Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. В 4 ч. Ч

.3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

3)f z 4 x2 2 4 y2 4 i 8xy 5 ;

4)f z x2 14xy y2 8 i 2xy 7x2 7 y2 4 .

7.6 Проверить гармоничность приведенных функций и найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части:

1) u x, y x3 3xy2 ;

3) u x, y x2 y2 5x y

;

x2 y2

2) v x, y 2ex sin y ;

4) v x, y 2xy 8x2 8y2 4x .

Домашние задания

7.7

Описать области, заданные соотношениями:

1) 1

z 3i

3 ;

2 ;

z 4i

5 .

7.8

Найти действительную и мнимую части функции f

z :

1) f z 2i z 3iz2 ;

2) f z iz2 4z ;

3) f z ez z2 .

7.9

Вычислить следующие пределы:

lim

2iz 8

;

2) lim

2iz 3

z2 16

z2 9

z 4i

z 3i

7.10 Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их

выполнения найти f z :
1) f z e4z 2z 4 ; 2) f z z2 4iz 5 ;	3) f z sh 2z .

7.11 Проверить гармоничность приведенных ниже функций и найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части:

1) u x, y 2xy 3 ;	2) v x, y 3 x2	y2		y		.
				2 x2 y2

Ответы:

7.1 1) полоса, ограниченная прямыми x 0, x 1/ 2 ; 2) полоса, ограниченная прямыми y 6 ; 3) внешность круга с центром в точке z i и радиусом 2; 4) внутренность кольца с центром в

точке z 4 и радиусами 1 и 3; 5) внешность круга с центром в точке z i и радиусом 1; 6) внутренность кольца с центром в точке z 2i и радиусами 2 и 5.

7.2 1) Re f z x 2 y, Im f z 2x y ;

2) Re f z x2 y2 8xy, Im f z 4 x2 y2 ;

3) Re f z x2 y2 2xy, Im f z			1 y ;
	2xy		2
4) Re f z	2xy	, Im f z 8y .
4) Re f z	x2 y2	, Im f z 8y .
	x2 y2
7.3 1) 1 i ; 2) i; 3)		cos 2 i sin 2 ; 4)		2	;
7.3 1) 1 i ; 2) i; 3)		cos 2 i sin 2 ; 4)		2	;
				2

5)12 e5 e 5 cos1 2i e5 e 5 sin1;

6)ln 2 i 32 2 k , k Z .

7.41) 3i ; 2) 1; 3) ; 4) 0.

7.51) 12 ez/2 ; 2) sh z ; 3) 8x i8y ; 4) Условия Коши-Римана не

выполняются.

3xy2 i 3x2 y y3

C ;

7.6 1) f z x3

f z 2ex cos y C 2iex sin y ;

f z x2

5x y

i 2xy 5y

x C

;

f z x2 16xy y2 4 y C i 2xy 8x2 8y2 4x .

7.7 1) внутренность кольца с центром в точке z 3i и радиусами 1 и 4; 2) внешность круга с центром в точке z 0 и радиусом 2;

3) внутренность круга с центром в точке z 4i и радиусом 5.

7.8 1) Re f z x 6xy, Im f z 2 y 3x2 3y2 ;

2)Re f z 2xy 4x, Im f z x2 y2 4 y ;

3)Re f z ex x2 y2 cos y 2xyex sin y ,

Im f z ex x2 y2 sin y 2xyex cos y .

7.91) 34 ; 2) 23 .

7.101) 4e4z 2 ; 2) 2ch 2z ; 3) 2z 4i .

7.111) f z 2xy 3 i y2 x2 C ;

2) f z

2xy

2 x

Занятие 8

ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Аудиторные задания

8.1 Вычислить интегралы по заданным контурам:

1)	Im zdz, L x, y \| y 2x2 , 0 x 1 ;
	L		dz, L x, y \| y 2x2 , 0 x 1 ;
2) Re z z2			dz, L x, y \| y 2x2 , 0 x 1 ;
	L	z 2 z dz, L z \|			1, arg z 2 ;
3)				z
3)				z
	L

4) Im z2 Re zdz, L x, y | y 3x2 , 0 x 1 ;

5) Re z Im z dz , где L – отрезок, соединяющий начало коор-

динат и точку 2 i .

8.2			z2	f	d F z2 F z1 , вычислить
8.2	Применяя	формулу		f	d F z2 F z1 , вычислить
интегралы:			z1
1)	e2z dz, L x, y \| y x3 ,1 x 2 ;
	L
2)			it,	1	t	3	;
2)	sin zdz, L z \| z t2		it,	2	t	2	;
	L			2		2

3) z2 cos zdz , где L – отрезок прямой от т. z1 i до т. z2 1.

8.3 Вычислить интегралы, применив теорему Коши, интегральную формулу Коши или формулу, получаемую дифференцированием интегральной формулы Коши (обход контуров – против часовой стрелки):

dz ;

e2z

;

4 z 2i

1 z

dz ;

;

dz ;

4 z i

3 z

sin z sin

z 1

dz ;

sin z

dz ;

z i

1 z i

e2z

dz ;

10)

cos z

dz .

z 2

2 z

4 z i

Домашние задания

8.4 Вычислить интегралы по заданным контурам:

zdz , где L – верхняя полуокружность

с обходом

против часовой стрелки;

dz, L

1, 0 arg z

;

L z

3)	sin z z5 dz , где	L	–	ломаная,	соединяющая	точки
	L
z1 1, z2 0, z3 2i ;
4)	Re 2z dz , где	L	–	отрезок,	соединяющий	точки

z1 1 i, z2 1 i .

8.5 Выполнить действия согласно 8.3.
1)				dz			;						2)					dz			;						3)							dz			;
1)				2			;						2)							2	;						3)									2	;
	z	1	1 z											z i	11 z														z i		11 z
		1	1 z											z i	11 z														z i		11 z
4)		2		cos z				dz ;					5)				z2 1						dz		;			6)				sh2 z			dz ;
		2

				2			2											2																3
	z	4 z												z 1	1 z				1							ez			z	1			z
	z	4 z												z 1	1 z				1										z	1			z
7)						cos 2z						dz ;				8)												dz .
7)	z		z		2	1 z			2	9		dz ;				8)						3					3	dz .
	z	2	z			1 z				9									z i			3		z i
Ответы:
8.1 1)			2	2i ;				2)			8		1 i ;	3)		2		i ;								4) 6	6i ;		5)			1	1 i .
8.1 1)			3	2i ;				2)		15			1 i ;	3)		3		i ;								4) 6	6i ;		5)			1	1 i .
			3							15			3			3										5								2

8.21) 12 e4 6i e2 2i ;

2)cos 9 3 i cos 1 1 i ;

4 2 4 4

3)3sin1 2cos1 i 2ch1 sh1 .

8.31) 8 i ; 2) 0; 3) 0; 4) 2 i ; 5) 0; 6) ; 7) 0; 8) sh1 ;

9) 10 e 4 2i 1 ; 10) 0.

8.41) 8 i ; 2) i 31 ; 3) cos1 ch 2 656 ; 4) 0.

8.51) 0; 2) ; 3) – ; 4) – i; 5) 2 i ; 6) 2 i ; 7) 0; 8) i .

Занятие 9

РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА

Аудиторные задания

9.1 Используя разложение основных элементарных функций, разложить функции в ряд по степеням z и указать область сходимости полученных рядов:

1) e z2 ;						2) cos z2 ;					3) sin 2z cos 2z ;							4) sin2 z ;
5)		z			;	6)		3		;	7) ln z 1 z2 .
5)	4	z		2	;	6)	1	z 2z	2	;	7) ln z 1 z2 .
	4	z					1	z 2z
9.2		Разложить функции в ряд по степеням z z0															и указать об-
ласть сходимости полученных рядов:														1
1) z3 2z2 5z 2, z0 4 ;											2)			1	, z0 2 ;
1) z3 2z2 5z 2, z0 4 ;											2)	1		z	, z0 2 ;
		1										1		z	1
3)		1	, z			3i ;					4)				1	, z	0	3 .
3)			, z			3i ;					4)					, z		3 .
	1 z				0								z2 6z 5
	1 z												z2 6z 5
9.3 Найти область сходимости указанных рядов																				n
1) 1 n n 1 n 2 zn ;											2) n z 1 n ;					3)		z 3		n
1) 1 n n 1 n 2 zn ;											2) n z 1 n ;					3)		z 3		.

	n 0										n 1							n 0	n 1

9.4 Разложить данные функции в ряд Лорана в проколотой

окрестности точки z0 :

, z0 1; 2)

cos z, z0 0 ;

3) sin

, z0 2 ;

z 1 3

z 2

ez2

, z

0 ;

z2 cos

;

6) z3e z , z

0 ;

, z0 1 ; 8)

, z0

2 .

z z 1

z 2 z 3

9.5 Разложить данныефункции вряд Лорана в заданных кольцах:

1)	1	,1	z	2 ;	2)	1	,1	z	2 ;

	z i z 2i					z i z 2i

z 1

3 .

z 1 z 2

Домашние задания

9.6

Выполнить действия согласно 9.2.

27 z , z0

0 ;

, z0 0 ;

3) ln 5z 3 , z0 1 ;

, z0 4 ;

5) z2 e1/ z , z0 0 .

9.7 Выполнить действия согласно 9.3.

z 1

;

2) n! z i n ;

3) 1 i

n zn .

n 1 n2 2n

n 1

9.8 Выполнить действия согласно 9.5.

2 ;

z 1

2 ;

z 1 z 2

z z 3

z i

, 0

2 ;

, 2

z2 1

z2 4 z2 4

Ответы:

9.1 1)

1 n

;

n 0

n z4n

n 1 4z 2n 1

;

2n 1 !

;

n 0

2n !

2 z 1

4)	1	1		n 1	2z 2n 1	,
4)		1			2n !	,
	2 n 1				2n !
			1 n 2n 1 zn ,
6)	1		1 n 2n 1 zn ,
	n 0

7) z 1 n 2n 1 !z

n 1	2n n! 2n

				1 n 1	z	2n 1
z	; 5)				z		,	z	2 ;
z	; 5)				22n		,	z	2 ;
z		1	n 1		22n
			;
			;
		2
		2

2n 1

1 , z 1.

9.2

1) 78 59 z 4 14 z 4 2

z 4 3 ;

1 n 1 z 2 n , z 2 1;

3) z 3i

, z 3i 10

;

n 0

z 3 2n

n 0

1 3i n 1

z 3

2 .

4n 1

9.3

n 0

z 1

z 3

1 ; 2)

1 ; 3)

1 .

9.4

, z 1 ;

z 1 2

z 1 3

1 n

2n 3

, 0

;

2n !

n 0

1 n 1

3)n 0 2n 1 ! z 2 n 1 , 0 z 2 ;

2n 1

2 2n

, 0

; 5)

, 0

;

2n !

n 0

3 n

1 n z 1 n ,

, 0

; 7)

z 1

n 0

если 0

z 1

1 и

1 n 1

, если 1

z 1

;

1 n 1

n 0

1 n z 2

если

0 z 2

5 z 2

25 n 0

1 n

, если

z 2

5 .

2 n

n 0

n 1

9.5 1)

;

n 0

zn 1

n 0

2n 1in

zn 1

;

n 0

z 1 2n 1

z 1 2n

1 2n 1

z 1 2n 2

n 0

2 5 8 3n 4

9.6 1)

27 ;

n!34n 1

n 2

4n zn 1

3 / 4 ;

n 1

n 0

1 n 1

3) 3ln 2

z 1

8 / 5 ;

n 8n

n 1

2 n 1 3 n 1 z 4 n ,

z 4

2 ;

n 0

z n 2

, 0

n 0

9.7 1)

z 1

2 ;

2) ряд расходится во всех точках, кроме z i ;

2 / 2 .

9.8 1)

;

n 0 2n 1

n 0 zn 1

1 n z 1

;

3 n 0

z 1 n 1

12 n 0

3) i

z i 1 i

1 1 z i

n 2

2i n

z i

4 n 0

1 n

z i n 1

1 n z i n

;

2i n 1

2i n

4 n 0

24k

n 0 z4k

Занятие 10

ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Аудиторные задания

10.1 Указать все конечные особые точки заданных ниже функций и определить их характер:

1)		sin 4z					;						2)				sin z2							;			3)			1
1)				z			;						2)		z	3					z	2		;			3)	z 2 z i
															z				2		z
																e2z			2
4)							z 8					;	5)			e2z				;							6)	1		;
4)		z z 1 2 z i 3										;	5)		z	2		1		;							6)	sin z		;
		z z 1 2 z i 3													z	2		1										sin z
	1							1									1
7)	1							1			;		8) e z 3i ;
				sin
		z2		sin
		z2					z 1
9)	cos						1			;			10) 1 cos z .
9)	cos							2i		;			10) 1 cos z .
					z			2i										z2
10.2 Определить тип особой точки z 0 для функций:
			cos z3					1									e3z 1													2
1)											;		2)												;			3)		z cos		;
1)									z3		;		2)										z2		;			3)		z cos		;
		sin z z							z3					cos z 1									z2							z3
		sin z z							6					cos z 1									2
				1					6														2
				1														2
4)		ze z			2	;							5) sin					2
4)		ze z				;							5) sin						.
																z
10.3 Определить порядок нуля следующих функций:
1) 1 cos z ; 2)											cos z 1 z2 / 2										z2 ez					2	1 ;			z3
													e3z 1				;	3)										4)			.
													e3z 1				;	3)										4)	1 z ez		.

10.4 Для заданных ниже функций выяснить характер бесконечно удаленной особой точки (устранимую особую точку считать правильной):

;

3z5

4z 2

;

2z2

z 8

3z4

4) 1 3z 3z2 ;

5) cos z .

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.25 Mб0Математика. В 2. Ч. 1.pdf
#
24.11.20254.21 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.42 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 3. Кратные интегралы и их приложения. Криволинейные интегралы, интегралы по поверхности и их приложения. Теория поля.pdf
#
24.11.20253.19 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2. Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной независимой переменной.pdf
#
24.11.20254.44 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2.pdf
#
24.11.20252 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.3.pdf
#
24.11.2025796.88 Кб0Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб1Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf