Математика. В 4 ч. Ч

Вариант 24

1)

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y ln x;

x y 1; x 3.

2)

Вычислить объем

тела,

ограниченного поверхностями

y2 4a2 3ax; y2 ax; z h.

3)

Найти массу дуги полуокружности

x a cost; y a sin t, если

плотность ее в каждой точке равна x2 y.

4)

Найти работу, производимую силой F 4x2i xyj при переме-

щениимассыm вдольдуги y x3

отточки O 0, 0

до точки C 1,1 .

5)

Вычислить x2dydz y2dxdz zdхdy, где S

– внешняя сторона

S

части сферы, расположенной в первом октанте.

6)

Доказать, чтополе F

xi yj zk

является потенциальным.

3

x2 y2 z2 2

Вариант 25

1)

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x;

x2 y2 2x; y 0.

a

a2 y2

dy

dx. Вычислить этот интеграл. Поменять порядок интегри-

0

a y

3)

Вычислить xdl,

где L – отрезок прямой от точки 0, 0 до

L

точки 1, 2 .

4)

Вычислить работу силы F y i y x j при перемещении

единицы массы по дуге параболы y a

x2

из точки A a; 0 к точ-

a

S

R2

рона поверхности конуса

z2 y2

x2 ; 0 x 3.

3

j вдоль первой

6) Найти линейный интеграл вектора a x3i y3

a

2a2 x2

dx

dy. Вычислить этот интеграл. Поменять порядок интегри-

0

x

1

и 2, 2 , если плотность равна

y

1,

.

2

x

4)

Вычислить xy2dx yz2dy x2 zdz, где L – отрезок прямой

L

OB; O 0, 0, 0 ; B 2, 4, 5 .

5)

С

помощью формулы Остроградского, вычислить

x2dydz y2dxdz z2dxdy,

где S – внешняя сторона куба 0 x a;

S

0 y a; 0 z a.

1

2 x2

dx

dy. Изменитьпорядок интегрирования. Вычислитьинтеграл.

0

x

2)

Вычислить объем тела,

ограниченного поверхностями

z

x2 y2 ; z x2 y2.

3)

Найти

массу винтовой

линии x a cost; y asin t; z b

0 t 2 ,

если плотность в каждой ее точке пропорциональна

4) Вычислить

x y dx x y dy, где L – отрезок прямой со-

L

единяющий точки A 2, 3 и B 3, 5 .

5) Вычислить

площадь поверхности той части плоскости

Вариант 29

1)

Построить область, площадь которой выражается интегралом

0

0

dy

dx. Изменить порядок интегрирования. Вычислить интеграл.

2

y 4

2)

Вычислить

объем тела, ограниченного поверхностями

z x2 y2 ; x y 4; x 0; y 0; z 0.

3)

Вычислить

x2 y2 dl, где L – верхняя половина кардиоиды

6)

Найти циркуляцию поля F yi

по контуру окружности

x 2cost; y 2 2sin t.

Вариант 30

1)

Вычислить площадь фигуры,

ограниченную линиями

3) x2 y xy 1 0;

4) 2xy 2y xy2 ;

х

x

x

y

y

y

2

5) (2x e

)dx (1 y ) e

dy 0;

6) e

( y

) 2;

( y )

7) e

x

x

) 1,

y(0)

1,

8) y

IV

3y

4y 0;

( y e

y (0) 0;

9)

y

4y

4y

e 2x

;

10)

y

y

x

2

1;

x3

x 2 y x 1,

11)

y 2y 3y e2x 9cos x;

12)

3y 2x.

y

Вариант 3

1)

y

e2x

2) y dy (2y x)dx;

lny ;

3)

xy y xe x2 0;

4) 2y 2xy xe x2 y2 ;

2

yy

2

;

6) (10xy 8y

1) dx

(5x

2

8x 3)dy 0;

5) y y

( y )

7)

y

y

y

y(1)

e,

8)

y 2y 3y 0;

ln

,

x

x

e;

y

(1)

9)

y

4y

5y

e2x

10)

4y

4y

y

3cos 2x;

cos x ;

x 2x 4 y,

11)

y 4y 5y 2x 3 x ex ;

12)

y x 3y 3et.

Вариант 4

1)

3ex (siny)dx (1 ex )cosydy 0;

2)

dx

dy

;

xy x2

2y2 xy

3)

y 2x(x2 y);

4) y 2xy 2x3 y3;

5)

(2x

3

xy

2

)dx (2y

3

x

2

y)dy 0;

6)

yy

3

;

( y )e

7)

y

y

x cos x,

y( ) 1,

8)

yIV y 0;

x

2 ;

y

( )

9)

y 2y y 3e x

x 1;

10)

y 9y 4cos3x;

x 4x y 36t,

11) y 4y 2x 1 4e2x ;

12)

y 2x 2et .

y

Вариант 5

1) 3y

2

x

2

yy

;

2) y

y

x

;

x

x

y

3)

y ctg x y 2cos2 x ctg x;

4) xy y y2 ln x;

5) e

y

dx (xe

y

2y)dy

0;

2

6) y y

( y )

y ;

7)

x ( y

, y (1)

1;

8)

y

IV

y

0;

x) y

y (1)

9)

y y tg x;

10)

y 6y 13y 3e2x sin x;

x 2x 3y 5t,

11) y 2y y 2ex x 1;

12)

3x 2y 8et.

y

1) (1 e

3y

) xdx e

3y

dy;

2)

xy

y y ln

y

;

x

3) (x2 1) y xy x3 x;

4)

xy y xy2 ;

5)

xdx ydy 0;

6)

y

2

;

y ( y 1)

( y )

7)

xy

2;

8)

y

IV

2y

2y

0;

y , y(1) y (1)

9)

y 4y 2 tg x;

10) y 4y 4y 3e2x ;

Вариант 8

1) (x 2xy)dx (1 x2 )dy 0;

2)

y dx (2

xy x) dy;

3)

y 2y e3x ;

4)

xy y y2 ;

dx

x

6) 2yy

y

2

2

5)

y

y2 dy 0;

;

( y )

3

1)

(1 y2 )dx (2y 1 y2 )(1 x)2 dy 0;

2)

y2 3xy 3x2 y 0;

3) y

y

2ln x 1;

x

4)

y

2y

2 y

5)

yy

1);

x

cos2 x

;

y ( y

6)

(ex y sin y) dx (ey x cosy x) dy 0;

x

IV

7)

y

y , y(2)

1;

8)

y

y

0;

0 , y (2)

9)

y 4y ctg 2x;

10)

y y 3cos x;

5y 2z 40e

x

,

11) 4y 4y y x2 4e2x ;

12)

y

y 6z 9e x .

x

3)

y

2y

ex (x

1)2 ;

4)

y

xy

x y;

x 1

x2 1

5)

xy y

1

6)

2xcos2 ydx (2y x2sin 2y) dy 0;

x 0;

7)

y

,

1;

8)

y

8y 0;

2yy

y(0) y (0)

1

y

4y

29y 26e

x

9)

y

4y cos 2x

;

10)

;

x y,

11) y 4y 2x 5 xe3x ;

12)

4y.

y 3x

Вариант 11

1) ( xy x) dy ydx 0;

y

2) xy

y x tg x ;

3)

xy y ex ;

4)

y y y2cos x 0;

2

5) 2xydy (x2 y2 2x)dx 0;

6) y

( y )

1 y 0;