Математика. Ч. 1

Определитель третьего порядка имеет вид a21 a22 a23 . Эле-

a31 a32 a33

менты a11, a22 , a33 стоятна главной диагонали, элементы a13 , a22 , a31 – на побочной.

Существует ряд правил для вычисления определителей третьего порядка. Так, например, значение определителя третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников:

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a11 a22 a33 a21 a32 a13 a12 a23 a31 a13 a22 a31 a31 a32 a33

a23 a32 a11 a21 a12 a33.

Можно вычислить также по правилу Саррюса: к определителю приписывают справа первый и второй столбцы.

–– – + + +

Произведения из трех элементов, стоящих на главной диагонали и на прямых, ей параллельных, берутся со знаком «+», а произведения из трех элементов, стоящих на побочной диагонали и на прямых, ей параллельных, берутся со знаком «–».

10

Решение. Воспользуемся правилом треугольников:

–– – + + +

Определители четвертого и более высоких порядков при вычислении сводятся к определителям более низких порядков (например, третьего).

Основные свойства определителей

Иллюстрация этих свойств будет приведена для определителей третьего порядка.

1. Свойство инвариантности (неизменности) определителя при транспонировании матрицы: при замене строк столбцами величина определителя не меняется (причем каждую строку следует заменить столбцом с тем же номером). Свойство выражает равноправность строк и столбцов. В дальнейшем слова «строка» и «столбец» заменим одним словом – ряд. Свойство записывается так:

Доказательство. Проверим справедливость этого свойства, применяя правило треугольников к левой и правой части равенства (1.2) и сравним результаты:

11

a11 a22 a33 a21 a32 a13 a12 a23 a31 a13 a22 a31 a23 a32 a11

a21 a12 a33 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a31 a22 a13

a32 a23 a11 a33 a21 a12.

2.Если поменять местами два параллельных ряда, то определитель изменит знак.

Так, например, переставляя первый и второй столбцы, получаем

3.Если определитель имеет два одинаковых параллельных ряда, то он равен нулю.

4.Если в определителе элементы какого-либо ряда содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Следствие1. При умножении определителя на скаляр (число) необходимоумножитьнаэтотскаляртолькоодинизрядовопределителя.

Следствие 2. Величина определителя равна нулю, если элементы какого-либо его ряда равны нулю.

5.Определитель, у которого элементы двух параллельных рядов пропорциональны, равен нулю.

6.Определитель, у которого каждый элемент некоторого ряда является суммой двух слагаемых, равен сумме двух определителей,

упервого из которых в указанном ряду стоят первые слагаемые, а у второго – вторые слагаемые. Остальные ряды, параллельные указанному, у всех определителей одинаковы.

12

Все сформулированные свойства (2–6) доказываются аналогично первому, т. е. по правилу треугольников.

Минором Mij элемента aij называется определитель, который

получается из данного путем вычеркивания строки с номером i и столбца с номером j. Например, для элемента a11 минором явля-

Алгебраическим дополнением Aij для элемента aij называется

7. Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на соответствующие алгебраические допол-

Доказательство. Докажем в случае разложения по элементам первого столбца.

a31 a12 a23 a22 a13 a11a22a33 a21a32a13 a31a12a23

a13a22a31 a23a32a11 a33a12a21 (на основании правила

треугольников).

13

2 7 9

Пример 1.6. Вычислить определитель 5 18 19 , разлагая по

3 17 6

элементам второго столбца.

8. Величина определителя не изменится, если к элементам како- го-либо ряда прибавить элементы другого параллельного ему ряда, предварительно умноженные на одно и то же число.

В этой сумме второй определитель по свойству 3 равен 0. Свойство 8 широко используется для получения нулей в определителе и приведения его к треугольному виду.

14

Решение. Если из пятой строки вычесть первую, а из четвертой–

будет с нулями под главной диагональю, и он равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали, 1 3 4 2 1 24.

Решение. Если из второй строки вычесть первую, из третьей– удвоенную первую, из четвертой– утроенную первую, то получим

1 1 2 3

15

9. Теорема аннулирования. Сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на алгебраические дополнения другого

n

параллельного ему ряда равна нулю: aij Akj 0, i k.

j 1

a11 a12 a13

Доказательство. a21 a22 a23 . Составим сумму произведений

a31 a32 a33

элементов первой строки на алгебраические дополнения элементов второй строки:

3

a1 j A2 j a11 A21 a12 A22 a13 A23 a11 a12 a33 a13 a32 j 1

a12 a11 a33 a31 a13 a13 a11 a32 a31 a12 0.

Свойства определителей широко используются при вычислении определителей произвольного порядка.

1.1.5. Определитель произведения квадратных матриц

Теорема. Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядкаравенпроизведениюопределителейэтихматриц, т. е.

Доказательство теоремы проведем на примере матриц второго порядка.

ства 6 определителей имеем

16

Первый и четвертый определители равны нулю на основании свойства 3:

Аналогично эта теорема доказывается для квадратных матриц любого порядка.

1.1.6. Обратная матрица

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратной матрицы. Квадратная матрица A называется невырожденной, если ее

определитель не равен нулю, т. е. A 0, и вырожденной, если

A 0.

17

Теорема (о существовании обратной матрицы). Для того чтобы

существовала матрица A 1, обратная матрице A, необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной.

матрица A невырожденная.

Доказательство достаточности

Пусть A 0. Докажем, что A 1 существует.

Если С – союзная матрица для матрицы А, то справедлива формула (1.9). Разделим равенство (1.9) на A 0 и получим

18

Из этого равенства на основании формулы (1.7) следует, что в качестве обратной матрицы выступает матрица A 1 1 С.

Замечание. Из доказательства достаточности следует правило нахождения обратной матрицы.

где Аij – алгебраические дополнения элемента aij матрицы А.

Свойства обратных матриц

Правило для нахождения обратной матрицы

1.Вычислим определитель матрицы А: А. Пусть A 0.

2.Найдем алгебраические дополнения для элементов aij.

Составим матрицу алгебраических дополнений определителя А. Обозначим ее А*.

3.Полученную матрицу А* транспонируем и обозначим ее С (союзная матрица).

4.Союзную матрицу С умножим на 1 и получим обратную

матрицу А–1.

19