Математика. Ч. 1

СОДЕРЖАНИЕ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.............................................

3

1.1. Матрицы и определители............................................................

3

1.1.1. Матрицы, основные понятия...................................................

3

1.1.2. Основные виды матриц............................................................

3

1.1.3. Действия над матрицами..........................................................

6

1.1.4. Определители и их основные свойства ..................................

9

1.1.5. Определитель произведения квадратных матриц................

16

1.1.6. Обратная матрица...................................................................

17

1.1.7. Системы линейных алгебраических уравнений.

Матричная запись системы. Основные определения....................

20

1.1.8. Решение невырожденной системы линейных

алгебраических уравнений матричным методом

и по формулам Крамера...................................................................

22

1.1.9. Ранг матрицы. Элементарные преобразования

матрицы.............................................................................................

26

1.1.10. Решение произвольных систем.

Теорема Кронекера–Капелли...........................................................

32

1.1.11. Системы линейных однородных уравнений......................

35

1.1.12. Метод последовательного исключения неизвестных

(метод Гаусса) ...................................................................................

36

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И МЕТОД КООРДИНАТ .....................

40

2.1. Векторы. Линейные операции над векторами........................

40

2.2. Проекция вектора на ось...........................................................

44

2.3. Линейная зависимость векторов..............................................

45

2.4. Разложение вектора по базису .................................................

46

2.5. Декартова система координат. Линейные операции

над векторами в координатной форме............................................

47

2.6. Нахождение проекций вектора по координатам

его начала и конца............................................................................

49

2.7. Деление отрезка в данном отношении ....................................

49

2.8. Направление вектора в пространстве......................................

51

2.9. Скалярное произведение двух векторов..................................

51

2.10. Векторное произведение двух векторов................................

54

2.11. Смешанное произведение векторов.......................................

56

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ........................

60

3.1. Понятие об уравнении линии на плоскости

и поверхности в пространстве.........................................................

60

3.2. Плоскость. Нормальное уравнение плоскости.......................

62

3.3. Общее уравнение плоскости ....................................................

63

3.4. Уравнение плоскости в отрезках..............................................

65

3.5. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ......

65

3.6. Уравнение плоскости, проходящей

через три данные точки....................................................................

66

3.7. Угол между плоскостями. Условие параллельности

и перпендикулярности плоскостей.................................................

66

3.8. Расстояние от точки до плоскости...........................................

67

3.9. Прямая линия. Прямая в пространстве ( R3 )

и на плоскости ( R2 ) .........................................................................

68

3.10. Взаимное расположение прямой и плоскости......................

76

3.11. Кривые 2-го порядка...............................................................

78

3.12. Поверхности 2-го порядка......................................................

89

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ........................

100

4.1. Основные понятия о множествах ..........................................

100

4.2. Числовая последовательность. Основные понятия

и определения.................................................................................

102

4.3. Предел числовой последовательности..................................

103

4.4. Свойства сходящихся последовательностей ........................

104

4.5. Функция. Область определения, множество значений,

способы задания.............................................................................

105

4.6. Предел функции......................................................................

107

4.7. Односторонние пределы функции в точке ...........................

112

4.8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Связь между ними..........................................................................

113

4.9. Операции над пределами........................................................

114

4.10. Ограниченные функции........................................................

116

4.11. Замечательные пределы........................................................

116

4.12. Свойства бесконечно малых функций ................................

119

4.13. Сравнение бесконечно малых функций..............................

120

4.14. Эквивалентные бесконечно малые функции......................

121

4.15. Непрерывные функции. Непрерывность функции

в точке .............................................................................................

123

4.16. Односторонняя непрерывность............................................

125

4.17. Свойства функций, непрерывных в точке ..........................

125

4.18. Точки разрыва и их классификация ....................................

126

4.19. Свойства функций, непрерывных на отрезке.....................

128

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ...................................................................

131

5.1. Определение производной, ее геометрический

и механический смысл...................................................................

131

5.2. Дифференцируемость функции..............................................

135

5.3. Основные правила дифференцирования ...............................

136

5.4. Дифференцирование сложной функции................................

138

5.5. Дифференцирование обратной функции...............................

139

5.6. Дифференцирование основных элементарных

функций...........................................................................................

139

5.7. Дифференцирование функции, заданной неявно.................

146

5.8. Дифференцирование функции,

заданной параметрически..............................................................

146

5.9. Производные высших порядков.............................................

147

5.10. Дифференциал функции........................................................

149

5.11. Геометрический смысл дифференциала..............................

150

5.12. Основные правила нахождения дифференциала................

151

5.13. Дифференциал сложной функции........................................

151

5.14. Дифференциалы высших порядков......................................

152

5.15. Теоремы о среднем................................................................

153

5.16. Правило Бернулли–Лопиталя...............................................

157

6. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ..............................................

160

6.1. Возрастание и убывание функции.........................................

160

6.2. Экстремум функции одной переменной...............................

163

6.3. Наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке........................................................................................

168

6.4. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба .............

169

6.5. Асимптоты графика функции................................................

173

6.6. Общая схема исследования функции....................................

175

Список использованной литературы................................................

179