Математика. Ч. 1

Пример 5.9. y cos5 ln x. dy y (x)dx 5cos4 ln x sin ln x 1x dx.

Если функция y f ( x) имеет в точке x дифференциал, то при

Формула (5.15) дает возможность найти значение функции f в некоторой точке x x, если известно значение функции f и ее производной в точке x.

Пример 5.10. Вычислить tg46°.

Решение. f (x x) f (x) df (x).

150

AB tg x y (x) x AB dy.

Таким образом, дифференциал функции f с геометрической точки зрения есть приращение ординаты касательной, проведенной к данной кривой в точке М при переходе точки М с абсциссой x в точку N с абсциссой x + x по кривой.

5.12.Основные правила нахождения дифференциала

1.dc 0, где c – const.

2.d(c u(x)) c du.

3.d(u(x) v(x)) du dv, где u(x), v(x) – дифференцируемые

функции.

4.d(u v) vdu u dv.

5.d u vdu 2u dv .

vv

Используя правило дифференцирования сложной функции можно записать

Сравнивая (5.14) и (5.16), заключаем, что дифференциал функции выражается одной и той же формой, как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции, т. е. диффе-

151

ренциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, где аргумент может быть и независимой переменной и функцией от другой независимой переменной. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.

При этом следует иметь в виду, что в формуле (5.14) dx x,

а в формуле (5.16) дифференциал du u (приращение), так как u является промежуточным аргументом, зависящим от x.

5.14. Дифференциалы высших порядков

y f (x) – дифференцируемая функция n раз.

Определение. Дифференциалом 2-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала 1-го порядка и обознача-

ется d2 y.

Формула справедлива в том случае, если x является независимой переменной; если x является зависимой переменной, то формула (5.17') нарушается.

Пример 5.11. y cos 5x. Найти d2 y.

152

5.15. Теоремы о среднем

Теорема Ролля (о нуле производной)

М. Ролль (1648–1719 гг.) – французский математик. Если функция y f ( x):

1)определена и непрерывна на a; b ,

2)дифференцируема на a; b ,

3)и на концах принимает равные значения: f (a) f (b), то су-

ществует по крайней мере одна точка c a; b такая, что f (c) 0.

Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на a; b , то она имеет на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее m.

достигает одно из этих значений (М или m) внутри отрезка. Предположим, что это наибольшее значение, которое достигается в точ-

ке x c, a c b: f (c) M .

Рассмотрим приращение функции в окрестности точки с. Так как f (c) – наибольшеезначениефункции, то f (c) f (c x) f (c) 0.

По определению производной пределы слева и справа должны быть равны между собой, следовательно, f (c) 0.

153

Геометрический смысл теоремы Ролля

y

C

y f (x)

раллельная оси x.

На следующем рисунке таких точек две.

Теорема Лагранжа (о конечных приращениях)

Ж. Лагранж (1736–1813 гг.) – французский математик. Если функция y f ( x):

1)непрерывна на a; b ,

2)дифференцируема на a; b , тогда существует по крайней

мере одна точка c a; b , для которой выполняется равенство f (b) f (a) f (c) (b a).

154

Доказательство. Даны точки A(a, f (a)), B(b, f (b)).

y

Рассмотрим вспомогательную функцию F (x) f (x) yсек. , т. е.

Покажем, что F (x) удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля:

1)она непрерывна, как сумма непрерывных функций;

2)дифференцируема, как сумма дифференцируемых функций;

3)F (a) F (b) 0.

155

f (b) f (a) f (c) (b a).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

Теорема означает геометрически, что найдется такая точка С с абсциссой с, касательная в которой к данной кривой параллельна секущей АВ.

Замечание. Если в формуле Лагранжа положить f (b) f (a), то

получим теорему Ролля, т. е. теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Теорема Коши (об отношении конечных приращений)

гда функция (x) будет удовлетворять условиям теоремы Ролля, т. е. найдется такая точка x c (a c b), что (c) 0, но это противоречит условию, так как (x) 0. Следовательно, (b) (a) 0.

Для доказательства данной теоремы рассмотрим функцию

F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) ( (x) (a)).(b) (a)

156

Функция F(x) удовлетворяетвсемтремусловиямтеоремыРолля:

1)она непрерывна, как сумма непрерывных функций;

2)онадифференцируема, каксуммадифференцируемыхфункций;

3)F (a) F (b) 0.

Поэтому внутри отрезка a; b найдется такая точка x c (a c b),

что F (c) 0.

F ( x) f ( x) f (b) f (a) ( x).(b) (a)

F (c) f (c) f (b) f (a) (c) 0.(b) (a)

5.16. Правило Бернулли–Лопиталя

Иоганн Бернулли (1667–1748 гг.) – швейцарский математик. Гийом Франсуа де Лопиталь (1661–1704 гг.) – французский

математик.

Правило Бернулли–Лопиталя служит для раскрытия неопреде-

пределу отношения их производных, если последний предел суще-

157

Приведем доказательства теоремы для случая раскрытия неопре-

деленностей вида 00 .

Доказательство.

158

Пример 5.13.

159