Математика. Ч. 1

Покажем в общем виде, что для каждого ɛ найдется свое δ.

Конечный предел функции на бесконечности

y

2

Бесконечный предел функции

Достаточно часто приходится рассматривать бесконечный пре-

Определение. Функция у = f(х) имеет бесконечный предел в точке

110

Определение. Предел функции у = f(х) при x x0 называется

бесконечным, если для любого положительного числа М существует число δ > 0 такое, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству 0 < |х – х0| < δ, будет выполняться неравенство

|f(х)| > М.

называется бесконечным, если для любого сколь угодно большого числа M R найдется такое число N > 0, что для любого х, для которого |х| > N выполняется неравен-

ство |f(х)| > М:

lim f x M 0 N(M ) 0 : x N f x M .

x

y

M

111

4.7. Односторонние пределы функции в точке

При определении предела функции в точке х0 не учитывалось,

Oδ(х0 – 0) – левая δ-окрестность точки х0.

Oδ(х0 + 0) – правая δ-окрестность точки х0.

Число b Y называется левосторонним пределом (пределом сле-

Замечание. Если в точке х0 f(х) имеет левосторонний и правосторонний пределы и они равны между собой, то это число является пределомфункцииf(х) вточкех0.

112

4.8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между ними

Среди функций, имеющих предел в точке, особую роль играют функции, предел которых в точке есть нуль или бесконечность.

Определение. Функция α(х) называется бесконечно малой при

x x0 , если lim (x) 0.

x x0

Бесконечно малые функции принято обозначать греческими бук-

вами α(х), β(х), γ(х), …

Определение. Функция у = f(х) называется бесконечно большой

при x x0 , если lim f (x) .

x x0

Связь между бесконечно малыми функциями и бесконечно большими функциями выражается следующими теоремами.

Теорема. Если функция f(х) в точке х0 бесконечно большая функция, то в некоторой окрестности точки х0 определена функция

Теорема. Если в точке х0 функция f(х) бесконечно малая, то в неко-

113

4.9. Операции над пределами

Вычисление пределов облегчается, если применять теоремы о пределеалгебраическойсуммы, произведенияичастногодвухфункций.

Распространим эти теоремы на случай конечного предела функции на бесконечности и бесконечного предела функции.

Арифметические операции над пределами функций могут давать

1) если числитель и знаменатель многочлены, то их следует разложить на множители и сократить на х – х0;

2) если числитель и знаменатель содержат иррациональности, то от этих иррациональностей нужно избавиться, сделав соответствующие преобразования.

114

Пример 4.10. Найти

Неопределенность вида .

Для ее раскрытия делят на старшую степень переменной числитель и знаменатель.

Пример 4.12. Найти

Теорема (сравнения). Пусть f(х) и g(х) определены в некоторой окрестности O (a). Тогда, если f х g х х O (a) и существу-

ютконечныепределыf(х) иg(х) при x a, то lim f х lim g х .

х а х а

115

Теорема (о промежуточной функции). Функции f(х), φ(х), ψ(х)

lim φ х lim ψ х b, то функция f(х) также имеет предел в точке

х а х а

а и lim f х b.

х а

4.10. Ограниченные функции

Определение. Функция z(х) называется ограниченной, если

М 0 х0 : х О х0 z х М.

Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, sinх при x предела не имеет, хотя |sinх| ≤ 1 (sinх ограниченная функция).

Теорема (об ограниченной функции). Если функция у = f(х) имеет предел при x a, то она ограничена на О (a).

Доказательство.

116

x 0 слева и справа равны между собой. Вычислим предел этой функции справа, х ˃ 0, т. е. рассмотрим интервал (0, π2 ).

х выраженврадианах.

Мы получили это неравенство в предположении, что х ˃ 0, но

117

Первый замечательный предел применяют при раскрытии не-

нометрических функций.

118

4.12. Свойства бесконечно малых функций

Теорема (о разности между функцией и ее пределом).

Если существует конечный предел функции b lim f х в точ-

х х0

дел b, то она представима в виде f(х) = b + α(х), где α(х) – бесконечно малая функция в точке х0.

Теорема. Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Доказательство.

Теорема. Произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную есть функция бесконечно малая.

Теорема. Произведение конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

119