Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. В 4 ч. Ч

.2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

22.9. ha2			2	h	2
22.9. ha2	a			h		.
		4		3
		4		3

22.10.3 .

22.11.4 6.

22.12.k3 3 3 1 .

22.13.4 .

22.14.2 R4.

22.15.R4 2 .

22.16. m	4		;	x	0;			y 7		; I		x		4	; I	y		4	;	I	o	104 .
22.16. m			;	x	0;			y 7		; I					; I				;	I		104 .
	21			c				c	9				33				45					495
	21								9				33				45					495
22.17. m 2 ;				x	y			0;	z	c	3.
	3			c		c				c		8
	3											8
22.18. m	3	;		zc		7	;		0;	0;		7
22.18. m	2	;		zc		9	;	C	0;	0;		9	.
	2					9						9

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Занятие 23. Элементы теории поля

Аудиторные задания

23.1. Найти линии уровня скалярного поля:
1) u 2x 3y;	2) u 2x2 4x y2 2y z2 ;
3) u x 2 y 5z;	4) u	x2	y2	z2	.
		4	5	6

23.2. Определить вектор-градиент скалярного поля u:
1) u 2x 3y;	2) u 3x 5y 6z;		3) u 4x2 6xy 5z3.

23.3. Найти вектор-градиент скалярного поля u в точке M и наибольшую скорость возрастания поля в этой точке, если:

1)			;	2) u x2 yz xy2 z xyz2 , M 1; 2; 1 .
	u ln x tgy , M 1;	4

23.4. Найти производную скалярного поля u в точке M по направлению вектора e, если:

1) u xy y2 4z, M 1; 2; 3 , e 2i 3 j 5k ;

		3
2) u	4xy y2 , M 1;		, e i		2 3 j;
2) u	4xy y2 , M 1;		, e i		2 3 j;
		2
		2
3) u x2 y xz2 2z, M 1; 1; 1 , e
3) u x2 y xz2 2z, M 1; 1; 1 , e					MM1, M1 2; 1; 2 .
23.5. Для векторного поля F найти векторные линии:
1) F	5x y i 2yj;			2) F 3x y2 i yj;
3) F yi xj 2k;				4) F x y2 z2 i yj zk ;

5) F x y z i x y z j 2z y k.

23.6. Вычислить дивергенцию поля F в точке M, если:

1) F 2xy zx i xyz y j x y 2z k , M 1; 1; 2 ;

2) F x y z i x2 y2 z2 j y3 x3 z3 k , M 1; 2; 3 ;

3) F x2 yz 5y2 z 6xz2 i 2 y2 xz 4 yz2 3xz jz2 xy 7zy3 z3 k , M 0; 1;1 .

23.7. Найти ротор векторного поля F :

1) F 2xy z i yx z j x2 2xz k ;

2) F xi yj zk ; 3) F xyzi 2x 3y z j x2 z2 k .

Домашние задания

23.8. Для заданного скалярного поля записать уравнение линии уровня, проходящей через точку M. Определить в точке M произ-

u x2 y2 4x 2 y 2,	M 1, 2 ,	l 3i 4 j.
23.9. Для заданного скалярного поля u определить в точке			M1
			про-
производную поля по направлению вектора M1M2 , градиент,
водную поля u по направлению l , градиент поля и наибольшую
скорость возрастания поля в этой точке.

изводную по направлению вектора l , который образует с градиентом в точке M1 угол .

1) u xy2 z yz2 3z, M 0, 1, 2 , M					2	2, 3, 1 ,	l i j 2k ,
			1		2
30 ;
2) u	y	x	z	, M1 1, 2, 3 , M2 2, 1, 1 ,			l 2i 4 j 3k ,
2) u				, M1 1, 2, 3 , M2 2, 1, 1 ,			l 2i 4 j 3k ,
	xz	yz	xy
225 .
23.10. Вычислить производную поля u ln xz2							2 yz в точке

M 1, 3, 2 по положительному направлению окружности

x 1 cost,y 2 sin t,

z 2.

23.11. Найти угол между градиентами функций u x yz 2 xz

x2 y2

z2 в точке M 2, 3, 2 .

23.12. Найти векторные линии поля:

2) F xi yj.

1) F

2x y i 2 y 2z

j x z k;

23.13. Найти дивергенцию векторного поля F :

1) F

2x2 y 3xz3

5x3 yz i 4 y3x xyz 8z2 j

6z3 xy2 7z2 x 9zy k ;

2) F 3y2 2xy x2 i xy 5y2 j;

3) F x2 i yx j xyz k;

4) F x2 y y2 x xy i y3 4xy 3y2 j.

23.14. Найти ротор векторного поля F :

1) F

x2i y2 j z2 k;

2) F y2 zi

xz2 j x2 yk.

Ответы:

23.1. 1) c 2x 3y;

x 1 2

y 1 2

3) c x 2 y 5z;

4) C

23.2. 1) grad u 2i 3 j;

2) grad u 3; 5; 6 ;

3) grad u 8x 6 y; 6x; 15z2 .

23.3. 1) grad u i 2 j; max

2) grad u 6i j 4k; max

41.

23.4. 1)

;

3 ;

		y					2
		y				3	3				x ccost,


23.5. 1)		x						; 2) x	y2 ;	3)	y	csin t,
		y			5						z	2t c ;
					3						z	2t c ;
					3		x					1

				x
				x					x c c c t et c e2t ,
									x c c c t et c e2t ,
			2			2	c1z, 5)			1	2	1	3
			2			2				c c c t et
4)	x y			z					y	c c c t et			,
										1	2 1
	y c z;								z	c c t et c e2t .
			2						z	c c t et c e2t .
										2	1	3
										2	1	3

	23.6. 1) divF							M 9;						2)	divF M 32;			3) divF M 12.
	23.7. 1) rot F							2x 3z 1 j y 2x k ;										2) rot F 0;
	3) rot F i xy 2x j 2 xz k.
	23.8. x 2						2	y		1		2				du	18
	23.8. x 2							y		1			10;			dl	5 ; gradu	2i 6 j;
		du
max		dl	2		10.						du										du
	23.9. 1)				du						du				1						du		3 7	;
	23.9. 1)				de 0;				dM1M2						17		; grad u 2i	4 j	k;		dl1		2	;
																							2
		du		3			4		;		du						101			1			2
	2) dl			3				29	;		dM1M 2				18 26 ; grad u 2i					2		j	9 k ;
du
				2786		.
				2786
dl
dl				36
1
	23.10.				1 .
					4
										9
	23.11. arccos													.
	23.11. arccos									102				.
										102

x c1 c2t 4c3e3t ,

23.12. 1) y c2 2c1 2c2t 4c3e3t , 2) y c1x; z c2.

z c1 c2 c2t c3e3t ;

23.13. 1) 4xy 3z3 15x2 yz 12xy2 13xz 18xy2 z2 9 y;

2) 3x 12 y;

3) x xy;

4) 4y2 4x 5y 2xy.

23.14. 1) 0; 2) x2 2xz i y2 2xy j z2 2 yz k.

Занятие 24. Поток векторного поля. Циркуляция. Потенциальное поле

Аудиторные задания

24.1. Вычислить поток векторного поля F x i y j z k через

верхнюю сторону части поверхности z 4 x2 y 2, отсеченной плоскостью z 0.

24.2. Вычислить	поток векторного поля F (4x 3)i
(2 y 6x) j y2 z3 k	через внутреннюю сторону боковой поверх-

ности части цилиндра x2 y 2 9, ограниченной плоскостью z 0, параболоидом z x2 y 2 и расположенной в первом октанте.

24.3. Вычислить поток поля F x3i y3 j 2zk через внешнюю сторону части сферы x2 y2 z2 1, вырезанной конической поверхностью z x2 y2 .

24.4. Вычислить поток векторного поля F 3xi 3yj 5z2k через внешнюю сторону замкнутой поверхности S, состоящей из части параболоида 2z x2 y 2 и сферы x2 y2 z2 8, накрывающей параболоид.

24.5. Вычислить поток векторного поля F 2xy i y 2 j z3 k через внешнюю сторону замкнутой поверхности, ограниченной поверхностями: x2 y 2 3 z и x2 y2 z2 2Rz.

24.6. Вычислить поток через положительно ориентированную замкнутую поверхность S:

1) F xy2i y z x j x2 zy2 k ,

k ,

F 3xy

i 1 yz

j 2 zx

y 0;

F x2

y2 i yx2

z2 j zy2

x2 k,

S: x

16,

x2 y2 .

24.7. Вычислить циркуляцию векторного поля F вдоль линии L:

3 y

F (2x y

1)i

(3x 2 y

10) j,

x 1.

yz x3

yx3 2z3 k,

y ,

F y3 8yz z i

2x j

L: z

1, z 0.

F x2

y2 i x2 z2 j y2

x2 k ,

L – контур треуголь-

ника АВС, где A(1; 0; 0) ,

B(0; 1; 0) , C(0; 0; 1).

F x y i y z j z x k ,

–

часть

линии

x 2cost,

L: y 2sin t, от точки B(2; 0; 4) и отрезка ВА.

z 2t .

24.8. Вычислить по формуле Стокса циркуляцию векторного по-

ля F по замкнутому контуру L:

1) F z3 2 y3 3y i y3 2x3 xz2 j z2 5xy2 k ,

L: x2 y2 z2 1,z x2 y2 .

		2		3			3		2		2			2		2			2	y	2	4,
2)	F 3z	2	y	3	i	x	3	2y	2	z	2	j	2xyz x	2	y	2	k,	x		y		4,
2)	F 3z		y		i	x		2y		z		j	2xyz x		y		k,	L:			4.
																		2x z			4.

24.9. Выяснить, является ли векторное поле F потенциальным. Найти его потенциал и вычислить линейный интеграл w поля F от

точки M до точки N:

1) F x ln x(1 y2 )i yx2 (1 y2 ) 1, M 2; 3 , N 4; 7 ;

2) F 3x2 y3 z 1 2x3 i 2x3 yz 1 3y3 j z3 x3 y2 z 2 k ,

M 1; 2; 2 , N 1; 3; 1 ;

3) F x z i y z j 5z.

24.10. Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным:

1) F x2 yi 2xy2 j 2xyzk ; 2) F 5xyzi 3xzj 4xk.

Домашние задания

24.11. Вычислить поток векторного поля F (4x 3y)i(2y 6x) j y2 zk через внутреннюю сторону боковой поверхности части цилиндра x2 y2 4, ограниченной плоскостью z 0, параболоидом z x2 y2 и расположенной в первом октанте.

24.12.Вычислить поток поля F yi zj xk через нижнюю сторону плоскости треугольника АВС, где A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 2).

24.13.Вычислить поток поля F yi xj z2 cos yk через внеш-

нюю сторону части цилиндра x2 y2 4, лежащей в третьем октанте

иограниченной плоскостями z 0 и x y z 4.

24.14.Вычислить поток векторного поля F через положительно ориентированную замкнутую поверхность S:

F 3xy

i 1 yz

j 2 zx

k ,

где

y 0.

y 1,

F x2 y2 i yx2

z2 j zy2 x2 k,

где S: x

16,

z x2

y2 .

24.15. Вычислить циркуляцию векторного поля F y2i z2 j

x2 2 y k вдоль линии z

4 x2 y2 ,

x2 y2 2x.

24.16. Вычислить по формуле Стокса циркуляцию векторного поля F y3 yx2 i y2 x2 x j по контуру L: (x 1)2 4 y2 4.

x z

24.17. Для заданного векторного поля

2xz

k , A 1, 3, 2 ,

B 1, 2, 3 :

проверить потенциальность поля;

найти потенциал поля.

Ответы:

24.1.8 .

24.2.81 3 18 .

24.3.	4		2
	1				.
	1				.
			4
	3		4
24.4.		2		20			2 .
24.4.	32	2		3			2 .
				3
24.5.	153 R5		.
24.5.	32		.
	32
24.6. 1) 64 ;			2)			;		3)	8 5	2 .
				2					1024
24.7. 1) 4,5;			2)		17		;	3) 2;		4) 8 2 .
24.7. 1) 4,5;			2)				;	3) 2;		4) 8 2 .
				2
24.8. 1) –2,5 ;					2) 120 .

24.9. 1) поле потенциальное, w 8ln 50 2ln10 , u(x, y, z) 12 x2

ln 1 y2 C ;								2)			поле потенциальное, w 52;					u(x, y, z)	1 x4
	3			1													2
	3	y	4	1	z	4	x		3	y	2	z	1	C;	3) поле не потенциальное.
	4	y		4	z		x			y		z		C;	3) поле не потенциальное.
	4			4

24.10.1) Да; 2) нет.

24.11.72 3 .

24.12.–4.

24.13.803 .

24.14. 1)		;	2)	8 5 2 .
	2			1024

24.15. 6 16 . 3

24.16. 2 .

24.17. Поле потенциальное, u x2 z x z C. y

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025980.98 Кб0Математика. В 2 ч. Ч.1.pdf
#
24.11.20252.25 Mб0Математика. В 2. Ч. 1.pdf
#
24.11.20254.21 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.42 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 3. Кратные интегралы и их приложения. Криволинейные интегралы, интегралы по поверхности и их приложения. Теория поля.pdf
#
24.11.20253.19 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2. Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной независимой переменной.pdf
#
24.11.20254.44 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2.pdf
#
24.11.20252 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.3.pdf
#
24.11.2025796.88 Кб0Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб1Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf