Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. В 4 ч. Ч

.3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

4)y t y t 6 y t , если y 0 1, y 0 0 ;

5)y t 2 y t y t , если y 0 2, y 0 2 .

14.2 Пользуясь свойством дифференцирования изображения, найти изображения оригиналов:

1)	f (t) t cos t	;	2)	f (t) t2 sh 3t ;	3)	f (t) 2t 3t4 ;
4)	f (t) t2 cos3t ;		5)	f (t) t sin 5t ;	6)	f (t) te 2t ;
7)	f (t) t3e 4t ;		8)	f (t) t cos5t .

14.3 Пользуясь свойством интегрирования оригинала, изображения оригиналов:

1)	t	e 3t ch 2t e4t sin 2t dt ;	2)	t	t7	5t4 2t2 3 e2t dt
1)		e 3t ch 2t e4t sin 2t dt ;	2)		t7	5t4 2t2 3 e2t dt
	0			0
	t	sin t 3t2 sin 2t dt ;		t
3)		sin t 3t2 sin 2t dt ;	4)	te 2t dt .
	0			0

14.4 Найти оригиналы следующих изображений:

1)	F ( p)	1		;	2)	F ( p)	1		;
		p p2 4					p2 p2 4

найти

;

F( p)

;

4) F( p)

2 p 5

;

p 2

F ( p)

;

6) F( p)

;

p p2 1

p2 1 2

F( p)

8) F( p)

F( p)

3 p

;

p p2 5

p2 4 p

p2 9 p

14.5 Используя теорему интегрирования изображения, найти изображения функций:

f (t)

1 cos 2t

;

f (t)

;

f (t)

e t sin t

;

f (t)

sin t

;

5) f (t)

sin 3t

Домашние задания

14.6 Найти изображение дифференциального выражения при заданных начальных условиях:

				0;		1.
x	(t) 6x (t) x (t) 2x(t);		x(0) x (0)	0;	x (0)	1.

14.7Пользуясь теоремой смещения и теоремой дифференцирования изображения, найти изображение оригинала t sin t .

14.8Пользуясь теоремой об интегрировании оригинала, найти

изображение функции cos d .

14.9 Используя теорему интегрирования изображения, найти изображение функции:

1) sh t ;	2)	sin	2t .
t		t
Ответы:	4 p 3 Y p p 2 ;
14.1 1) F p p2	4 p 3 Y p p 2 ;

2)F p p3 6 p2 p 2 Y p 3 p2 11p 40 3p ;

3)F p p3 3 p2 2 p 4 Y p p2 5 p 11 1p ;

4)F p Y p p2 p 6 1 p ;

5)F p Y p p2 2 p 1 2 p 6 .

14.2 1) F p

;

F p

18 p2 3

;

p2 2 2

p2 9 3

F p 2

;

F p

2 p p2 27

;

p2 9 3

5)	F p	10 p		;
		p2 25 2

7)	F p	6	;
		p 4 4

6) F p	1	;
	p 2 2
8) F p	p2 25		.
	p2 25 2

14.3 1) F p				1				p 3						2
																		;
				p		p	3			2	4		p 4		2		4	;
				p		p	3				4		p 4				4
	F p	1			7!						5!			4				3

2)		p	p			8			p		2	5		p	2	3		p 2	;
		p	p			2			p		2			p	2			p 2

3)	F p	1		1		6		;

				2			3
			p		1	p
		p

14.4 1) f t 14 1 cos 2t ;

3) f t e3t t4 ; 4!

5) f t 1 cost ;

7) f t 12 cos22t ; 9) f t sin 3t .


4)	F p	4!				.
4)	F p	p p 2 5				.
2)	f t 1	t		1 sin 2t				;
	4			2
				4	3t		5
4) f t e 2t			t		3t			;
4) f t e 2t								;
					40
		12			40

6)f t et 1 te t e t ;

8)f t 34 34 e 4t ;

14.5 1) F p ln

p2 6 p 13

;

2) F p ln

;

p 3

p 1

F p arctg

;

4) F p

arctg p ;

F p arctg

14.6 F p p3

6 p2 p 2 X p 1 .

14.7F p 2 p .

p2 1 2

14.8F p p21 1 .

14.91) F p 12 ln pp 11 ;

2) F p arctg p . 2 2

Занятие 15

СВЕРТКА ФУНКЦИЙ. ТЕОРЕМА БОРЕЛЯ. ФОРМУЛЫ ДЮАМЕЛЯ

Аудиторные задания

15.1 Найти свертку функций:
1)	f	(t) t, f	2	(t) et ;					2)	f	(t) e t , f			2	(t) e t ;
	1		2							1				2
3)	f1	(t) cos t, f2 (t) cos 2t ;							4)	f1	(t) ch t,	f2 (t) sin t ;
5)	f	(t) t, f	2	(t) cost ;					6)	f	(t) 1 t,				f	2	(t) e t	;
	1		2							1						2
7)	f	(t) e5t , f			2	(t) et ;			8)	f	(t) 2t, f	2		(t) e 3t .
	1				2					1		2
15.2 Найти свертку и ее изображение:
1)	f	(t) cos 2t, f					2	(t) sin 2t ;	2)	f	(t) e5t , f		2		(t) sin 4t .
	1						2			1			2

15.3

Найти изображение свертки функций с помощью теоремы

Бореля:

1) f

(t) sh 2t, f

(t) ch 5t ;

2) f (t) tn , f

(t) e3t cos5t .

15.4

Пользуясь теоремой Бореля, найти оригиналы изображений:

1) F( p)

;

2) F p

;

p2 2 2

p4 1

3) F ( p)	p		4) F p	p2
		;			.
	p2 1 p2 4			p4 13 p2 36

15.5 ПользуясьформулойДюамеля, найтиоригинализображения:

	F p	p3		2) F( p)	1
1)			;			;
		p4 8 p2 12			p3 p2 1

3)F( p) p3e 2 p .

p2 9 2

15.6Найти оригиналы изображений с помощью вычетов:

1) F( p)		7 2 p	;		2) F p	p2 2	;
	p 2 p 1 2
						p4 4
3) F p		p2 21p 40			4) F p	5 p2 60 p 146
				;				.
		p 1 p2 5 p 6				p2 4 p 5 2

15.7 С помощью разложения дробей на простейшие найти оригиналы изображений:

1)	F p	3 p2 3 p ;
		p4 1
3) F p		3 p2 3 p 2
					;
		p 2 p2 4 p 8
15.8 Найти свертку функций:
1)	f (t) e5t , f		2	(t) t3 ;
	1
3)	f (t) e4t , f		2	(t) t2 .
	1

2) F p	5 p 4 e 2 p
		;
	p 1 2 p2 2 p 5

p 4 p

4) F p p 1 3 p 3 .

2) f1(t) t, f2 (t) cos5t ;

Домашние задания

15.9 Используя теорему Бореля об изображении свертки, найти изображение функции:

t		f2 (t) e7t .
1) et sin(t )d ;	2) f1(t) 4t,	f2 (t) e7t .
0

15.10 Найти оригиналы для заданных функций:																													4 p
1)				1						;			2)				1					;					3)		4 p	;
1)	( p 1)( p 3)									;			2)			p2 p 1						;					3)			;
	( p 1)( p 3)															p2 p 1													p2 9
4)		p 2					;						5)						1				;				6)		2 p 3			.
4)	p3 3 p						;						5)			p4 2 p2					3		;				6)		p3 4 p2 3 p			.
	p3 3 p															p4 2 p2					3								p3 4 p2 3 p
Ответы:													e t e t
15.1 1) et t 1 ;											2)		e t e t						;	3)		1					1
15.1 1) et t 1 ;											2)								;	3)		t cos t					a	sin t ;
																						2					a
4)	1	ch t cost ;									5)		1 cost ;							6) t; 7)				1 e5t 1 et ;
	2																							4			4
8)	2t			2	e	3t		2			.
8)	3			9	e			9			.
	3			9				9			2 p
15.2 1) F p											2 p				;
15.2 1) F p									p2			4			;
2) F p											4							.
2) F p							p 5 p2 16											.
15.3 1) F p											2						2			; 2) F p								n! p 3
																															.
										p2 4				p2			25									pn 1			p 3 2 25		.
15.4				1)			f t				1	t cos t							1 sin			t		;	2)		f t		1 ch t cost ;
											2								2										2
3) f t			1 cost cos 2t										; 4)					f t			1 3sin 3t 2sin 2t .
			3		t 1 / 2 3ch																5
15.5 1)				f	t 1 / 2 3ch											6t ch				2t ; 2)					f t t2				/ 2 cost 1;

3) f t cos3 t 2 1,5 t 2 sin 3 t 2 .

15.6 1)	f t	11		5	t	11		f t ch t sin t ;
		9	e 2t	3		9	et ; 2)

3) f t 8e3t 5e t 2e2t ; 4)					f t 3sin 2t t e 5t .
15.7 1)	f t	1 et	5 e t	3 cost sin t ;
		4	4	2

2)f t 161 et 2 18 t 2 1 e t 2 cos2 t 2 10sin2 t 2 1 t 2

3)f t e2t e 2t 2cos 2t 0,5sin 2t ;

4)f t 18 e t 4 1 2 t 4 2 t 4 2 e 3 t 4 1 t 4 .

15.8 1) e				5t				1	t	3		3			t	2			6		t				6		e		5t			6				;

								5				25						125						625								625
								5				25						125						625								625
2)	1		1			cos5t ;					3)			t2				t			1				e4t	.
2)	25		25			cos5t ;					3)				4			8		32					32	.
	25		25												4			8		32					32
15.9 1) F p															1							; 2)			F p							4				17				.
15.9 1) F p									p2 p2					2 p 2								; 2)			F p						p2				p 7					.
				f t					1 e3t et ; 2)														t			2		e		t						3
15.10 1)																					f					2				2	sin					3		t ;
15.10 1)																					f									2	sin			2				t ;
									4																		3							2
3)	f	t			4 sin 3t cos3t ; 4)														f	t					2		2 cos						3t				1		sin 3t ;
3)	f	t			4 sin 3t cos3t ; 4)														f	t					2		2 cos						3t			3			sin 3t ;
					3																				3		3									3
		t	1									3														f t 1 1 e t													1 e 3t .
5)	f						sh t					3	sin				3t		;					6)
5)	f						sh t						sin				3t		;					6)
					4						3																							2					2
					4						3																							2					2

Занятие 16

ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

И УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Аудиторные задания

16.1 Найти решения дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях:

1)4x 12x 9x 144e3t /2 , x(0) 1, x (0) 12 ;

2)x 4x sin2 t, x(0) 0, x (0) 0 ;

3)x 9x 2 t, x(0) 0, x (0) 1;

4)x 4x 2cost, x(0) 0, x (0) 4 ;

5)x x et , x(0) 1, x (0) 0 ;

6) xIV 2x x cost, x(0) 0, x (0) 0, x 0 0, x 0 0 ;

7)y 2 y 3y e3t , y(0) 0, y (0) 0 ;

8)y y 2 y e t , y(0) 0, y (0) 1;

9)y y t, y(0) 0, y (0) 0, y 0 1.

16.2 Найти решения систем дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях:

1)	x 3x 5y 0,			x(0)		2,	y(0) 5 ;
1)				x(0)		2,	y(0) 5 ;
	y 2x 8y 0,
		y 1,5t	2	,
2)	x x	y 1,5t		,		x(0)	0,	y(0) 0 ;
2)						x(0)	0,	y(0) 0 ;
	y 4x 2 y 1 4t,

3)	x 2x 4 y cost,				x(0) 0,			y(0) 0 ;
3)		2 y sin t,			x(0) 0,			y(0) 0 ;
	y x	2 y sin t,

16.3 Решить интегральные уравнения:

1)	t				1 e t sin t ;
1)	1 t y d				1 e t sin t ;
	0				2
		t	y y		e t d 0, y 0 0, y 0 6 ;
2)	y t 4		y y		e t d 0, y 0 0, y 0 6 ;
		0				3et d 0, y 0 1;
			t
3)	y t 2 y t y e 3 t
			0
	t	y y sin				t d 2cost, y 0 0, y 0 0 ;
4)	y t	y y sin				t d 2cost, y 0 0, y 0 0 ;
	0
	t						t
5)	y sin t d sin2 t ;						6) y ch t d tn ;
	0						0
7)	y t sin 2t 8			t			t
7)	y t sin 2t 8			y sh 3 t d ;			8) y t ydt 1.
			3	0			0
16.4 Найти решения уравнений в частных производных:
4)	x x 2 y,			x(0) 0,		y(0) 5 ;
4)		y 1,		x(0) 0,		y(0) 5 ;
	y 2x	y 1,
5)	x 2 y,		x(0)	2,	y(0)	2 ;
5)			x(0)	2,	y(0)	2 ;
	y 2x,
6)	x 3x 4 y,			x(0) 1,		y(0) 1 .
6)		3y,		x(0) 1,		y(0) 1 .
	y 4x	3y,
1)	t				1 e t sin t ;
1)	1 t y d				1 e t sin t ;
	0				2
		t	y y		e t d 0, y 0 0, y 0 6 ;
2)	y t 4		y y		e t d 0, y 0 0, y 0 6 ;
		0				3et d 0, y 0 1;
			t
3)	y t 2 y t y e 3 t
			0
	t	y y sin				t d 2cost, y 0 0, y 0 0 ;
4)	y t	y y sin				t d 2cost, y 0 0, y 0 0 ;
	0
							49

	t					t
5)	y sin t d sin2 t ;				6)	y ch t d tn ;
	0					0
7)	y t sin 2t	8	t	t d ;	8)	t
7)	y t sin 2t	8	y sh 3	t d ;	8)	y t ydt 1.
		3	0			0

1) x t u

u(x,0) x3 x,

0 x ,

0 t ;

u x,0

2u a2

2u ,

u 0,t E

sin t,

u l,t 0 ;

u t x u,

u(x,0) 1 x,

0 x ,

0 t ;

2u u

u x,0 x ,

x 2 y 0,

x(0) y(0) 1;

x 4 y 0;

4 y 2x 4t 1,

x(0) y(0) 0 ;

x y

;

7x y 5,

x(0) y(0) 0 ;

2x 5y 37t;

4 y z,

x(0) 5,

y(0) 0,

y z,

z(0) 4.

z 4 y;

1 t3

y t 2 d

;

y cos t d 1 cost .

1)x x cost sin t, x(0) 0 ;

2)x 5x 6x 12; x(0) 2, x (0) 0 ;

3)x 4x 3x 1; x(0) 3, x (0) 2 ;

4)x 3x e 3t ; x(0) 0, x (0) 1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.25 Mб0Математика. В 2. Ч. 1.pdf
#
24.11.20254.21 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.42 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 3. Кратные интегралы и их приложения. Криволинейные интегралы, интегралы по поверхности и их приложения. Теория поля.pdf
#
24.11.20253.19 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2. Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной независимой переменной.pdf
#
24.11.20254.44 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2.pdf
#
24.11.20252 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.3.pdf
#
24.11.2025796.88 Кб0Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб1Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf