Математика. Ч. 1

Теорема. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, пределкоторойотличен отнуля, естьфункциябесконечномалая.

Доказательство.

4.13. Сравнение бесконечно малых функций

Для сравнения двух бесконечно малых функций вычисляют предел их отношения.

Рассмотрим бесконечно малые функции α(х) и β(х) при x a (а = х0 или а = ∞). (x) 0 в некоторой окрестности точки а.

х

Определение. Если lim А ( A 0, A ), то бесконечно

х а х

малые функции α(х) и β(х) имеют один и тот же порядок малости в точке а и обозначают α(х) = О(β(х)). Можно записать наоборот:

β(х) = О(α(х)).

Читают: α(х) есть О большое от β(х).

Пример 4.15. Пусть α(х) = sin5х, β(х) = 2х при х → 0. Так как

х

Определение. Если lim 0, то α(х) называют бесконечно

х а х

малой функцией более высокого порядка малости, чем β(х) в точке а. Обозначают α(х) = о(β(х)).

1 – cosх = о(х). То есть бесконечно малая функция 1 – cosх имеет более высокий порядок малости по сравнению с бесконечно малой функцией х при х → 0.

120

х

Определение. Если lim , то α(х) называется бесконечно

х а х

малой низшего порядка, чем β(х).

Следовательно, бесконечно малая функция tgх – бесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем х2, х2 = о(tgх).

Определение. Бесконечно малую функцию α(х) называют бесконечно малой функцией k-го порядка малости (k ˃ 0) по сравнению с бесконечно малой β(х), если α(х) и (β(х))k будут бесконечно малыми

4.14. Эквивалентные бесконечно малые функции

х

Если lim 1, то бесконечно малые функции α(х) и β(х) назы-

х а х

ваютсяэквивалентнымивточкеа. Записываютα(х) ~ β(х) при х→ а. Пример 4.18. α(х) = ln(1 + х) и β(х) = х – эквивалентные беско-

Пример 4.19. α(х) = ех – 1 и β(х) = х при х → 0 бесконечно ма-

121

Эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0

Свойства эквивалентных бесконечно малых функций

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения двух бесконечно малых функций, им эк-

Теорема. Две бесконечно малые функции α(х) и β(х) эквивалентные порознь третьей бесконечно малой функции γ(х), эквивалентны между собой.

Доказательство. Дано α(х) ~ γ(х), β(х) ~ γ(х).

Следовательно, α(х) ~ β(х).

122

Теорема. Разность α(х) – β(х) двух эквивалентных бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем каждая из них:

α(х) – β(х) = о(α(х)), α(х) – β(х) = о(β(х)).

Теорема. Если разность α(х) – β(х) двух бесконечно малых функций α(х) и β(х) есть бесконечно малая функция высшего порядка малости, чем α(х) и β(х), то α(х) и β(х) есть эквивалентные бесконечно малые функции.

4.15. Непрерывные функции. Непрерывность функции в точке

Определение. Функция f(х), определенная в Оδ(х0), называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции при x x0

и этот предел равен значению функции в этой точке, т. е.

Таким образом, для непрерывной функции знаки функции и предела можно переставлять. Из определения (4.1) вытекают три условия непрерывности функции f(х) в точке х = х0. Функция f(х) непрерывна в точке х0, если выполнены следующие требования:

1)f(х) должна быть определена как в точке х0, так и в некоторой

ееокрестности;

2)f(х) должна иметь предел, когда x x0 произвольным обра-

123

Графиком непрерывной функции является непрерывная кривая. Используют определение непрерывности функции f(х) в точке х0,

которое эквивалентно определению (4.1).

Дана функция у = f(х).

y Разность х – х0 называется приращением аргумента и обозначается

Равенство (4.1) эквивалентно равенству (4.2).

Определение. Функция f(х) называется непрерывной в точке х0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бес-

конечно малое приращение функции, т. е. lim у 0.

х 0

Это определение особенно удобно для практического использования.

Пример 4.20. Докажем, что функция у = sinх непрерывна на интервале ( , ). Пусть x0 R. Аргумент получает приращение х,

тогда функция получит приращение у.

2 0 cos x0 0.

По определению (4.2) у = sinх непрерывна в , .

124

4.16. Односторонняя непрерывность

Непрерывность слева: у = f(х) непрерывна слева в точке х0, если

она определена в Оδ(х0 – 0), имеет левосторонний предел в ней, кото-

рыйсовпадает созначениемфункциивточкех0: lim f х f х0 .

х х0 0

Непрерывность справа: у = f(х) непрерывна справа в точке х0,

если она определена в Оδ(х0 + 0), имеет правосторонний предел

Теорема. Если функции f(х) и φ(x) непрерывны в точке х0, то функции:

1)c f (x), c (x), гдеc const;

2)f (x) (x);

3)f (x) (x);

4)f хх , где х 0 также непрерывны в точке х0.

Доказательства этой теоремы основаны на определении непрерывности функции в точке и на теоремах о пределах (п. 4.9).

Например, докажем 2). По условию дано: lim f х f х0 ,

х х0

хlimх х х0 .

0

Определение. Элементарными функциями называются такие, ко-

торые получаются из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и суперпозиции (взятие функции от функции), примененных конечное число раз.

Теорема. Основные элементарные функции непрерывны в области своего определения. Например, у = sinх непрерывна при

x , .

125

Теорема (о непрерывности сложной функции). Если функция y (x) непрерывна в точке х0, а функция f(у) непрерывна в точке

предельного перехода перестановочна с операцией взятия непрерывной функции.

4.18. Точки разрыва и их классификация

Точка, в которой нарушается непрерывность функции, называется точкой разрыва этой функции.

цииf(х) вточкех0.

2.Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен ∞, то точка х0 называется точкой разрыва II рода.

3.Если односторонние пределы конечны и равны между собой, но не равны значению функции в самой точке: f(х0 – 0) = f(х0 + 0) ≠

≠f(x0), то точка х0 – точка устранимого разрыва функции f(х). Приняв значение функции f(х) в этой точке х = х0 равное одно-

сторонним пределам, устраняем разрыв и новая функция становится непрерывной.

126

функции, как основные элементарные функции. В точке х = 1 нарушено второе условие непрерывности функции в точке. Исследуем точку х = 1.

Решение. Функция задана тремя аналитическими выражениями, из которых первые два являются функциями, непрерывными для

всех значений х, а выражение 1х не существует при х = 0. Так как

выражение 1х задано при х ˃ 1, то все три аналитические выраже-

ния – непрерывные функции. Данная функция может иметь разрыв на границах интервалов, где меняется ее аналитическое выражение,

т. е. в точках х1 = 0, х2 = 1.

Исследуем поведение функции в точке х1 = 0:

Левый и правый пределы одинаковы, но в самой точке х = 0 функция не задана. Следовательно, при х = 0 функция имеет устранимый разрыв. Скачок в точке устранимого разрыва δ = 0.

Исследуем поведение функции в точке х2 = 1:

127

Левый и правый пределы функции f(х) конечны, но не одинаковы, значит, в точке х2 = 1 имеет место разрыв I рода. Скачок функции в точке разрыва равен δ = |0 – 1| = 1.

1

Пример 4.23. Исследовать на непрерывность функцию у 5 х 2

в точках х = 2 и х = 3.

Решение. Данная функция определена и непрерывна во всех точках, кроме х = 2.

Все условия непрерывности функции выполнены, значит, при х = 3 функция непрерывна. Для уточнения графика найдем пределы

данной функции.

y

1

4.19. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение. Функция, определенная на отрезке [a, b] и непрерывная в каждой его точке, называется функцией, непрерывной на отрезке.

128

Теорема (об ограниченности непрерывной функции на отрезке). Если f(х) определена и непрерывна на [a, b], то она ограничена на

этом отрезке, т. е. f (x) M x a, b , M const.

Теорема. Если функция f(х) непрерывна на [a, b], то она достигает по меньшей мере один раз наибольшего М и наименьшего m зна-

чения на [a, b], т. е. существуют x0 a, b и x1 a, b такие, что f(х0) = М и f(х1) = m.

y

M

m

Теорема (об обращении функции в нуль). Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке [a, b] и на его концах принимает значение разных знаков f(a) ˂ 0, f(b) ˃ 0, то внутри этого отрезка существует по крайней мере одна точка, в которой функция равна нулю.

y

На чертеже три точки: х1, х2, х3, где f(х) = 0. Сформулированная теорема имеет геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе с одной полуплоскости, границей которой является ось Oх, в другую полуплоскость пересекает эту ось.

Замечание. Если f(х) непрерывна и монотонна на [a, b], то существует единственная точка х0, x0 a, b , в которой функция равна нулю: f(х0) = 0.

129