Математика. Раздел Математическое программирование

4. Пересчет симплекс-таблицы.

В столбце базисных переменных записываем новый базис.

Каждый элемент разрешающей строки (которая в новой симплекс таблице будет уже соответствовать переменной х3) делим на разрешающий элемент (РЭ=9).

На месте разрешающего элемента получаем 1. В столбцах, соответствующих базисным переменным проставляем нули и единицы: 1 – против «своей» базисной переменной; 0 – против «чужой» базисной переменной; 0 – в последней индексной строке для всех базисных переменных.

Все остальные элементы новой симплекс-таблицы (включая элементы индексной строки) находим по правилу «прямоугольника»

После преобразований получаем новую таблицу.

Таблица 5.7

Полученное базисное решение (опорный план) является оптимальным, т.к. в индексной строке нет отрицательных коэффициентов.

Таким образом, оптимальным будет решение:

71

x1 50x2 70x3 10

x4 30

при котором Fmax 2 50 3 70 310. Т.е. для получения максимальной прибыли от реализации трикотажного полотна в размере 310 д. е. предприятие должно выпустить за планируемый период соответственно 50 и 70 метров трикотажного полотна первого и второго вида.

Рассмотрим последний шаг решения прямой задачи. Составим матрицу A из коэффициентов при переменных, входящих в оптимальный базис (взятых из первоначальной системы ограничений исходной задачи)

Найдем обратную матрицу 1 в табличном редакторе Microsoft Excel с помощью встроенной функции МОБР().

Рис. 5.1

72

3.Как найти решение двойственной задачи, если исходная (прямая задача) уже решена симплекс-методом?

4.В каком виде должна быть записана модель ЗЛП для решения сим- плекс-методом?

5.4.Задания для самостоятельной работы

1.Составить математическую модель двойственной ЗЛП. Из решения прямой задачи получить решение двойственной. Расчеты выполнить на листе Microsoft Excel, используя функции МОБР(), МУМНОЖ(). Варианты взять из занятия 4.

2.Составить двойственную задачу к следующей ЗЛП:

F 2x1 x2 x3 min

при ограничениях:

Решив одну из них, найти оптимальное решение другой. Провести анализ полученных результатов.

75

ТЕМА 6. ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

6.1. Краткие теоретические сведения. Анализ экономикоматематической модели двойственной задачи.

Рассмотрим симплексный алгоритм, который основан на соотношениях между прямой и двойственной задачами. Этот алгоритм эффективно решает определенный класс задач линейного программирования.

Вдвойственном симплекс-методе решение задачи линейного программирования начинается с недопустимого, но лучшего, чем оптимальное решения. Последовательные итерации этого метода приближают решение

кобласти допустимости без нарушения оптимальности промежуточных решений. Когда будет достигнута область допустимых решений, процесс вычислений заканчивается, так как последнее решение будет оптимальным.

Вдвойственном симплекс-методе начальная симплекс-таблица обязательно должна иметь в базисном решении недопустимую (т.е. отрицательную) переменную. Для реализации двойственного симплекс-метода разработаны следующие два условия, выполнение которых гарантирует оптимальность последовательных промежуточных решений и приближение их

кобласти допустимых решений.

Двойственное условие допустимости. В качестве исключаемой пе-

ременной xr выбирается базисная переменная, имеющая наибольшее по абсолютной величине отрицательное значение. Если таких переменных несколько, то выбор произволен. Если все базисные переменные неотрицательные, процесс вычислений заканчивается.

Двойственное условие оптимальности. Вводимая в базис перемен-

ная определяется как переменная, на которой достигается следующий минимум:

где rj – коэффициент из симплекс-таблицы, расположенный на пересечении ведущей строки (соответствующей исключаемой переменной xr ) и

столбца, соответствующего переменной x j . При наличии нескольких альтернативных переменных, выбор делается произвольно.

76

6.2. Практическая часть

Задача 6.1.

Дана задача линейного программирования: Минимизировать z 3x1 2x2 min При ограничениях

3x1 x2 34x1 3x2 6x1 x2 3

x1, x2 0

Начальная симплекс-таблица имеет вид:

Среди дополнительных переменных этой задачи x3 и x4 являются избыточными, а x5 – остаточной. Умножим каждое равенство, соответству-

ющее избыточным дополнительным переменным, на –1; в результате правые части этих равенств непосредственно указывают на базисные переменные, которые являются недопустимыми ( x3 3 , x4 6 , x5 3).

Этот подход всегда используется при реализации двойственного симплексметода.

Поскольку элементы в индексной строке отрицательны для

всех j 1,...,5 , начальное базисное решение является оптимальным (но не допустимым). Таким образом, приведенная таблица удовлетворяет требованиям начальной таблицы двойственного симплекс-метода, а именно – оптимальности и недопустимости.

Двойственное условие допустимости указывает на переменную x4 6 как на исключаемую из базиса. Теперь применим двойствен-

ное условие оптимальности для определения переменной, вводимой в базис. Для этого используем следующую таблицу.

77

Приведенные отношения показывают, что вводимой в базис переменной будет x2 .

Следующая таблица получена с помощью известных операций над строками, применяемых в прямом симплекс-методе.

Последняя таблица показывает, что из базиса исключается переменная x3 и вводится x1. В результате получаем следующую симплекс-

таблицу.

Решение, представленное в последней таблице, допустимо (и оптимально), поэтому вычисления заканчиваются. Это решение имеет вид x1 35, x2 65 , F 21 5.

На рис. 6.1 показана последовательность шагов двойственного сим- плекс-метода при решении этой задачи.

Алгоритм начинается в крайней точке А (которой соответствует недопустимое, но «лучше, чем оптимальное» решение), затем он переходит к точке В (которой также соответствует недопустимое, но «лучше, чем оптимальное» решение) и заканчивается в точке С, уже принадлежащей области допустимых решений.

78

Решение.

Пусть x j – это количество единиц продукции соответственно j ,

планируемой к выпуску, а F – величина прибыли от реализации этой продукции.

Составим экономико-математическую модель задачи.

Учитывая значение прибыли от единицы продукции, запишем суммарную величину прибыли – целевую функцию – в следующем виде.

F 25x1 28x2 27x3 max

Переменные x j должны удовлетворять ограничениям, накладываемым на расход ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия:

2x1 3x2 6x3 2005x1 4x2 6x3 220

5x1 5x2 2x3 480

По смыслу задачи переменные должны быть неотрицательными:

Решаем задачу в MS Excel. Составим следующую таблицу:

Формулы использовали следующие:

Выполняем последовательность команд: Данные – Поиск решения. Поля в появившемся окне заполняем следующим образом:

80