Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. В 4 ч. Ч

.3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 1»

МАТЕМАТИКА

ПРАКТИКУМ

В 4 частях

Часть 3

Минск

БНТУ

2015

УДК 51(076.5) ББК 22.1я7

М34

Авторы:

О. Р. Габасова, А. В. Грекова, О. Л. Зубко, И. М. Мартыненко, Н. А. Микулик, Г. И. Лебедева, Г. А. Романюк, Е. А. Федосик

Рецензенты:

зав. каф. высшей математики БГУИР, В. В. Цегельник; доцент БГУ, канд. физ.-мат. наук, доцент А. Н. Исаченко

Математика: практикум : в 4 ч. / О. Р. Габасова и [и др.]. –

М34 Минск : БНТУ, 2013 – .– Ч.3. – 2015. – 107 с. ISBN 978-985-550-481-9 (Ч. 3).

Практикум написан в соответствии с действующей программой курса «Математика» для студентов инженерно-технических специальностей БНТУ.

Практикум состоит из 17 занятий по разделам «Ряды», «Теория функций комплексного переменного», «Операционное исчисление», «Уравнения в частных производных». Каждое занятие содержит задания для аудиторной и самостоятельной работы студентов. Задания снабжены ответами, что позволит студентам проконтролировать правильность решений задач. Пособие содержит также типовые расчеты по указанным разделам, которые могут быть использованы и для индивидуальных заданий студентов, и для проведения текущего контроля знаний студентов.

Практикум предназначен для студентов дневной и заочной форм обучения и для преподавателей.

УДК 51(076.5) ББК 22.1я7

ISBN 978-985-550-481-9 (Ч. 3)	© Белорусский национальный
ISBN 978-985-550-341-6	технический университет, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Занятие 1. Числовые ряды. Основные определения.

Признаки сходимости рядов с положительными членами…… 5

Занятие 2. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость…… 7

Занятие 3. Функциональные ряды…………………………….. 8

Занятие 4. Степенные ряды……………………………………. 10

Занятие 5. Ряды Фурье…………………………………………. 12

Занятие 6. Разложение функции в ряд Тейлора, Маклорена. Применение рядов в приближенных вычислениях………….. 15

Занятие 7. Функция комплексной переменной.

Предел. Производная. Условия Коши–Римана……………….. 20

Занятие8. Интегралотфункции комплекснойпеременной…… 23

Занятие 9. Ряды Тейлора и Лорана……………………………. 26

Занятие 10. Изолированные особые точки……………………. 30

Занятие 11. Вычеты. Основная теорема о вычетах…………… 32

Занятие12. Преобразование Лапласа. Оригиналиизображение элементарных функций. Основные теоремы………………….. 35

Занятие13. Основныетеоремыоперационного исчисления…… 37

Занятие 14. Дифференцирование и интегрирование оригиналов и изображений…………………………………….. 40

Занятие 15. Свертка функций. Теорема Бореля.

Формулы Дюамеля……………………………………………… 44

Занятие 16. Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений, систем дифференциальных уравнений, интегральных

уравнений и уравнений с частными производными………….. 48

Занятие 17. Дифференциальные уравнения в частных производных………………………………………… 55

Типовой расчет. Ряды………………………………………….. 59

Типовой расчет. Элементы операционного исчисления…….. 72

Типовой расчет. ТФКП………………………………………… 90

ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ ПОСОБИЙ………. 107

Занятие 1

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Аудиторные задания

1.1. Установить, сходятся ли указанные ряды, исходя из определения суммы ряда:

1) 1	2	4			8	; 2) 2 6 10 14 18 ;
	3				27
		9
		1
3)				.
	n(n		3)
n 1

1.2. Установить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда:

2n 1

n 1

;

2n 2

n 2

n 1

n2 1

;

соs

;

(n 1)3

n 1

1.3. Установить, сходятсялиряды, используяпризнаки сравнения:

5n 1

;

n 5n

n 1

;

1 22k

n n2

n 1

1.4. Установить, сходятся ли ряды, используя признаки Даламбера и Коши (радикальный или интегральный):

1 n 1

;

(n 1)!

n 1

; 5)

;

(n 1)ln(n 1)

(ln n)n

n ln n

n 1

n 2

	1
	en				1
7)		;	8)			.
7)	n2	;	8)	n2	2n 2	.
n 1	n2		n 1	n2	2n 2

Домашние задания

1.5. Установить, сходятся ли указанные ряды, исходя из определения суммы ряда:

;

3n 1

n(n 2)

n 1

1.6. Установить, сходятся ли указанные ряды:

1) 10n 1

n 2

;

3n n

10n 5

n 1

n2 n 1

n 1

7n 1

;

arcsin

;

6) tg

;

n n

n 1

5n 6 n

ln2 n

;

(n 4)!

3n 4

n 1

n 2

1 2

10)

;

11)

;

12)

n 4n

n 1

Ответы:

1.11) Сходится; 2) Расходится; 3) Сходится.

1.21) Нет, ряд расходится; 2) Нет, ряд расходится; 3) Нет, ряд расходится; 4) Да, выполняется; 5) Нет, ряд расходится; 6) Нет, ряд расходится.

1.3 1) Расходится; 2) Сходится; 3) Сходится; 4) Сходится;

5)Расходится; 6) Сходится.

1.41) Сходится; 2) Расходится; 3) Расходится; 4) Расходится;

5)Сходится; 6) Расходится; 7) Сходится; 8) Сходится.

1.51) Сходится; 2) Сходится.

1.61) Расходится; 2) Расходится; 3) Сходится; 4) Расходится;

5)Расходится; 6) Сходится; 7) Сходится; 8) Сходится; 9) Расходится;

10)Сходится; 11) Сходится; 12) Сходится.

Занятие 2

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ И ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ. ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ

Аудиторные задания

2.1 Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ряды:

( 1)n

2n2 1

( 1)n (3n 1)

;

( 1)

5 n2

;

n(n 2)

;

1)!

n 1 (3n

n 1

( 1)

; 5)

( 1)

;

6) ( 1)

;

ln 1

n ln2 n

3n 1

n 2

n 1

( 1)n

cos na

;

n 1 n 3n

n 1

10)

( 1)n

ln n

n 2

Домашние задания

2.2 Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:

( 1)n n2

;

( 1)

10n 1

;

( 1)n (6n 5)

;

10n

n 1

n ln n

( 1)

;

( 1)

sin

;

( 1)

;

ln(n 1)

n 1

( 1)

5n 3

n 1

Ответы:

2.1 1) Сходится абсолютно; 2) Расходится; 3) Сходится условно; 4) Сходится абсолютно; 5) Сходится условно; 6) Расходится; 7) Сходится абсолютно; 8) Сходится условно; 9) Сходится абсолютно; 10) Сходится условно.

2.2 1) Сходится абсолютно; 2) Расходится; 3) Сходится абсолютно; 4) Сходится условно; 5) Сходится абсолютно; 6) Сходится условно; 7) Сходится абсолютно.

Занятие 3

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Аудиторные задания

3.1 Найти область сходимости ряда:

1 2x 3 n

;

n 1

n! 4x 5

n 1 2n 1 x2n 1

n 1

1 n 1 x n

( 1)n 1

x2n 1

; 5)

; 6)

;

n 1

2n 1 1

n 1

n 3n (x 5)n

n 1

2n 1

(x 1)2n

1 x

7) 3n2 xn

;

n 1

x 1

10)

;

11) n e n x ;

12)

;

1 x2n

n 1

2n sin

13)

n 1

3.2 Можно ли почленно интегрировать ряд в области его сходимости:

			1				cos nx
1)					;	2)	n .
1)	x	2	n	2	;	2)	n .
n 1	x		n			n 1	3

3.3 Можно ли почленно дифференцировать ряд в области его сходимости:

			1				cos nx
1)					;	2)	n .
1)	x	2	n	2	;	2)	n .
n 1	x		n			n 1	3

Домашние задания

3.4 Найти область сходимости ряда:

		1																					n xn
1)			;							2)		n enx ;								3)							;
1)		nx	;							2)		n enx ;								3)			n3 x2n				;
	n 1	nx										n 1									n 1		n3 x2n
			x	3n 3									8n x3n arctg					x
4)			x					;		5)								x	;	6)	e n2x ;
4)		(2n 1)8n 1						;		5)									;	6)	e n2x ;
	n 1	(2n 1)8n 1										n 1						n			n 1
		( 1)n												n	1 x n								2n sinn x
7)					;					8)							;			9)							.
7)		n xn			;					8)			100				;			9)				n2			.
	n 1	n xn										n 1	100		1 x						n 1			n2
																							1
3.5	Можно ли почленно интегрировать ряд																								.
3.5	Можно ли почленно интегрировать ряд																					x2 n		n	.
																				n 1		x2 n		n
3.6																							sin nx			.
3.6	Можно ли почленно дифференцировать ряд																							n7		.
																						n 1		n7
Ответы:
3.1 1)						5					5						; 1 1;				; 3)				; 0 ;
3.1 1)		;									4	; ; 2)					; 1 1;				; 3)				; 0 ;
						4					4
4) 0; ; 5)												2			1	;				; 1 1; ;
4) 0; ; 5)							; 4					3	5		3	;	; 6)			; 1 1; ;
												3			3
7)				1				1	;				8)				2; 4 ;				9)				1	;		;
7)	;			3				3	;			;	8)				2; 4 ;				9)				2	;		;
				3				3																	2

10); 1 1; ; 11) 0; ; 12) ; 1 1;1 1; ;

13); .

3.21) Да; 2) Да.

3.31) Да; 2) Да.

3.4 1) (1; + ); 2) (– ; 0); 3)

(– ; + ); 4)

[–2; 2); 5)

;

6) (0; + ); 7)

; 1 1; ;

8) ; 0 ; 9)

x k

k z .

3.5 Да.

3.6 Да.

Занятие 4 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Аудиторные задания

4.1

Найти сумму ряда

n 1 n

4.2 Найти область сходимости степенного ряда:

(x 1)n ; 2)

4)n ;

(x 1)n ;

n 1

(2n 1)!

n 1

(n x)

;

n 1

n 1 n!

n 1 n

x2n

xn ;

n x 1

; 8)

;

n 1

(4n

3)8n

n 1

2n 3n

n 1 n 1

xn .

10)

4.3

n 1 n(n 1)

Найти сумму ряда:

xn 1

xn 1 , если

a ;

, если a x a .

n 1 an

n 1

(n 1)an

Домашние задания

4.4 Найти область сходимости степенного ряда:

;

n 1

n5n

(x 3)n ; 5)

n 1

x 1 n

; 8)

n 1

n n

10)n3 x .

n 1

( 2)

(x 2)

; 3)

;

n 2n

n 1

3n2

(x 2)n ;

(x 2)n

;

n n 1

n 1

100n (x 2)n

(x 2)n ;

; 9)

n 1

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.25 Mб0Математика. В 2. Ч. 1.pdf
#
24.11.20254.21 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.42 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 3. Кратные интегралы и их приложения. Криволинейные интегралы, интегралы по поверхности и их приложения. Теория поля.pdf
#
24.11.20253.19 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2. Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной независимой переменной.pdf
#
24.11.20254.44 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2.pdf
#
24.11.20252 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.3.pdf
#
24.11.2025796.88 Кб0Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб1Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf
#
24.11.20256.64 Mб0Математика. Ч. 1.pdf