Математика. Ч. 1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример 5.8. Найти

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1915 16 17 18 19 > Следующая >>>

y arcctg u

1 u2

y loga u (a 0, a 1)

ln a

10.

y ln u

11.

y au (a 0, a 1)

y au ln a u

12.

y eu

y eu u

13.

y ua , где u u(x), a R

y a ua 1 u

14.

y u(x)v( x)

y uv ln uv vuv 1 u

Производные тригонометрических функций

1. y sin x.

Дадимхприращение x,

тогдафункцияполучитприращение y:

y sin(x x) sin x 2sin

cos x

sin x

(sin x) lim

cos x,

lim

lim cos x

x 0

(sin x) cos x.

y sin u, где u = u(x). Применяя теорему о производной сложной функции, можно записать, что y cosu ux.

Итак, (sin u) cosu u .

140

y cosu.

;

cosu sin

cos

y cosu

sin

u , cos u sin u ux.

cos

u u sin u

y tgu ,

tgu sinu

cosu 0.

cosu

Применяя правило производной дроби, получим

sin u cosu sin u cosu

cos2 u u sin2 u u

cos2 u

tgu cos12 u u .

4.y ctgu, ctgu cossinuu, sinu 0, y sin12 u u , ctgu sin12 u u .

5. y arcsin u, u 1;1 ,

;

u sin y – обратная функция, в интервале

;

эта функция

строго монотонная. Продифференцируем ее по y и получим

uy cos y y yx

cos y

1 sin2 y

1 u2

141

arcsin u

«+»

перед корнем,

так как cos y 0 на

1 u2

;

6. Аналогично доказывается, что если y arccos u , то

arccos u

1 u2

arctg u,

;

u tg y – обратная функция для функции

y arctg u.

Продифференцируем u tg y поу иполучим

u cos12 y y y cos2 y u .

u y

u .

arctg u

tg2 y

8. Аналогично

доказывается,

что

если y arcctg u , то

arcctg u

1 u2

Производная логарифмической функции

9. Дана функция y loga x, где a 0, a 1.

Дадим фиксированному значению x D(y) приращение x, тогда

y loga (x x) loga x loga x x x loga 1 xx .

142

lim

loga 1

loga lim

x 0

1x loga e x 1ln a .

Для сложной функции y loga u(x)			имеем y	u	.
Для сложной функции y loga u(x)			имеем y	u ln a	.
	1			u ln a
10. Для функции y ln u y	1
10. Для функции y ln u y	u	u .

Логарифмическое дифференцирование

Прием дифференцирования функций, примененный после ее лога-

рифмирования, называетсялогарифмическимдифференцированием.

Этот прием чаще применяется, если необходимо продифференцировать:

1)произведение нескольких функций;

2)дробь, числитель и знаменатель которой содержат произведения функций;

3)корни из дробей;

4)функцию вида y f (x) ( x) .

Пример 5.1. Продифференцировать функцию y	ax b .
	cx d

Решение. Прологарифмируем данную функцию по основанию е и получим


ln y	1	ax b	1	ln ax b ln cx d .
ln y	2 ln	cx d	2	ln ax b ln cx d .
После	дифференцирования				обеих	частей	имеем

1	y	1		a	c	, откуда
y		2
			ax b		cx d

	1	ax b	a	c
y	2				.

		cx d ax b		cx d

143

y au, где

Производная показательной функции

11. u u(x).

Прологарифмируем функцию по основанию :

u loga a loga y u loga y.

Дифференцируя по х левую и правую части полученного равенства по правилу дифференцирования сложной функции, считая у функцией х, получим

y ln a u

y ln a

ln a u ,

ln a u .

12.Если y eu , где u u(x), то (eu ) eu u .

Производная степенной функции

13.y ua, где a R, u(x) 0.

Прологарифмируем функцию по основанию е:

ln y ln ua ; ln y a ln u .

Дифференцируя левую и правую части полученного равенства, получим

;

a u y a y u ;

y a u

a 1

a u

a 1

a u

u ;

)

u .

Пример 5.2.

Найти

производную

функции

y (3x2

7)5 log 2 e2 x2 arctg 2 x.

Решение. Применяя правило дифференцирования алгебраической суммы и используя таблицу основных производных, получаем

144

2 x2

5(3x

(3x

e2 x

ln 2 (e

4x2

) 1

(2x)

e2x2

или

5(3x

6x e2x2

ln 2

1 4x2

30x(3x

7) ln 2 1

4x2 .

Производная показательно-степенной функции

14. y uv , где u u(x), v v(x) дифференцируемы,

u(x) 0.

Прологарифмируем это равенство по основанию е: ln y v ln u , а затем дифференцируем по x:


y		lnu v	u			lnu v	u

y	v		u	y	y v		u

или

(uv ) uv ln u v v uv 1 u .

Таким образом, производная показательно-степенной функции равна сумме производных этой функции, если ее рассматривать сначала как показательную, а затем как степенную.

Пример 5.3. Пусть y (cos 2x)sin

, тогда

sin

(cos 2x)

ln cos 2x sin

sin

(cos 2x)

( sin 2x) 2.

y (cos 2x)

sin

cos

ln cos 2x sin

2sin 2x

cos 2x

y (cos 2x)

sin

cos

ln cos 2x 2sin

tg 2x .

145

5.7. Дифференцирование функции, заданной неявно

Если зависимость между аргументом x и функцией y задана уравнением F(x, y) = 0, неразрешенным относительно y, то такая зависимость определяет y как неявную функцию от x. Для того, чтобы найти производную от функции, заданной неявно, надо все члены F(x, y) = 0 перенести в одну часть, продифференцировать по x все члены, помня, что y = f(x), применяя теорему о дифференцировании сложной функции, а затем разрешить данное равенство отно- си-тельно y (x) .

Пример 5.4. Найти производную ddyx функции, заданной неявно

уравнением x2 2xy y3 1.

Решение. Дифференцируем обе части равенства, помня, что y есть функция от x: 2x 2y 2xy 3y2 y 0 .

Решая уравнение относительно y , находим, что y 32(yy2 2xx) .

5.8.Дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть функция	y y(x)	задана параметрическими уравнениями
x x(t), y y(t).
Пусть функции	x x(t)		определены в некоторой окрестности
Пусть функции			определены в некоторой окрестности
	y y(t)

точки t0 T и одна из этих функций, например, x x(t) , дифферен-

цируема, а следовательно, непрерывна и монотонна в указанной окрестности, тогда для функции x(t) существует обратная функция

t t(x), которая также дифференцируема. Тогда функция y = f(x)

может быть представлена как сложная функция y = y(t) = y(t(x)). По правилам дифференцирования сложной и обратной функции

получим yx yt tx	yt	1	.
		xt

146

	Итак,					y
						y
					yx	t
					yx	xt ,	t T.		(5.13)
						xt ,	t T.		(5.13)

					x x(t)
	Пример 5.5. Найти производную функции, заданной параметриче-
	x cos 2t			.
ски				.
	y sin 2t
	Решение.			Согласно		формуле		(5.13)	имеем
y x		yt	cos 2t 2		ctg 2t.
y x			sin 2t 2		ctg 2t.
		xt	sin 2t 2

Ответ. yx ctg 2t .

x cos 2t

5.9.Производные высших порядков

I.y f (x) – дифференцируемая функция в каждой точке неко-

торого интервала.

y f (x) – функция от x и может, в свою очередь, иметь производную.

yx x yx – производная 2-го порядка.

yx x yx – производная 3-го порядка.

Определение. Производной n-го порядка от функции y f (x) называется производная от производной (n – 1) порядка и обознача-

ется y( n) y( n 1) .

Пример 5.6. Найти производную 5-го порядка для функции y x5 cos 2x.

Решение. Выполняя последовательное дифференцирование, находим

147

	4	2sin 2x; y	20x	3	4cos 2x; y			60x	2	8sin 2x;
y 5x		2sin 2x; y	20x		4cos 2x; y			60x		8sin 2x;
	y(IV ) 120x 16cos 2x;					y(V ) 120 32sin 2x.
II. Неявно заданные функции.
Пример		5.7. Найти производную 2-го					порядка			от функции
y f (x), заданной уравнением x2						y2 a2.

Решение. Найдем первую производную 2x 2y y 0 y

Дифференцируя вторично, имеем

y x

y xy

3 .

x x(t)

III. Параметрически заданные функции: , t T .

y y(t)

Была выведена формула (5.13) для вычисления первой производной:

		y
	yx	t
		x .

		t

x x(t)

Поскольку вторая производная от y по x есть первая производная от yx по x, то при нахождении второй производной снова находим первую производную от функции, заданной параметрически:

		yx			yx
						t
		t	,
yх				yx		и т. д.
		x (t)			xt
	x(t)
x				x x(t)

148

Решение. Выполняяпоследовательныедифференцирования, имеем

3cos2 t( sin t)

3cos2 t sin t

1 cos 2t

2cos2 t

2 sin t.

sin t

3 cos t

2 cos2 t

4 cos t

3 sin t

4 cos

4 cos t

2 cos2 t

2cos2 t

8 cos4 t

5.10. Дифференциал функции

Пусть функция y f (x)

имеет производную в точке x. По опреде-

лению производной имеем

lim

y (x).

По теореме о разности между функцией и ее пределом можно

записать	y	y (x) a(x), где a(x) –	бесконечно малая функция
	x	y y (x) x a(x) x.	Первое слагаемое y (x) x
при x 0,		y y (x) x a(x) x.	Первое слагаемое y (x) x

является главной частью приращения y функции.

Определение. Дифференциалом функции y f (x) в точке x на-

зывается главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента.

Дифференциалобозначаетсячерезdy или df (x):	def	y ( x) x.
Дифференциалобозначаетсячерезdy или df (x):	dy	y ( x) x.
Если x – независимая переменная, то x dx:
		(5.14)
dy y (x) dx.		(5.14)

149

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1915 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf
#
28.12.20252.7 Mб0Математика. Ч. 1_2.pdf
#
28.12.2025539.48 Кб0Математика. Ч. 1_3.pdf
#
28.12.2025521.83 Кб0Математика. Ч. 2-1.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf