Математика. Раздел Математическое программирование
.pdfБелорусский национальный технический университет
Приборостроительный факультет
Кафедра «Инженерная математика»
СОГЛАСОВАНО |
СОГЛАСОВАНО |
Заведующий кафедрой |
Декан факультета |
____________ М.А. Князев |
__________А.И. Свистун |
25 июня 2018 г. |
25 июня 2018 г. |
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
«Математика. Раздел «Математическое программирование»
для специальности 1-27 01 01-08 «Экономика и организация производства (приборостроение)»
Составители: Н.А. Кондратьева, Н.К. Прихач Под редакцией М.А. Князева
Рассмотрено и утверждено на заседании совета приборостроительного факультета 25 июня 2018 г., протокол № 10
СОДЕРЖАНИЕ
ТЕМА 1. ЖОРДАНОВЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ.......................................................... |
5 |
1.1. Краткие теоретические сведения .............................................................................................. |
5 |
1.2. Практическая часть ................................................................................................................... |
6 |
1.3. Контрольные вопросы ............................................................................................................. |
11 |
1.4. Задания для самостоятельной работы .................................................................................... |
11 |
ТЕМА 2. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 14 |
|
2.1. Краткие теоретические сведения ............................................................................................ |
14 |
2.2. Практическая часть .................................................................................................................. |
20 |
2.3. Контрольные вопросы ............................................................................................................. |
26 |
2.4. Задания для самостоятельной работы .................................................................................... |
26 |
ТЕМА 3. СИМПЛЕКС-МЕТОД........................................................................... |
33 |
3.1. Краткие теоретические сведения ............................................................................................ |
33 |
3.2. Практическая часть .................................................................................................................. |
33 |
3.3. Контрольные вопросы ............................................................................................................. |
45 |
3.4. Задания для самостоятельной работы .................................................................................... |
45 |
ТЕМА 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В |
|
MICROSOFT EXCEL ............................................................................................ |
47 |
4.1. Постановка задачи.................................................................................................................... |
47 |
4.2. Практическая часть. ................................................................................................................. |
47 |
4.2.1. Решение данной задачи графическим методом в табличном редакторе Microsoft Excel |
|
....................................................................................................................................................... |
47 |
4.2.2. Решение ЗЛП в Microsoft Excel симплекс-методом....................................................... |
49 |
4.2.3. Решение ЗЛП в Microsoft Excel с помощью встроенной функции Поиск решения.... |
54 |
4.3. Контрольные вопросы ............................................................................................................. |
57 |
4.4. Задания для самостоятельной работы .................................................................................... |
57 |
2
ТЕМА 5................................................................................................................... |
64 |
ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ....... |
64 |
5.1. Краткие теоретические сведения ............................................................................................ |
64 |
5.2. Практическая часть .................................................................................................................. |
67 |
5.3. Контрольные вопросы ............................................................................................................. |
74 |
5.4. Задания для самостоятельной работы .................................................................................... |
75 |
ТЕМА 6. ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД........................................ |
76 |
6.1.Краткие теоретические сведения. Анализ экономико-математической модели
двойственной задачи. ...................................................................................................................... |
76 |
6.2. Практическая часть .................................................................................................................. |
77 |
6.3. Контрольные вопросы ............................................................................................................. |
83 |
6.4. Задания для самостоятельной работы. ................................................................................... |
83 |
ТЕМА 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР................................................................. |
87 |
7.1. Краткие теоретические сведения ............................................................................................ |
87 |
7.2. Практическая часть .................................................................................................................. |
90 |
7.3. Контрольные вопросы ........................................................................................................... |
101 |
7.4. Задания для самостоятельной работы .................................................................................. |
101 |
ТЕМА 8. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА (ТЗ) ..................................................... |
102 |
8.1. Краткие теоретические сведения .......................................................................................... |
102 |
8.1.1. Математическая модель закрытой транспортной задачи........................................... |
103 |
8.1.2. Открытая транспортная задача ...................................................................................... |
104 |
(транспортная задача с нарушенным балансом).................................................................... |
104 |
8.2. Практическая часть ................................................................................................................ |
106 |
8.3. Контрольные вопросы ........................................................................................................... |
117 |
8.4. Задания для самостоятельной работы .................................................................................. |
117 |
ТЕМА 9. МОДЕЛИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ЛИНЕЙНОГО |
|
ПРОГРАММИРОВАНИЯ .................................................................................. |
121 |
9.1. Краткие теоретические сведения .......................................................................................... |
121 |
3
9.2. Практическая часть ................................................................................................................ |
122 |
9.3. Контрольные вопросы ........................................................................................................... |
132 |
9.4. Задания для самостоятельной работы заданий.................................................................... |
133 |
10.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ ПО
«МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ПРОГРАММИРОВАНИЮ»......................... |
136 |
11. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ......................... |
138 |
12. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ.............................................. |
139 |
4
ТЕМА 1. ЖОРДАНОВЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ
1.1. Краткие теоретические сведения
Пусть дана система линейных уравнений
a x a x |
2 |
|
a x |
n |
b |
|
|||||||||||
11 1 12 |
|
|
|
1n |
|
|
1 |
|
|||||||||
a |
x a |
|
|
x |
|
|
a |
|
x |
|
|
b |
(1.1) |
||||
|
21 1 |
22 |
|
|
2 |
|
|
2n |
|
n |
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a |
x a |
m2 |
x |
2 |
a |
mn |
x |
n |
b |
||||||||
|
m1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|||||||
В матрице A этой системы выберем отличный от нуля элемент a pq . Этот элемент называется разрешающим элементом, q - й столбец матрицы
A – разрешающим столбцом, а p - я строка – разрешающей строкой.
Рассмотрим новую систему уравнений
a x a |
x |
2 |
a |
x |
n |
b |
|
||||||
|
11 1 |
12 |
|
|
1n |
|
|
1 |
|
||||
a x a |
|
x |
|
a |
|
x |
|
b |
|
||||
|
21 1 |
22 |
|
|
2 |
2n |
|
|
n |
1 |
(1.2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1x1 |
am2 x2 amnxn bm |
|
|||||||||||
с матрицей A ; коэффициенты и свободные члены этой системы определяются по формулам
|
|
aij |
|
a pj aiq |
||||
aij |
|
|
|
|
||||
a pq |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
, если i p; j q . |
||
|
|
|
|
aipbq |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
bi |
bi |
|
|
|
|
|
|
|
|
a pq |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
Если же i p , то принимаем a pj |
a pj , bp bp . Таким образом, p - е |
|||||||
уравнения в системах (1.1) и (1.2) одинаковы, а коэффициенты при x p во всех уравнениях системы (1.2), кроме p - го, равны нулю.
Системы (1.1) и (1.2) одновременно совместны или несовместны. В случае совместности эти системы равносильны (их решения совпадают).
Для определения элемента |
|
матрицы |
A |
|
применяется правило пря- |
aij |
|
||||
моугольника. |
|
|
|
|
|
5
Рассмотрим четыре элемента матрицы A: aij (элемент, подлежащий преобразованию), a pq (разрешающий элемент) и элементы aiq
нахождения элемента |
|
следует из элемента aij |
вычесть произведение |
aij |
|||
элементов aiq и a pj , |
расположенных в противоположных вершинах пря- |
||
моугольника, делённое на разрешающий элемент a pq
Аналогичным образом можно преобразовать систему (1.2), приняв за
разрешающий элемент матрицы A |
|
элемент |
|
, причём s |
p; r q . |
|
asr 0 |
||||
После этого преобразования все коэффициенты при xr , кроме |
|
||||
asr , обра- |
|||||
тятся в нуль. Полученная система может быть снова преобразована и т.д.
1.2. Практическая часть
Задача 1.1. Найти решение системы:
x1 4x2 x4 5
2x1 3x2 x3 x4 3x1 2x3 x4 3
2x2 3x3 2x4 3
Систему решить методом Жордано-Гаусса: 1) аналитически; 2) с по-
мощью MS Excel.
Решение.
Запишем систему в виде жордановой таблицы.
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
b |
1 |
4 |
0 |
–1 |
5 |
2 |
–3 |
1 |
1 |
3 |
1 |
0 |
2 |
–1 |
3 |
0 |
2 |
–3 |
2 |
3 |
Подвергнем её четырём шагам жордановых исключений, получим:
6
1 шаг. Разрешающий столбец – 1; разрешающая строка – 3; разрешающий элемент a31 1. Применим правило прямоугольника.
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
b |
0 |
4 |
–2 |
0 |
2 |
0 |
–3 |
–3 |
3 |
–3 |
1 |
0 |
2 |
–1 |
3 |
0 |
2 |
–3 |
2 |
3 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
b |
0 |
4 |
–2 |
0 |
2 |
0 |
–3 |
–3 |
3 |
–3 |
1 |
0 |
2 |
–1 |
3 |
0 |
2 |
–3 |
2 |
3 |
2 шаг. Делим элементы разрешающей строки на –3 и опять применяем правило прямоугольника:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
b |
0 |
4 |
–2 |
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
–1 |
1 |
1 |
0 |
2 |
–1 |
3 |
0 |
2 |
–3 |
2 |
3 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
b |
0 |
0 |
–6 |
4 |
–2 |
0 |
1 |
1 |
–1 |
1 |
1 |
0 |
2 |
–1 |
3 |
0 |
0 |
–5 |
4 |
1 |
3 шаг. В качестве разрешающего элемента выбираем a44 4 . Де-
лим элементы четвёртой строки на 4 и проводим ещё один шаг жордановых исключений:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
b |
0 |
0 |
–6 |
4 |
–2 |
0 |
1 |
1 |
–1 |
1 |
1 |
0 |
2 |
–1 |
3 |
0 |
0 |
–5 |
4 |
1 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
b |
0 |
0 |
–1 |
0 |
–3 |
0 |
1 |
–1/4 |
0 |
5/4 |
1 |
0 |
3/4 |
0 |
13/4 |
0 |
0 |
–5/4 |
1 |
1/4 |
4 шаг. Умножаем первую (разрешающую) строку на –1. Разрешающий столбец – третий.
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
b |
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
0 |
1 |
–1/4 |
0 |
5/4 |
1 |
0 |
3/4 |
0 |
13/4 |
0 |
0 |
–5/4 |
1 |
1/4 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
b |
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
4 |
Система имеет единственное решение x1 1; x2 2; x3 3; x4 4.
Используем для решения системы MS Excel:
7
8
9
Задача 1. 2. Решить систему уравнений.
x1 x2 2x3 x4 1x1 3x2 x3 x4 04x1 x2 x3 x4 1
4x1 3x2 4x3 x4 2
Систему решить методом Жордано-Гаусса с помощью MS Excel.
Решение.
Пусть x3 c , тогда:
x1 0,4 0,6 c x2 0,35 0,65 c x4 0,25 0,75 c
10