Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5248 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Математика. Дифференциальные уравнения

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
24.11.2025
Размер:
1.14 Mб
Скачать
☆

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Инженерная математика»

М. А. Гундина Н. А. Кондратьева

МАТЕМАТИКА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

MATHEMATICS.

DIFFERENTIAL EQUATIONS

Учебно-методическое пособие для студентов специальностей

1-38 01 01 «Механические и электромеханические приборы и аппараты», 1-38 01 02 «Оптико-электронные и лазерные приборы и системы»,

1-38 02 01 «Информационно-измерительная техника»

Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области приборостроения

Минск

БНТУ

2019

1

УДК 517.91(076.2)(075.8) ББК 22.161.6я7

Г94

Рецензенты:

доктор физ.-мат. наук, доцент, зав. центром «Лаборатория теоретической физики» Ю. А. Курочкин; канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры теоретической и прикладной механики БГУ Д. Е. Мармыш

Гундина, М. А.

Г94 Математика. Дифференциальные уравнения = Mathematics. Differential equations : учебно-методическое пособие для студентов специальностей 1-38 01 01 «Механические и электромеханические приборы и аппараты», 1-38 01 02 «Оптико-электронные и лазерные приборы и системы», 1-38 02 01 «Информационно-измерительная техника» / М. А. Гундина, Н. А. Кондратьева. – Минск: БНТУ, 2019. – 43 с.

ISBN 978-985-583-362-9.

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов инженерных специальностей приборостроительного факультета БНТУ, изучающих дисциплину «Математика». В пособии приведены материалы для организации системы непрерывного освоения знаний по дисциплине «Математика» по разделу «Дифференциальные уравнения». Теоретический материал, практические задания и упражнения для проверки качества знаний разработаны с учетом рекомендации кафедры «Инженерная математика» приборостроительного факультета Белорусского национального технического университета и согласуются с требованиями к уровню подготовки, определенному базовым стандартом по математике.

Учебно-методическое пособие предназначено для преподавателей и студентов технических специальностей.

 

УДК 517.91(076.2)(075.8)

 

ББК 22.161.6я7

ISBN 978-985-583-362-9

© Гундина М. А., Кондратьева Н. А., 2019

 

© Белорусский национальный

 

технический университет, 2019

2

ВВЕДЕНИЕ

Учебно-методическое пособие предназначено для проведения практических занятий со студентами инженерных специальностей приборостроительного, а также спортивно-технического и механи- ко-технологического факультетов Белорусского национального технического университета по дисциплине «Математика». Данное учебно-методическое пособие включает основные темы из раздела «Дифференциальные уравнения», которыми необходимо овладеть обучающимся в течение учебного семестра для дальнейшего успешного усвоения материала по смежным дисциплинам, а также написания курсовых проектов с привлечением компьютерных возможностей и математических расчетов. Темы, которые охватывает данное пособие, соответствуют действующей учебной программе для инженерных специальностей приборостроительного факультета Белорусского национального технического университета.

Авторами методического пособия преследовалась цель повышения уровня усвоения учебного материала, повышения самостоятельности студента при подготовке к экзаменам по данной дисциплине, обеспечения реализации основных принципов дидактики: доступности и системности учебного процесса. Тщательный подбор материала позволяет осуществлять первичное закрепление материала, а также систематизировать знания учащихся и формировать навыки решения дифференциальных уравнений и систем. В пособии содержится обобщающий проверочный тест и задания, рекомендованные для подготовки к олимпиадам по математике среди студентов.

Издание является дополнительным материалом для подготовки преподавателей к контрольным работам по дисциплине «Математика» в рамках действующего Болонского процесса.

3

1.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1.1.Основные понятия и определения

1.Удовлетворяют ли функции соответствующим дифференциальным уравнениям:

а)

y sinx – 1 c e

–sinx

,

dy

y cosx 0,5 sin2x;

 

 

dx

 

 

 

 

б)

y с x с – с

2

dy 2

 

 

dy

x

dy

y 0;

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

dx

 

 

dx

 

 

 

 

y c x c x

–1 c ,

d 3 y

 

3

 

d 2 y

0.

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

1

2

 

 

3

 

dx

 

 

 

x

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциальные уравнения определяют гравитационные поля материальной среды.

2. Удовлетворяют ли функции соответствующим дифференциальным уравнениям:

 

 

 

–1

 

 

d

2

y

2

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

y c1 x

c2

,

 

 

 

 

 

 

0;

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

б)

y 25 c ln(cosx),

 

y΄ ctgx;

 

в)

y c e

–2x

 

1

x y΄ 2 y e

x

.

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциальные уравнения широко используются в моделях экономической динамики, в которых исследуются не только в зависимости переменных от времени, но и от взаимосвязи во времени.

4

1.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Теоретические сведения

Общий вид уравнения:

P (x) Q ( y) dx P (x) Q ( y) dy 0.

1

1

2

2

Алгоритм решения базовых задач:

Выразить

dy

.

dx

 

Разделить переменные. Интегрировать.

Пример 1. Решить уравнение 1 (1 y΄) e

y

0.

 

 

Решение. Запишем y΄ в другой форме:

y΄

dy

.

dx

 

 

 

 

 

 

Тогда уравнение примет вид: 1 (1

dy

) e

y

0.

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

Выразим из этого уравнения производную:

(1

dy

) e

y

–1;

 

dx

 

 

 

 

 

 

dy

 

y

 

y

 

dy

 

1 e

y

 

 

 

 

1

e

–e

;

–

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

dx

 

e

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

y

 

 

 

 

Разделяем переменные:

 

 

 

dy

dx.

 

1 e

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируем:

 

 

ey

 

dy – dx;

ln(1 ey ) – x c.

 

1

ey

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение представлено в виде общего интеграла.

 

3. Решить дифференциальные уравнения:

а) y dx – x dy 0;

е) (1 y2 ) dx x y dy 0;

б) (1 y) dx – (1 – x) dy 0;

ж) ey (1 x2 ) dy

в) ( y – 5) dx x2 dy 0;

2 x (1 y2 ) dx;

5

г)

д)

(1 y2 ) dx – x dy 0;

(1 x

2

) dy –

1 y

2

dx 0;

 

 

з)

(1 – x) dy y dx.

В астрономии дифференциальные уравнения используются для создания модели звездной системы в рамках звездной динамики при анализе взаимодействия частиц.

4. Решить дифференциальные уравнения:

а)

б) в)

dx 1 x

2

dy;

 

y΄ – y2 ;

 

 

x y dx (x 1) dy 0;

г)

д)

x x΄ t 1;

y΄ y2 / x2 .

Дифференциальные уравнения используются при определении зависимости интенсивности радиоактивного распада от времени и от количества радиоактивных атомов в образце.

5. Решить дифференциальные уравнения:

а)

б)

в)

x y΄ 2 y;

z΄ 10

x z

;

 

 

 

 

y΄ y

2

2

y 1;

 

 

г)

д)

е)

(cosx) y΄ ( y 1) sinx;

x 1 y

2

y

1 x

2

y΄ 0;

 

 

y΄ 2

 

y.

 

 

 

В медицинских приложениях дифференциальные уравнения используются для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца, определения вязкости крови.

6

1.3. Уравнения с однородными функциями

Теоретические сведения

Общий вид уравнения:

P(x, y) dx Q(x, y) dy 0,

где P(x, y), Q(x, y) – однородные функции одинакового порядка. Алгоритм решения базовых задач:

Осуществить замену

 

Найти

 

Найти

y = u ∙ x,

 

 

 

функцию u.

 

функцию y.

dy = u ∙ dx + x ∙ du.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Решить уравнение

(x

2

y

2

) y΄ 2x y.

 

 

Решение. Обратим внимание, что одночлены, присутствующие в уравнении, имеют одинаковую общую степень. Запишем y΄ в дру-

гой форме: y΄

dy

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда уравнение примет вид:

(x

2

y

2

)

dy

2x y.

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Избавимся от дроби: (x2 y2 ) dy 2x y dx.

Перенесем в одну сторону уравнения:

 

 

 

2x y dx – (x

2

 

y

2

) dy 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим функции при dx, dy функциями P и Q:

P x, y 2x y, Q x, y – x2 y2 .

Проверим, являются ли функции однородными:

P(k x, k y) 2(k x) (k y) 2k 2 x y,

Q(k x, k y) –((k x)2 (k y)2 ) –k 2 (x2 y2 ).

7

Значит, функции P и Q однородные одинакового порядка.

Делаем замену:

y u x, dy u dx x du.

Подставляем замену в уравнение:

2x y dx – (x

2

 

y

2

) dy

0;

 

 

2x u x dx – (x

2

u x

2

) (u dx x du) 0.

 

 

Раскрываем скобки:

 

 

 

 

2x

2

u dx – (x

2

u

2

x

2

) (u dx x du) 0;

 

 

 

 

2x2 u dx – x2u dx – u3 x2 dx – x3 du – x3 u2 du 0;

x

2

(2u dx –u dx – u

3

dx – x du – x u

2

du) 0;

 

 

 

(u – u

3

) dx – x(1 u

2

) du 0.

 

 

 

 

 

 

Разделяем переменные:

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

(1+ u

2

)

 

 

(u – u

)

dx x(1 u

) du;

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u u

3

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1+ u

2

)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(1+ u

2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

dx;

 

 

 

 

du

 

(u u

3

)

 

x

 

(u

3

u

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

(3+ 3u

2

)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

–

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

(u

3

 

u)

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3u

2

1

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

du –lnx

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

(u

 

u)

 

 

 

3

 

 

(u

u)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

1

 

 

(3u2 1)

du

 

 

 

1

ln | u3

– u | c.

 

 

 

3

(u3

u)

 

 

3

 

 

1 dx. x

–

1

dx.

x

 

 

c,

8

Интеграл

 

 

 

 

1

 

 

du найдем с помощью разложения подын-

(u

3

u)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тегральной функции в сумму элементарных дробей:

 

 

 

1

 

 

 

A

 

 

 

B

 

C

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u

u)

 

 

u

 

 

u 1

 

u 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приводим к общему знаменателю:

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

A(u

2

1)

 

 

B(u

2

u)

 

 

C(u

2

u)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(u

3

u)

 

 

 

 

u

 

 

 

u 1

 

 

 

 

u 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приравниваем у равных дробей числители:

1

A(u

2

1) B(u

2

u) C(u

2

u);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Au

2

A Bu

2

Bu Cu

2

Cu.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Собираем коэффициенты при соответствующих степенях:

u

2

: 0 A B C,

u :

0 B C,

 

u

0

: 1

A.

 

 

 

Решаем полученную систему: A –1;

B 0,5; C 0,5.

Подставляем полученные коэффициенты в разложение:

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

0,5

 

0,5

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u

u)

 

 

 

u

 

 

 

u 1

u 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда интеграл может быть найден:

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

du (

1

 

 

0,5

 

 

0,5

 

) du –ln | u | 0,5 ln | u – 1|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u3 u)

 

 

 

 

 

 

u

 

u 1

 

 

 

u 1

 

 

 

 

 

 

0,5 ln | u 1| c.

Исходное уравнение примет вид:

13 ln | u3 – u | 43 (–ln | u | 0,5 ln | u – 1| 0,5 ln | u 1|) –lnx c.

9

6. Решить дифференциальные уравнения:

а)

б)

в)

( y – x) dx ( y x) dy 0;

(x y) dx x dy 0;

 

 

x dy – y dx

x

2

y

2

dx.

 

 

Дифференциальные уравнения используются при анализе электромагнитных волн (радар, телевидение, современные средства связи).

7. Решить дифференциальные уравнения:

а)

б)

в)

(8y 10x) dx (5y 7x) dy 0;

x y

2

dy (x

3

y

3

) dx;

 

 

 

(x y) dx – (x – y) dy 0.

Дифференциальные уравнения описывают зависимость ускорения тела от равнодействующей всех приложенных к телу сил и массы тела.

8. Решить дифференциальные уравнения:

а)

б)

в)

(x 2 y) dx – x dy 0;

x y΄ y – x e

y / x

;

 

x – y (x 3y) y΄.

В биологии дифференциальные уравнения используются для изучения звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и животного, а также для определения функции изменения численности популяции микроорганизмов в зависимости от времени.

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности