Математика. Раздел Математическое программирование

Z 200y1 220y2 480y3 min

2 y1 5y2 5y3 25

3y1 4 y2 5y3 286 y1 6 y2 2 y3 27 yi 0, i 1,3

Решаем задачу в MS Excel. Первоначальная таблица:

Результаты:

82

Задача 2.

На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции П j ( j 1, n) . При ее изготовлении используются ресурсы Р1, Р2 и Р3. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами В1, В2 и В3. Расход ресурса i-го (i 1,3) вида на единицу продукции j-го вида составляет aij единиц. Цена единицы продукции j-го вида равна C j ден.

ед.

Требуется:

1.Найти план продукции, обеспечивающий предприятию максимальный доход.

2.Сформулировать в экономических терминах двойственную задачу, составить математическую модель двойственной задачи и решить её.

3.Используя решение исходной и двойственных задач, а также соответствие между двойственными переменными, провести анализ плана, указать наиболее дефицитный и избыточный ресурс, если он имеется.

85

86

ТЕМА 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

7.1. Краткие теоретические сведения

Рассмотрим одноразовую реализацию игры. В этом случае результат игры однозначно определяется после двух ходов игроков: I игрок выбирает i -ю стратегию, II игрок – j -ю стратегию, причем выбор стратегий произ-

водится при отсутствии информации о выборе второго игрока. Результат игры характеризуется скалярной величиной aij , интерпретируемой как

плата первому игроку вторым, если aij 0 (если aij 0 , то I игрок платит

II игроку сумму aij ) Стратегии при одноразовой реализации игры назы-

ваются чистыми.

Итак, игра задается матрицей

Строки матрицы (7.1) соответствуют стратегиям i игрока I, столбцы –

игрока I, если он выбрал стратегию i , а игрок II выбрал стратегию j . Если

игрок I выбрал стратегию i , то в наихудшем случае он получит выигрыш,

равный min aij . Поэтому игрок I должен выбрать такую стратегию, чтобы

i

максимизировать свой минимальный выигрыш .

Величина , определяемая формулой (7.2), называется нижней ценой игры, а стратегия i1 , обеспечивающая получение нижней цены игры,

называется максиминной.

Игрок при выборе некоторой стратегии j исходит из того, чтобы его проигрыш не превосходил максимального из значений j -го столбца мат-

рицы (8.1), т.е. был меньше или равен max aij . Игрок II будет стремиться

i

выбрать такую стратегию j2 , при которой его максимальный проигрышбыл бы минимален, т.е. был бы равен:

87

Величина , определяемая формулой (7.3), называется верхней ценой

ющие решением игры. Итак, если матрица игры имеет седловой элемент, то оптимальное решение игры определяется этим седловым элементом.

Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и решена симплексным методом и, наоборот, каждая задача линейного программирования может быть представлена как игра.

Для I игрока задача записывается в виде:

F (x) V max

при ограничениях:

Задачу линейного программирования можно упростить, разделив все n 1 ограничений на . Это возможно при 0. Если 0 , то надо сменить знаки неравенств. При 0 деление недопустимо, этот случай можно обойти, прибавив положительное число ко всем элементам платежной матрицы, что гарантирует положительность значения модифици-

88

рованной игры. Истинное значение игры получается вычитанием из модифицированного значения числа k . Полагая 0 , ограничения можно записать в виде:

89