Математика. Ч. 1

Цилиндрическая поверхность

Положим, что уравнение F(x, y, z) = 0 не содержит переменной z,

т. е. F(x, y) = 0.

На плоскости хОу уравнение изображает некоторую линию L. Но этому уравнению будут удовлетворять также координаты всех тех точек пространства, у которых первые две координаты совпадают с координатами любой точки линии L, т. е. тех точек пространства, которые проектируются на плоскость хОу в точки линии L.

Совокупность таких точек есть поверхность, описанная прямой, параллельной оси Оz и пересекающей линию L. Такую поверхность называют цилиндрической.

Линия L называется ее направляющей, а всевозможные положения движущейсяпрямой, параллельнойосиОz, называетсяобразующими.

Итак, уравнение F(x, y) = 0 в пространстве изображает цилиндрическуюповерхность, образующиекоторойпараллельныосиОz.

F(y, z) = 0 – цилиндр с образующими параллельными оси Ох. F(x, z) = 0 – цилиндр с образующими параллельными оси Оу. Всякую линию в пространстве можно рассматривать как пересе-

чение двух поверхностей:

F1(x, y, z) 0;F2 (x, y, z) 0.

Возьмем за направляющие цилиндрических поверхностей различные кривые 2-го порядка, лежащие в плоскости хОу, и принимая направление оси Оz за направление образующих этих цилиндров, получаемуравненияследующихцилиндрическихповерхностей:

90

1) эллиптический цилиндр:

x2 y2 1 (осью цилиндра служит ось Оz; a2 b2

2) гиперболический цилиндр: x2 y2 1; a2 b2

3) параболический цилиндр: y2 = 2px (p > 0);

91

4) круговой цилиндр: (x a)2 ( y b)2 R2.

Пример 3.10. Назватьипостроитьповерхностьz2 + 2z – 4x + 1 = 0.

Решение. (z + 1)2 = 4x; O'(0, 0, –1).

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением некоторой кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости.

Пусть в плоскости уОz дана линия L, имеющая уравнение: F(Y, Z) = 0. Найдем уравнение поверхности, полученной от вращения этой линии вокруг оси Оz.

Возьмем на поверхности точку М(x, y, z) и проведем через нее плоскость, перпендикулярную оси вращения.

N и M' – точки пересечения плоскости с осью вращения Oz и данной линией L. Точки N, M, M' имеют одинаковое z.

Точка N(0, 0, z).

r NM x2 y2 – радиус окруж-

ности, получившейся в сечении поверхности плоскостью. С другой стороны, так как точка M' лежит одновременно и на L, и на окружности сечения, то r = |NM| равен абсолютной величине ординаты точки M':

92

Тогда искомая поверхность имеет уравнение

F( x2 y2, z) 0.

Итак, чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением линии L, лежащей в плоскости уОz, вокруг оси Оz, нужно

в уравнении этой линии заменить Y на x2 y2 , а z оставить без

изменения.

Найдем уравнения поверхностей, образованных вращением кривых 2-го порядка вокруг их осей симметрии. Кривые будем располагать в плоскости yOz, за ось вращения примем ось Oz.

1. Эллипсоид вращения.

Возьмем эллипс y2 z2 1 и будем вра- b2 c2

щать его вокруг оси Oz. z оставим без изменения, а y заменим на x2 y2. Полу-

чим x2 y2 z2 1 – уравнение эллипсоида b2 b2 c2

вращения.

2. Гиперболоид вращения.

Возьмем гиперболу y2 z2 1 и будем b2 c2

вращать ее вокруг оси Оz. z оставим без из-

полостный гиперболоид вращения.

Возьмем сопряженную гиперболу z2 y2 1 и будем вращать c2 b2

ее вокруг оси Оz. Получим z2 x2 y2 1 – двуполостный гипер- c2 b2 b2

болоид вращения.

93

95

гипербола;

пербола;

пербола;

уравнение определяет следующее:

– при h c не определяет никакой линии;

– h c – точки (0, 0, –с) и (0, 0, с);

– h c – эллипс.

96