Математика. Ч. 1

Формулы (2.5') называются формулами деления отрезка в задан-

в точке M(2, –3, 4) и один его конец в точке А(1, 5, 2). Определить координаты точки B другого конца этого стержня.

Решение. Так как стержень однородный, то центр тяжести его находится в точке М (2, –3, 4), делящий этот стержень пополам.

По формулам (2.6) находим координаты точки B:

Итак, точка B(3, –11, 6) – второй конец стержня.

50

2.8. Направление вектора в пространстве

Вектор a образует с положительным направлением осей Оx, Оy,

2.9. Скалярное произведение двух векторов

Углом между двумя векторами a и b называется наименьший

угол между этими векторами, приведенными к общему началу. Обозначение ( a,^ b ).

51

Скалярным произведением двух нулевых векторов a и b на-

зывается число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

числового множителя).

4.a a a2 a 2 a2.

5.a b 0, если a b или один из векторов нулевой. Справедливость свойств вытекает непосредственно из определе-

ния (2.10) скалярного произведения.

Так как i , j, k – орты, то согласно свойству 4

i 2 1, j 2 1, k 2 1,

52

Найдем их скалярное произведение:

a b (axi ay j azk) (bxi by j bzk) ax bxi 2 ay bxi j az bxk iax byi j ay by j 2 az by k j ax bzi k ay bz j k az bz k 2

или

Таким образом, скалярное произведение двух векторов в ортонормированном базисе равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

Скалярный квадрат имеет вид a2 ax2 a2y az2 , откуда длина вектора равна

Используя формулы (2.10) и (2.11), можно определить косинус угла между векторами и проекцию вектора на направление другого вектора:

Скалярное произведение двух векторов имеет механический

смысл: если F – сила, действующая на материальную точку,

а S – вектор перемещения, то скалярное произведение векторов F и S характеризует работу силы на этом перемещении:

53

Если a b, то условие перпендикулярности двух векторов

Работу найдем по формуле (2.17): A F S 3 5 2 4 1 4 19.

2.10. Векторное произведение двух векторов

2)c a, c b;

3)направлен так, что кратчайший поворот от a к b происходит противчасовойстрелки, еслисмотретьизконцавектора c.

В этом случае векторы a, b, c образуют правую тройку, в противном случае – тройка левая.

Длина вектора c: с a b sin(a, b) численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

54

2.Векторное произведение ассоциативно относительно скаляр-

ного множителя, т. е. a, b a, b a, b .

3.Векторное произведение дистрибутивно относительно сложе-

ния a b, c a, c b, c .

4.Векторное произведение равно 0, если a b или один из векто-

ров нулевой.

Согласно свойству 4 векторное произведение одноименных ортов i, j, k равно нулю, т. е.

55

Векторное произведение имеет приложение не только в механи-

число, которое получается скалярным умножением векторного произведения двух векторов a и b на третий вектор c.

56

a b c a b c cos a b sin c cos Sосн. H V , (2.24)

где V – объем параллелепипеда.

Следовательно, смешанное произведение векторов a, b и c численноравнообъемупараллелепипеда, построенногонаэтих векторах.

Если a, b и c образуют левую тройку, то смешанное произведение будет со знаком «–», так как Прa b c будет отрицательной и поэтому Vпар. a b c .

Итак, смешанное произведение некомпланарных векторов a, b и c

помодулюравнообъемупараллелепипеда, построенногона a, b и c.

Найдем значение смешанного произведения, если векторы заданы в прямоугольной декартовой системе координат:

57

Итак, смешанное произведение векторов в координатах равно определителю третьего порядка, у которого элементами строк являются соответственно координаты первого, второго и третьего сомножителей.

Свойства смешанного произведения

1. Круговая перестановка трех сомножителей смешанного произведения не меняет его величины. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения (так как меняются строки определителя (2.25)):

3. Операции скалярного и векторного умножений в смешанном произведении можно менять местами, т. е. (a b) c a (b c).

4. (a1 a2 )bc a1bc a2bc.

5. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство необходимости. Смешанное произведение трех векторов a, b и c может обратиться в нуль в следующих случаях:

–если среди множителей есть хотя бы один нулевой вектор;

–если хотя бы два из перемножаемых векторов коллинеарны,

например, если a и b коллинеарны, то a b 0, следовательно,

58

где φ – угол между a и b;

θ – угол между векторами a b и c.

Равенство (2.26) возможно в следующих случаях:

– хотябыодинвектор нулевой, тогдавсетривекторакомпланарны;

С(–1, 2, 1) иD (2, 1, 3) воднойплоскости.

т. е. точки не лежат в одной плоскости.

59