.28)

(3.28')

Если в формулах (3.28), (3.28') исключить параметр t, то получим

канонические уравнения прямой R3и R2:

x x0			y y0				z z0		;
m								p
				n
	x x0				y y0			.

		m				n

m, n, p одновременно нулю не равны.

Угол между прямыми	x x1		y y1		z z1	,
	m		n		p

	1	1		1

можно найти по следующим формулам:

(3.29)

(3.29')

x x2 y y2 z z2 m2 n2 p2

– дляR3

m1m2 n1n2

p1 p2

cos cos(s

, s

)

; (3.30)

m12 n12 p12

m22 n22 p22

– для R2

m1m2 n1n2

cos

(3.30')

Условием параллельности двух прямых является s1 s2 , т. е.

или

(для R2

(3.31)

Условие перпендикулярности двух прямых s1 s2

0 или

m1m2 n1n2 p1 p2

(для R2

m1m2 n1n2 0 ).

(3.32)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Искомая

прямая проходит

через две точки М1(х1, у1, z1),

М2(х2, у2, z2). За направляющий

вектор

прямой

примем

вектор

M1M2 (x2

x1, y2

y1, z2 z1), а за фиксированную точку прямой

возьмем любую точку М1 или М2. Данные подставим в уравнение (3.29) и получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

	x x1				y y1						z z1			.

	x	x			y	2	y				z	2	z
2		1						1					1
Для R2
			x x1					y y1					.

			x	x				y	2	y
		2			1						1

(3.33)

(3.33')

Расстояние от точки М0 до прямой L находится по формуле

			s
d	NM0			, N L.	(3.34)
		s

Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду

Для того, чтобы привести общее уравнение прямой

A1x B1 y C1z D1 0A2 x B2 y C2 z D2 0

к каноническому виду, нужно определить координаты какой-либо точки М0(х0, у0, z0), лежащей на прямой, и координаты направляющего вектора s прямой. Для определения координат точки М0 нужно дать произвольное числовое значение одной из искомых координат, а затем из системы уравнений (3.14) найти соответствующие

значения двух других. Так как пря-

мая – линия пересечения двух плос-

костей, то она перпендикулярна к n1

n .

качестве

направляющего

возьмем вектор s.

s n1,

s n2 ,

следовательно,

s n1 n2.

где m

; n

;

Пример 3.5.

Найти

каноническое

уравнение

прямой

2x 3y 3z 9 0

x 2 y

Решение. Полагая, например, х = 0, из данных уравнений полу-

чаем систему	3y 3z 9	, решая которую, находим у = 0, z = –3.
чаем систему		, решая которую, находим у = 0, z = –3.
	2 y z 3

Однаизточек, принадлежащих прямой, имееткоординаты(0, 0, –3).

Найдем направляющий вектор прямой.												Имеем n1 (2, 3, 3);
n2 (1, 2,1).
s n1 n2				i	j	k		9i 5 j k.
				i	j	k
				2	3	3
				1	2	1
Следовательно, каноническое уравнение прямой имеет вид
	x	y	z 3		или				x		y		z 3	.
		5			или		9							.
	9	5		1			9			5		1

		Угол между прямой и плоскостью
Дана	плоскость			Ax + By + Cz + D = 0	и	прямая
x x0	y y0	z z0	.
m	n		.
m	n	p

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух

смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.

cos

или

sin

A m B n C p

, (3.35)

A2 B2

m2 n2 p2

таккак sin 0.

3.10. Взаимное расположение прямой и плоскости

Рассмотрим

плоскость

Ax + By + Cz + D = 0

прямую

x x0

y y0

z z0

Условие параллельности прямой и плоскости: s n , т. е.

s n 0

или

Аm + Bn + Cp = 0.

(3.36)

Условиеперпендикулярностипрямойиплоскости:

s ||n, т. е.

C .

(3.37)

Для определения общих точек прямой и плоскости нужно

данные два

уравнения

решить

совместно, положив,

что

x x0

y y0

z z0

t, тогда уравнение прямой из канониче-

x x0 mt

ского видазапишемвпараметрическом: y y0

nt.

z z0

Найденные

выражения

подставим в уравнение плоскости

и получим

Ax0 By0 Cz0

D (Am Bn Cp)t 0.

(3.38)

Возможны три случая:

t Ax0 By0 Cz0 D

1) если

Am Bn Cp 0,

тогда

имеет

Am Bn Cp

определенное конечное значение.

Подставив это значение t в параметрические уравнения прямой, получим единственную точку пересечения прямой с плоскостью;

2) если Am Bn Cp 0, то Ax0 By0 Cz0 D 0, тогда уравнение (3.38) не имеет решения (так как Am Bn Cp 0, то прямая

параллельна плоскости, а точка (х0, у0, z0), через которую проходит прямая, лежит вне плоскости, так как Ax0 By0 Cz0 D 0, сле-

довательно, прямая не имеет общих точек с плоскостью);

3) если Am Bn Cp 0 и Ax0 By0 Cz0 D 0 , то прямая лежитвплоскости.

Пример 3.6. Даны точки А(5, 3, 1), В(4, 5, 1), С(3, –2, –5),

D(7, 6, –1). Найти уравнение плоскости АВС, длину высоты, опущенной из точки D, и точку пересечения высоты с плоскостью.

Решение. Найдем уравнение плоскости АВС, применяя фор-

мулу (3.8):

x 5	y 3	z 1
x 5	y 3	z 1
1	2	0	0;
2	5	6

(x 5)( 12) 6( y 3) 9(z 1) 0;

12x 6 y 9z 69 0; 4x 2y 3z 23 0.

Длину высоты, опущенную из точки D на плоскость АВС, определим по формуле (3.13):

d	4 7 2 6 3 23	20	.


	16 4 9	29

Найдем уравнение высоты, опущенной из точки D на плоскость АВС, используя формулу (3.29):

x 7 y 6 z 1. 4 2 3

Чтобы найти точку пересечения высоты, опущенной из точки D, и плоскости АВС, перейдем к параметрическим уравнениям прямой:

x 4t 7,	y 2t 6, z 3t 1. Найденные выражения подставим
в уравнение плоскости АВС и получим
	4(4t 7) 2(2t 6) 3( 3t 1) 23 0;
	16t 28 4t 12 9t 3 23 0,	t 20 .
		29

Подставив значение t 2029 в параметрические уравнения прямой, получимединственнуюточку пересеченияпрямойсплоскостью:

x 8029 7 12329 ;

y 4029 6 13429 ;

z 6029 1 2931.

Ответ. 4x 2y 3z 23 0;	20	; (	123	,	134	,	31 ).
	29		29		29
							29

3.11. Кривые 2-го порядка

Уравнение 2-й степени относительно х и у имеет вид

Ax2 2Byx Cy2 2Dx 2Ey N 0,

где хотя бы один из коэффициентов А, В или С отличен от нуля.

(x a)2 ( y b)2 R2 – каноническое			уравнение	окружности.
Преобразуем	уравнение:	x2 2ax y2 2by a2		b2	R2 0.
И обозначив	2a 2D,	2b 2E, a2	b2 R2 N,		получим

x2 y2 2Dx 2Ey N 0.

Уравнение окружности есть уравнение второй степени относительно х и у, но не всякое уравнение второй степени определяет окружность.

Для того, чтобы уравнение второй степени определяло окружность необходимо: 1) А = С; 2) В = 0.

1 O 1

Замечание.

x2 y2 a2.

Пример 3.7. Выяснить, является ли уравнение x2 y2 4x 2y 1 0 урав-

нением окружности. Если да, то пост- x роить ее.

Решение. Приведем уравнение к каноническому виду: (x 2)2 (y 1)2 4;

О1(2; –1); R = 2.

x acost

– параметрические уравнения окружности

y asint

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a (большая, чем расстояние между фокусами).

y			Фокусы обозначены буквами F1
	M ( x, y )		и F2. Расстояние между ними обозна-
	M ( x, y )		чено через 2с. Начало координат
			чено через 2с. Начало координат
			прямоугольной декартовой системы
F1 ( c,0) 0	F2	(c,0) x координат находится в середине от-
			резка F1F2. Для вывода уравнения

возьмем произвольную точку М(х, у), лежащую на эллипсе. Из определения эллипса следует, что F1M F2M 2a. Очевидно, что рас-

стояние 2a > 2c, т. е. a > c.

(x с)2 y2 (x с)2 y2 2a; (x с)2 y2 2a (x с)2 y2 ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf