Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5248 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Математика. Дифференциальные уравнения

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
24.11.2025
Размер:
1.14 Mб
Скачать
☆

16. Решить дифференциальные уравнения:

а) б)

в)

x y΄΄΄ 7; y΄΄ 25 y;

y΄΄

7

;

y

3

 

 

 

 

 

г)

д)

е)

y΄΄ –6 x;

y΄΄΄ e

– x

;

 

 

y΄΄΄ e

x

x.

 

17. Решить дифференциальные уравнения:

а)

б)

x y΄΄ y΄ x 5 0;

4 y΄ ( y΄΄)

2

4x

y΄΄.

 

Дифференциальные уравнения используются для анализа теплообмена в корпусах насосов (уравнения теплопроводности).

1.10. Обобщающий тест по разделу «Дифференциальные уравнения»

Теоретическая часть

1. Вставить пропущенное слово в определении. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение,

связывающее между собой независимые переменные, их функцию и ее … или дифференциалы.

а) интеграл; б) производные; в) значения функции. 2. ДУ первого порядка называется уравнение вида

а)

F (x, y, y΄) 0;

б) F(x, y΄, y΄΄) 0;

в) a x b 0.

3. Решить задачу Коши – это найти:

а) начальные условия; б) произвольную постоянную С; в) частное решение дифференциального уравнения.

4. Для того чтобы уравнение

P x, y dx Q x, y dy 0

было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

21

а) P(x, y) Q(x, y);

б) P(x, y) dx Q(x, y) dy;

в)

5. Уравнение вида

y΄΄ p y΄΄ q y 0 называется:

P

 

Q

.

y

x

 

 

а) линейным уравнением; б) уравнением с разделяющими переменными; в) дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

6. Характеристическое уравнение дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

а) а

2

х с 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

2

p

q 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

2

p q c(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Решение вида

y c ekx c

x ekx имеет дифференциальное

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

уравнение, если корни характеристического уравнения:

а)

2

;

б)

 

2

;

в)

2

.

1

 

 

1

 

 

1

 

 

8. Дифференциальное уравнение вида:

а) непосредственного интегрирования;

в) введения новой переменной

y u v.

d

2

y

 

dx

2

 

б)

 

f (x)

решается путем:

разделения переменных;

Практическая часть

1. Вид дифференциального уравнения у ' х 1:

а) линейное 1-го порядка; б) однородное; в) с разделяющимися переменными.

2. Разделение переменных в дифференциальном уравнении

e

x

lny

 

 

 

а)

e

 

 

 

dx

xdx x

x y dy 0

ln y dy ; y

приведет его к виду:

 

e

x

dx

 

ydy

 

 

б)

 

 

;

в)

 

x

ln y

 

 

 

 

 

e

x

dx

 

ydy

 

 

 

.

 

x

ln y

 

 

 

3. Частным решением однородного дифференциального уравнения первого порядка у ' y2 / x2 – у / x, удовлетворяющего условию y –1 1, является функция:

22

а)

y 2 /

 

2

 

 

1 – x

 

 

;

б)

 

 

2

 

 

y 2 x /

1 – 3 x

 

 

;

в)

 

 

2

 

 

y 2 x /

1 x

 

 

.

4. Общий интеграл

дифференциалах

e

x

 

 

дифференциального

y siny dx e

y

x

 

уравнения x cosy dy

вполных

0 :

а)

e

x

x y

x siny e

y

C;

 

б)

 

 

 

 

 

в)

e y x y y sinx ex C.

 

 

 

5. Общее

решение

линейного

 

у ' 3y / х x :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

y C x – x

2

;

б)

y C x

2

– x

3

 

 

 

e

x

x siny e

y

C;

 

 

уравнения первого порядка

;

в)

y C x

3

– x

2

.

 

 

6. Общим решением дифференциального уравнения

16 у 0

является функция:

 

 

 

 

 

 

 

а)

y C1 e

4x

C2 x e

4x

;

б)

y C1 e

4x

C2

e

– 4 x

;

 

 

 

 

у '' – 8y '

в) y e

4x

C1cos4x C2sin4x .

 

7. Частным решением уравнения

ющего начальным условиям

y 0 0

у и

'' 4 y ' 0

y ' 29 у 0, удовлетворя-15, является функция:

а)

y 5e

5x

sin5x;

 

б)

y 3e

2 x

sin5x;

 

в)

y 3e

3x

sin3x.

 

8. Определить решая его:

а)

y А e

2 x

;

 

вид

б)

y

частного

А x e

2x

;

 

решения

в)

y

у '' – 4 y ' 4 у 3e2x , не

А x

2

e

2 x

.

 

 

9. Частным решением уравнения

начальным условиям

y 0 1/ 3,

y

является функция:

 

 

у '''' cos

2

x,

 

' 0 0,

y ''

удовлетворяющего

0 1/ 8,

у '''(0) 0,

а)

y 1/ 48 x

4

1/ 8 x

2

1/ 32 cos2x;

 

 

б)

y 1/ 32 x

4

1/ 48 x

2

1/ 2 cosx;

 

 

в)

y 1/12 x

4

1/ 4 x

2

1/ 32 cos4x.

 

 

10. Решение задачи Коши

у '' 2y3, y 2 y ' 2 1 для уравне-

ния второго порядка, не содержащего явно аргумента x:

а) y 3 – x; б)

y x / 3 – x ;

в) y 1/ 3 – x .

23

ОТВЕТЫ

Теоретическая часть

1) б; 2) а; 3) в; 4) в; 5) в; 6) б; 7) в; 8) а.

Практическая часть

1)в; 2) б; 3) б; 4) а; 5) в; 6) а; 7) б; 8) в; 9) а; 10) в.

1.11.Задачи для подготовки студентов

колимпиаде по математике

1.У какой кривой отрезок любой касательной к графику функ-

ции, заключенный между точкой касания и осью Ох, делится осью ординат пополам?

2.Найти такую форму зеркала, отражающего все лучи, выходящие из заданной точки, параллельно данному направлению.

3.Сосуд емкостью 100 л наполнен раствором, содержащим 10 кг соли. В одну минуту в него втекает 3 л воды и столько же смеси перекачивается в другой сосуд той же емкости. В другом сосуде первоначально находится вода. Из него избыток жидкости вы-

ливается. В какой момент времени количество соли в обоих сосудах будет одинаково?

4.Найти такую кривую, у которой радиус кривизны равен кубу нормали к графику функции; искомая кривая проходит через точку

М(0;1) и имеет в этой точке касательную, составляющую с осью Ох угол 45 градусов.

5.Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. Под действием одного груза пружина удлиняется на а см. Определить движение первого грузка в случае обрыва второго груза. Определить период колебаний первого груза.

24

2. ADDITIONAL MATERIAL FOR FOREIGN STUDENTS

The educational and methodical manual is intended for conducting practical exercises with students of the second year of study of the specialties of the instrument-making faculty, sports-technical faculty and faculty of mechanics and technology of Belarusian national technical university of the discipline «Mathematics». This educational and methodical manual includes basic equations, which need to be learned by the students from the section «Differential equations» during the third academic semester of the second year of study for further successful assimilation of the material for others disciplines and writing of course projects with the involvements of mathematical calculations. The topics covered by this manual, correspond to the current curriculum for engineering specialties of the instrument-making and sports-technical faculties of Belarusian national technical university.

The authors of the methodical manual aimed to increase the level of mastering the educational material, increase of independence of the students in preparation for the exams in this discipline, ensuring the implementation of the basic principles of didactics: accessibility and the systemic nature of the educational process. Careful selection of the material allows for the primary fixing of the material, systematize the knowledge of the students and form skills in solving differential equations and systems.

This paper is an additional material for the preparation of the tests by teachers in discipline «Mathematics» of the current Bologna process.

2.1.Basic concepts and definitions

18.Does the function y satisfy the corresponding differential equation?

a) y sinx –

1 c e

–sinx ,

dy

y cosx

0,5 sin2x;

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

b) y с x

 

2

dy 2

 

 

dy

 

dy

y 0;

с – с

 

,

 

 

 

 

– x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

dx

 

dx

 

 

25

 

y c x c x–1

c ,

d 3 y

 

3

 

d 2 y

0

c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

2

3

 

dx

3

 

x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

The differential equations determine the gravitational fields of the material environment.

19. Does the function y satisfy the corresponding differential equation?

 

 

 

–1

 

 

 

d

2

y

 

2

 

dy

 

 

y c1 x

c2 ,

 

 

 

0;

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

b)

y 25 c ln cosx , y΄ ctgx;

 

 

 

c)

y c e

–2x

 

1

x y΄ 2

y e

x

.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

The differential equations are used in the models of economic dynamics, in which are investigated not only in the dependence of the variables on time, but also on the relationship in time.

2.2. The equations with separable variables

Theoretical information

The general form of the equation:

 

P

x Q

y dx P

x Q

y dy 0.

 

1

1

2

2

 

 

 

The algorithm for solving basic problems:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

To express

dy

.

 

 

To separate

 

 

To integrate.

 

 

 

of variables.

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Example 1. To solve the equation 1 (1 y΄) e y 0.

26

Solution. We write y΄ in another form:

 

y΄

dy

. Then the equation

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

takes the form: 1 (1

dy

) e

y

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

We express the derivative from this equation:

 

 

 

 

 

dy

 

y

 

 

 

 

 

dy

 

 

y

 

 

 

y

 

dy

 

 

 

1 e

y

(1

) e

–1;

 

1

 

e

–e

;

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

dx

 

 

 

 

dx

 

e

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

We separate the variables:

 

 

 

 

 

dy –dx.

 

 

 

 

 

 

1 e

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 1 e

y

– x

 

We integrate:

 

 

 

dy – dx;

 

c.

 

 

 

 

 

1 e

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

The solution is represented as a general integral. 20. To solve the equations:

а)

y dx – x dy

b)

1 y dx –

c)

y – 5 dx

d)

(1 y

2

) dx

 

e)

(1 x

2

) dy –

 

0;

 

 

1 – x dy 0;

x

2

dy

0;

 

–

 

x dy 0;

1 y

2

dx 0;

 

f)

g)

h)

(1 y

2

) dx x y dy 0;

 

 

e

y

(1

x

2

) dy

 

 

 

2 x (1 y

2

) dx;

 

 

(1 – x) dy y dx.

In astronomy the differential equations are used to create a model of a stellar system in dynamics in the analysis of the interaction of particles.

21. To solve the equations:

а)

b)

c)

dx 1 x2 dy;

y΄ – y

2

;

 

x y dx (x 1) dy 0;

d)

x x΄

e)

y΄

t 1;

y2 / x2 .

27

The differential equations are used in determining the dependence of the intensity of radioactive decay on time and on the number of radioactive atoms in the sample.

22. To solve the equations:

а)

b)

c)

x y΄ 2 y;

z΄ 10

x z

;

 

 

 

 

y΄ y

2

2

y 1;

 

 

d)

(cosx) y΄ ( y 1) sinx;

e)

x 1 y

2

y

1 x

2

y΄ 0;

 

 

f)

y΄ 2

y.

 

 

 

In medical application the differential equations are used to determine the speed of blood flow, the velocity of the valves and the walls of the blood vessels, the determination of the viscosity of the blood.

2.3. The equation with homogeneous functions

Theoretical information

The general form of the equation:

P x, y dx Q x, y dy 0,

where P(x, y), Q(x, y) – homogeneous functions of the same order. The algorithm for solving the basic problems:

The substitution y = u ∙ x,

dy = u ∙ dx + x ∙ du.

23. To solve the equations:

To solve it with To find y. respect to u.

а)

y

b)

x

c)

x

– xy

dy –

dx y x dy 0;

dx x dy 0;

y dx x2 y2 dx.

28

The differential equation is used in the analysis of electromagnetic waves (radar, television, modern means of communication.

24. To solve the equations:

а) (8y 10x) dx (5y 7x) dy 0;

b)

x y

2

dy (x

3

y

3

) dx;

 

 

 

c)

(x y) dx – (x – y) dy 0.

The differential equations describe the dependence of the acceleration of the body on the resultant of all forces, applied to the body and body weight.

25. To solve the equations:

а)

b)

c)

(x 2 y) dx – x dy 0;

x y΄ y – x e

y / x

;

 

x – y (x 3y) y΄.

In biology the differential equations are used to determine the function of changing the population size of microorganisms as a function of time.

2.4. The first-order linear differential equations. Bernoulli equation

Theoretical information

The general form of the equation:

y΄ p x y q x .

The algorithm for solving the basic problems:

29

Substitution

 

We collect the coefficient

 

 

y = u ∙ v,

 

 

To select v.

 

of u and equate it to 0.

 

y΄ = u ∙ v΄ + v ∙ u΄.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

We substitute v in the initial To find y. equation, we find u.

The general form of Bernoulli equation:

y΄ p x y q x ym ,

where m 0,

m 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

The algorithm for solving basic problems:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

To divide all terms

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

The substitution

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = y–m + 1,

 

 

 

 

 

 

 

of the equation by ym.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–m

∙ y΄.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z΄ = (–m + 1) ∙ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

We solve as a linear equation

 

 

 

 

 

 

To find y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

with respect to z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Example 2. To solve the equation

y΄

2

y

 

2x

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution. To implement substitution:

y u v,

 

y΄ u v΄ v u΄.

 

We substitute it in the equation:

u v΄ v u΄

2

u v 2x

3

.

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

We collect the coefficients of

u : v u΄ u (v΄

2

 

v) 2x

3

.

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

We equate this coefficient to zero:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v΄

2

v

0; v΄

2

v;

 

dv

 

2

v;

 

dv

 

 

2

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

dx

x

 

v

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

We select

v : ln

 

v

 

2 ln

 

x

 

;

v x

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

To substitute it in the initial equation: v u΄ u 0 2x3; x2 u΄ 2x3; u΄ 2x; u x2 c.

30

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности