Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Раздел Математическое программирование

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

неравенство	3p1 9 p2 2 p3 . Аналогично, записав неравенства для
стратегий B2	и B3 , получаем систему линейных ограничений:
	3 p1 9 p2 2 p3
		8 p3
	5 p1 6 p2
		9 p3
	10 p1 p2

Из условия p1 p2 p3 1, разделив обе части уравнения на 0 (цена игры больше нуля, так как все элементы преобразованной матрицы

больше нуля), получаем целевую функцию F

. Цель

игрока

A – получить максимальный средний выигрыш,

т.е.

max , а

значит

min .

Если обозначить

x i

, то целевая функция примет следую-

1,3

щий вид:

F x1 x2 x3 min

Перейдём в системе ограничений к переменным xi , разделив каждое неравенство на 0:

3x1 9x2 2x3 15x1 6x2 8x3 1

10x1 x2 9x3 1

Таким образом, для нахождения оптимальной стратегии игрока A необходимо решить задачу линейного программирования.

Найти значения переменных x1, x2 , x3 , удовлетворяющих системе ограничений:

3x1 9x2 2x3 15x1 6x2 8x3 1

10x1 x2 9x3 1

и условию x1 0, x2 0, x3 0, при котором функция F x1 x2 x3 принимает минимальное значение.

Решим задачу средствами табличного редактора MS Excel. 1. Оформим расчётную таблицу, как показано ни рис. 7.1:

–ячейки В2, В3, В4 играют роль переменных x1, x2 , x3 ;

–в ячейке В8 вычисляется значение целевой функции;

–в ячейках В12, В13, В14 вычисляются левые части ограничений.

Рис. 7.1.

2.В меню ДАННЫЕ выбираем команду ПОИСК РЕШЕНИЯ.

3.В окне ПОИСК РЕШЕНИЯ введем необходимые параметры (см.

рис. 7.2):

Рис. 7.2.

–укажем целевую ячейку (В8) – та, в которой вычисляется значение целевой функции;

–выберем переключатель МИНИМУМ (целевую функцию необходимо минимизировать);

–в поле ИЗМЕНЯЯ ЯЧЕЙКИ укажем диапазон, который играет роль переменных, т.е. В2:В4;

–введем систему ограничений, нажав кнопку ДОБАВИТЬ. При этом появится диалоговое окно ДОБАВЛЕНИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ.

Первое ограничение:

в поле ССЫЛКА НА ЯЧЕЙКУ вводим диапазон, где вычислены левые части неравенств из системы ограничений задачи (все три неравенства можно ввести сразу, так как они одного смысла – больше или равно) – В12:В14; в открывающемся списке выбираем знак неравенства;

в поле ОГРАНИЧЕНИЕ указываем диапазон, где хранятся правые части неравенств системы ограничений задачи – C12:C14;

нажимаем кнопку ДОБАВИТЬ (при этом окно не исчезнет и можно будет ввести новое ограничение).

Второе ограничение (условие неотрицательности переменных):

в поле ССЫЛКА НА ЯЧЕЙКУ вводим диапазон ячеек, которые играют роль переменных – В2:В4;

выбираем знак неравенства;

в поле ОГРАНИЧЕНИЕ вводим с клавиатуры ноль;

нажимаем кнопку ОК.

4. Осталось в окне ПОИСК РЕШЕНИЯ нажать кнопку НАЙТИ РЕШЕНИЕ и увидеть результат решения задачи (см. рис. 7.3):

Рис. 7.3.

Получили	F (0,0787 ;0,0816 ;0,0146 ) 0,1749 . Так как	1	и p	x ,

		F	i	i

то 5,7167; p1 0,45; p2 0,47; p3 0,08 – это решение для игры, задан-

ной матрицей B (преобразованной матрицы). Для матрицы A : компоненты смешанной стратегии не меняются, а цена игры меньше на число, которое прибавляли ко всем элементам матрицы A, т.е. на 4.

Окончательный результат: p* 0,45;0,47;0,08

1,72 .

Для игрока B получена следующая задача линейного программирова-

ния:

найти значения переменных y1, y2 , y3 , удовлетворяющих системе ограничений

3y1 5y2 10 y3 1

9 y1 6 y2 y3 12 y1 8y2 9 y3 1

и условию y1 0, y2 0, y3 0 , при котором функция Z y1 y2 y3 принимает максимальное значение.

Рис. 7.4

Результаты поиска решения:

Для игрока B : q* 0,43;0,25;0,32

1,72 .

Задача 7.2.

Игра задана платежной матрицей. Определить оптимальные стратегии игроков, стратегию первого определить геометрически, а стратегию второго – при помощи симплекс-метода.

A1	1	4	6	3	7
A2	3	1	2	4	3
A3	2	3	4	3	5
A4	0	1	5	2	6
	B1	B2	B3	B4	B5

Решение.

Выясним, есть ли тут седловая точка.

	B1	B2	B3	B4	B5	min(Ai)
A1	1	4	6	3	7	1
A2	3	1	2	4	3	1
A3	2	3	4	3	5	2
A4	0	1	5	2	6	0
						2
max(Bi)	3	4	6	4	7
						3

Нижняя цена игры max 1, 1, 2, 0 2 .

Верхняя цена игры min 3,4,6,4,7 3.

Т.к. нижняя цена не равна верхней цене, то седловой точки нет, т.е. решение матричной игры нужно искать в смешанных стратегиях.

Исследуем матрицу с точки зрения доминирования.

Стратегия B5 доминирует над стратегией B2, т.к. все элементы пятого столбца больше соответствующих элементов второго столбца. Уберем пятый столбец.

	B1	B2	B3	B4
A1	1	4	6	3
A2	3	1	2	4
A3	2	3	4	3
A4	0	1	5	2

Стратегия B3 доминирует над стратегией B2.

	B1	B2	B4
A1	1	4	3
A2	3	1	4
A3	2	3	3
A4	0	1	2

Стратегия B4 доминирует над стратегией B1.

	B1	B2
A1	1	4
A2	3	1
A3	2	3
A4	0	1

Стратегия A4 строго доминируется стратегией A3.

	B1	B2
A1	1	4
A2	3	1
A3	2	3

Получили матрицу выигрышей, где у игроков A и B нет доминирующих стратегий.

Сначала найдем оптимальную стратегию игрока B .

Заметим, что 0 и решим следующую задачу линейного программирования:

Максимизировать функцию Z y1 y2 max при ограничениях:

y1 4 y2 13y1 y2 12 y1 3y2 1

y1, y2 0

Т.к. переменных всего две, то эту задачу линейного программирования проще всего решить графическим способом. Построим множество допустимых решений, т.е. область, описываемую этими неравенствами и ограниченную прямыми:

y1 4 y2 13y1 y2 12 y1 3y2 1

y1 0; y2 0

По оси абсцисс будем откладывать y1, а по оси ординат y2 . Область допустимых значений закрашена серым цветом на рисунке 7.5.

Рис.7.5

Строим линии уровня Z y1 y2 , которые имеют вид y1 y2 C , где

C – произвольная постоянная. Для увеличения C прямая должна занимать максимально «высокое» положение, но имея с областью допустимых решений хотя бы одну точку, как показано на рисунке 7.6.

Рис.7.6

Такое положение прямой – проходящее через точку . Найдем её координаты как пересечение двух прямых.

y		3y 1																	2				1
	2	1						3y 1											2		y		1	9 y 3 2 y 1
			2			1

y2				y1									1						3	1			3					1					1
y2				y1	3														3				3
		3			3
7 y 2 y												2		; y				3			2	1			6		1			1
7 y 2 y														; y			2	3				1					1
		1								1	7						2			7					7				7
											7									7					7				7
Получили y1								2	; y2							1	, тогда							1							1		7
Получили y1								7	; y2						7		, тогда						y1 y2						2			1	3
								7							7								y1 y2						2			1	3
																													7			7
							2			7			2											1		7		1
и q1 y1															;			q2 y2
и q1 y1							7			3			3		;			q2 y2						7		3		3
							7			3			3											7		3		3

Таким образом, оптимальная смешанная стратегия игрока имеет

вид

	2		1
q*		,		,0,0,0
q*		,		,0,0,0
3			3

Для нахождения оптимальной стратегии игрока решаем следующую задачу линейного программирования:

Минимизировать функцию F x1 x2 x3 min при ограничениях

x1 3x2 2x3 14x1 x2 3x3 1

Для решения этой задачи применим симплекс-метод.

Запишем систему ограничений в каноническом для симплекс-метода виде:

x1 3x2 2x3 1

4x x

Введем дополнительные переменные такие, что неравенства преобра-

зуются в равенства

x1 3x2 2x3 x4 1

Первый

опорный

план:

X1 0,0,0, 1, 1

и целевая

функция

F 0 0 0 0 .

Занесем данные в симплекс – таблицу:

Базис

–1

–3

–2

–1

–4

–1

–3

–1

F(x)

–1

Значение базисных переменных отрицательны, нас такая ситуация не устраивает. Выберем среди значений базисного столбца наибольший по модулю. Оба таких значения равны 1, выберем первую строку (делим элементы целевой строки на элементы выбранной):

	1		1		1	1
min		;		;			.
	1		3		2
						3

Это значение соответствует второму столбцу, т.е. в базисе x4 следует вывести, а x2 – ввести. Разрешающий элемент (–3), стоящий на пересече-

нии первой строки и второго столбца. Пересчитаем элементы таблицы по методу Жордана-Гаусса:

Базис	x1		x2		x3		x4	x5	b
x4	1		1	2			1	0	1
	3			3			3		3
x5	4	1	0	3		1	1	1	1 1
		3				3	3		3
F (x)	1	1	0	1		1	0 1	0	0 1
		3				3	3		3

Базис	x1		x2		x3		x4	x5	b
x2	1		1	2			1	0	1
	3			3			3		3
x5	1	3	0	7		3	1	1	2
		3				3	3		3

F (x)	2 3		0	13			13	0	13
	2 3		0	13			13	0	13

Среди значений базисных переменных присутствуют отрицательные значения, план не является оптимальным. Максимальное значение столбца базисных переменных (по модулю) 2/3 , это соответствует второй строке,

	2		1		1
							2		1

min	3		3		3
	3	;	3	;	3	min		;		;1	1		– что соответствует третьему
		;		;		min		;		;1	1	7	– что соответствует третьему
	11		7		1		11 7					7

	3		3		3
	3		3		3

столбцу, т.е. выводим из базиса x5 и вводим туда x3 . Пересчитываем

	Базис		x1					x2								x3										x4				x5				b
	x2			5				1								0									3					2		1
				7																			7							7		7
	x3	11						0								1							1						3			2
				7																			7							7		7
	F (x)	17						0								0									2 7					17		3 7
	Среди значений базисного столбца нет отрицательных переменных,
т.е. получен оптимальный план:
	x 0, x					1	, x	2	,	F 0					1		2					3		.
	x 0, x		2				, x		,	F 0														.
1			2	7			3	7						7			7				7
				7				7						7			7				7
	Тогда						1				7	; p				x							1			7	1	;	p	x	2		7		2	.
	Тогда											; p		2		x		2										;	p	x						.
					x1 x2 x3					7				2				2					7 3 3						3	3	7 3 3
					x1 x2 x3					7													7 3 3								7 3 3
	Следовательно, оптимальная смешанная стратегия игрока																															A имеет
вид:
																			1		2
													p*			0,				,				,0 .
													p*			0,				,				,0 .
																			3 3

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20254.44 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2.pdf
#
24.11.20252 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.3.pdf
#
28.12.20253.13 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.4-1.pdf
#
24.11.2025796.88 Кб1Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
28.12.2025438.88 Кб0Математика. Типовые задачи практикум.pdf
#
28.12.20252.86 Mб0Математика. Ч. 1-1.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf
#
28.12.20259.16 Mб0Математика. Ч. 1_1.pdf