Математика. Ч. 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 3»

Е. Л. Ерошевская

МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие

Ч а с т ь 1

М и н с к Б Н Т У

2 0 1 8

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 3»

Е. Л. Ерошевская

МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие для студентов строительных специальностей

В 2 частях

Ч а с т ь 1

Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области строительства и архитектуры

Минск

БНТУ

2018

1

УДК 519.2(075.8) ББК 22.1я7

Е78

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра высшей математики Белорусского аграрного технического университета (зав. кафедрой, канд. физ.-мат. наук,

доц. А. А. Тиунчик);

доцент кафедры Белорусского государственного университета

М. В. Дубатовская

Ерошевская, Е. Л.

Е78 Математика : учебно-методическое пособие для студентов строительных специальностей : в 2 ч. Ч. 1 / Е. Л. Ерошевская. – Минск:

БНТУ, 2018. – 182 с.

ISBN 978-985-550-888-6 (Ч. 1).

Данное издание предназначено для студентов первого курса (первый семестр) дневного и заочного отделений.

В нем излагаются элементы линейной алгебры, векторы, метод координат, элементы аналитической геометрии, дифференциальное исчисление функции одной переменной и его применение к исследованию функций. Разобрано достаточное количество примеров, которые поясняют смысл основных понятий при решении задач.

Данное издание имеет целью помочь студентам в их самостоятельной работе при изучении тем первого семестра.

2

1.ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1.Матрицы и определители

1.1.1. Матрицы, основные понятия

Изучаемый в математике и рассматриваемый как единое целое объект, с которым производятся какие-либо математические действия, будем называть математическим объектом. К математическим объектам относятся, например, числа, геометрические объекты (линии, поверхности и т. п.), переменные величины и т. д.

Термин «матрица» был введен Дж. Сильвестром в 1850 году, в математику – А. Кэли в 1857 году. Матрицей называется математический объект, состоящий из mn элементов, взятых в определенном порядке.

Для указания на порядок элементов матрицы их выписывают в виде таблицы из m строк и n столбцов. Элемент матрицы, стоящий на пересечении строки с номером i и столбца с номером j,

обозначают aij . Если aij – числа, матрица называется числовой.

Обозначают матрицы большими латинскими буквами. Обозначение матриц

1.1.2. Основные виды матриц

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, т. е. m n,

то матрица называется квадратной. Порядком квадратной матрицы называется число ее строк (или столбцов). Строки и столбцы матрицы называют ее рядами.

3

Обозначение квадратной матрицы порядка n

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и элементы одной матрицы равны соответствующим элементам другой матрицы: Am n Bp k , m p, n k.

В квадратной матрице элементы a11, a22 , , ann образуют главную

диагональ, аэлементы an1, an 1 2 , , a1n – побочную.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой отличны от нуля только элементы, стоящие по главной диагонали.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной En. Например,

4

Симметрическая матрица – квадратная матрица, для которой

Трапециевидная матрица – матрица произвольных размеров, если она имеет вид

где a11, a22 , , akk отличны от нуля.

Треугольная матрица (частный случай трапециевидной) – квадратная матрица, все элементы которой по одну или другую сторону от главной диагонали равны нулю. Различают верхнюю и нижнюю треугольные матрицы. Например, матрица вида

матрицей.

Матрица AT , полученная из данной матрицы A заменой каждой

ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной.

5

Операция нахождения матрицы, транспонированной к данной, называется транспонированием матрицы.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-

столбцом.

a11a21

Имеет вид Am 1 a31 .

am1

1.1.3. Действия над матрицами

К линейным операциям над матрицами относятся умножение матрицы на число, сложение матриц.

1. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы Am n aij на действительное число

Матрица вида 1 A A называется матрицей, противоположной матрице A.

6

2. Сложение матриц.

Складывать можно только матрицы одинаковых размеров, т. е.

Разность матриц A и B определяется так: A B A B .

3. Умножение матриц.

Матрицу A будем называть согласованной с матрицей B, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

гласованасматрицей B, номатрица B несогласованасматрицей A.

Формула (1.1) называется правилом произведения матриц.

Из определения произведения матриц следует, что для того, чтобы получить элемент произведения матриц A B, стоящий в i-й

строке и j-м столбце, нужно умножить элементы i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и эти произведения сложить.

7

Решение. Матрица A (три столбца) согласована с матрицей B (три

Замечание. Умножить матрицу B на A в данном случае нельзя – число столбцов матрицы B (три) не равно числу строк матрицы A (двум).

Замечание. Так как в общем случае A B B A, то произведение матриц не коммутативно.

Свойства действий над матрицами

1.A B B A (коммутативность относительно сложения).

2.A B C A B C A B C (ассоциативность).

3.A 0 A.

4.A A 0.

5.1 A A.

ния матриц относительно умножения на число).

жения чисел относительно умножения на матрицу).

8. A B C A C B C и A B C A B A C (дистрибу-

тивность умножения).

Транспонирование связано со сложением и умножением матриц нижепредставленными формулами.

9.AT T A.

10.A B T AT BT .

8

11.α A T α AT .

12.A B T BT AT .

13.Е А А Е А.

14.A B B A.

15.A B C A B C (ассоциативность).

Доказательство этих формул вытекает непосредственно из определений соответствующих операций сложения и умножения.

1.1.4. Определители и их основные свойства

Понятие «определитель» было введено Г. Лейбницем и японским математиком Кова Секи независимо друг от друга в 1683 году.

Развитие теории определителей нашло свое отражение в работах Ю. Вронского, Э. Кристоффеля, О. Коши и Дж. Сильвестра.

Понятие определителя (детерминанта) матрицы вводится только для квадратной матрицы.

Определитель обозначается A, det A. Определитель является

числовой характеристикой квадратной матрицы. Элементы, строки, столбцы и диагонали матрицы называют соответственно элементами, строками, столбцами и диагоналями определителя матрицы.

Определителем матрицы первого порядка A1 a11 называется

def

самэлемент a11 этойматрицы. Обозначение: det A1 A1 a11 a11.

9