Математика. В 4 ч. Ч

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x C cost C

sin t tgt,

y C1sin t C2cost 2.

.2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Занятие 30. Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера и методом исключения

Аудиторные задания

30.1. Решить системы:

x y t,

x 2x 5y,

y x,

x y 2e

y x t.

y 5x 6 y.

y x t2.

x x y.

x 2x y,

x 4y,

x y cost,

y sin t cost.

y x 2et .

y x 3y.

y 2x

x x 5y,

x(0) 2,

x 2x y

y(0)

3e4t .

y x 3y,

y x

10)	x x 2 y,	x(0)	0,	11)	x 4x 3y sin t,
10)		y(0)	1.	11)
	y 2x 5y,	y(0)	1.		y 2x y 2cost.
	x y z,				x 3x 4y,	x(0) 1,
12)				13)	x 3x 4y,	x(0) 1,
12)	y x z,			13)		y(0) 4.
					y 2x 5y,	y(0) 4.
	z x y.

x 3x y,

y 4x y.

x 2y x 1,

y 3y 2x.

20)x y tg2t 1,y x tg t.

x x 8y,

y x y.

x x y,

y 3y 2x.

x x 3y,

y 3x y.

x x 3y,

y x 5y,

x x 2y,

y x 5sin t.

16)x x y,

y x y et .

x 2x y,

y 4y x.

x(0) 3, y(0) 1.

x 1y ,

24)

y 1x .

		2x	,			3t	,
25)	y 2y z e		,	26)	x 5x 3y 2e		,
25)				26)
	z 3y 2z 6e2x .				y x y 5e t .

y 5cost,

y t

27)

28)

x t.

y 2x y.

29)

x 2x y,

30)

2 y 3,

y y 2x 18t.

y 2x 2t.

Домашние задания

30.2. Решить системы:

x(0) 0,

2y 5x e

x 6y e 2t .

y(0) 1,5.

y x 1,

x y,

2x y cost,

y x y.

y x 2sin t.

2x y,

3x 2y,

x(0) 1,

y(0) 0.

y 3x 4y.

y 4x 7y,

x y t,

x y,

x(0) 0,

y(0) 1.

y 4x 3y 2t.

y 6x 6y,

y e

10)

x 4x y e

x 2e

y y 2x.

x 2x 4y,

2x 3y,

11)

12)

y x 3y 3et .

y x 2y 2sin t.

13)

x 3x y,

x(0) 1,

x 6x 3y,

x(0) 2,

y(0) 1.

14)

y(0) 0.

y 3x 7y,

y x 2y,

Ответы:

30.1.1) x C1et C2e t t 1,y C1et C2e t t 1.

x e 2t C1cos3t C2sin 3t ,

y 15 e 2t 4C1 3C2 cos3t 3C1 4C2 sin 3t .

	x C et C			e t tet t2	2,
3)		1	2
3)				e t t 1 et 2t.
	y C et C			e t t 1 et 2t.
		1	2

4)y C1sin t C2cost C3et,x C1cost C2sin t C3et.

	x	C1 C2t t2 et,							x 2C t 2C				2	C
5)								6)		1			2	1
5)			C C t C			t2	et .	6)			C2	e t.
	y		C C t C	2	2	t2	et .		y C1t		C2	e t.
			1 2	2

7)x C1cost C2sin t t cost,

y C2 C1 cost C1 C2 sin t t cost sin t .

	x 2e t		3e 7t,		x C et		C	e3t tet e4t ,
8)				9)		1	2
8)		3e 7t.		9)					e3t t 1 et 2e4t
	y e t	3e 7t.			y C et C				e3t t 1 et 2e4t
						1		2

e t,

	x 2te 3t,									x C et 3C			e2t		cost 2sin t,
10)									11)		1	2
10)									11)					e2t	2cost 2sin t.
	y 1 2t e 3t.									y C et 2C				e2t	2cost 2sin t.
											1	2
	x C e t		C		e2t,
		1		2											t		7t
12)	y C e t C					e2t,					13)	x 2e				3e		,
		3		2											3e 7t.
		z C	C e t				C e2t.					y e t			3e 7t.
		z C	C e t				C e2t.
		1		3					2
		1		3					2
	x C C t et,
14)		1	2
14)			C		2C				t et.
	y 2C		C	2	2C				t et.
		1		2			2
	x e2t C cost C							sin t ,
15)			1				2
15)											C1 sin t .
	y e2t C1 C2 cost C2										C1 sin t .

				t	,
16)	x C2cost C2sin t 1 e				,
16)
	y C sin t C cost et.
		1	2
	x et C cos3t C			sin 3t ,
18)		1	2
18)				cos3t .
	y et C sin 3t C			cos3t .
		1	2

x C 2C t et 3,

17) 1 2

y C1 C2 2C2t et 2.

x C C t e3t,

19)1 2

y C1 C2 C2t e3t.

	x		2C e3t 4C					e 3t,		x C e t 2C					e2t cost 3sin t,
22)				1			2		23)			1		2
22)					C	e 3t.			23)			C e t C				e2t 2cost sin t.
	y C e3t				C	e 3t.				y		C e t C				e2t 2cost sin t.
				1	2							1		2
			2	2t	C2 ,								2x	C1e			x	C2e		x	,
24)	C1x			2t	C2 ,				25)		y 2e			C1e				C2e			,
24)		C 2t C						.	25)					3C ex C					e x .
	y2	C 2t C					2	.			z 9e2x			3C ex C					e x .
				1			2							1				2

26)x C1e2t 3C2e4t e t 4e3t,

y C1e2t C2e4t 2e t 2e3t.

27)x C1e2t C2e t 2sin t cost,y 2C1e2t C2e t sin t 3cost.

28)x C1sin t C2cost t,

y C1cost C2sin t t2 1.

29)x C1e3t 3t2 2t C2 ,

y C1e3t 6t2 2t 2C2 2.

30)x C1cos 2t C2sin 2t t,y C1sin 2t C2cos 2t 1.

		x	C e 4t C			e 7t 1 e 2t							7	et,
		x	C e 4t C			e 7t 1 e 2t								et,
30.2. 1)			1		2				5				40
30.2. 1)			1 C e 4t							3					1
		y			C			e 7t		3	e 2t				1	et.
		y			C			e 7t			e 2t					et.
			2	1			2		10					40
			2						10					40
	x 1 cost 1,5sin t,								x C e 2t C e 2t,
2)	x 1 cost 1,5sin t,							3)			1			2
2)								3)			1							2
	y sin t 1,5cost.										1		2					2
	y sin t 1,5cost.								y C				2	1 e			2t C			2 1	e 2t.
	x C		C	t et 1 cost,															t		5t
		1	2		2															C2e ,
4)					2									5)			x C1e			C2e ,
4)											1			5)									e5t .
			1 t C1 e			t	2cost				1	sin t.					y C et 15C						e5t .
	y C2		1 t C1 e				2cost				2	sin t.						1				2
											2

6) x e5t cos 2t sin 2t ,y 2e5t sin 2t.

8)x C1e3t C2e4t,y 2C1e3t 3C2e4t.

7)xyx

C1 C2t e t 5t 9,

C2 2C1 2C2t e t 6t 14.

C1et C2e t 18 e3t,

C1et C2e t 85 e3t.

10)x C1e2t C2e3t t 1 e2t,

y 2C e 2t C e3t 2te2t.

1 2

x 4C et C e 2t 4tet,

11) 1 2

y C1et C2e 2t t 1 et.

12)x 3C1et C2e t 3sin t,

y C1et C2e t cost 2sin t.

	x C e4t C			e6t,			x
13)		1	2			14)
13)					e6t.	14)
	y C e4t 3C				e6t.		y
		1		2

C1e3t 3C2e5t,

C1e3t C2e5t.

Типовой расчет № 1

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ

В заданиях:

№1–6 – найти неопределенные интегралы;

№7 – вычислить определенный интеграл;

№8 – вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Вариант 1

1)			xdx		;	2)	(2x 1)sin2 xdx;						3)		xdx		;
		2x		1										2	x 4

4)	sin32x cos22xdx;						5)		x4	2x2 3		dx;	6)	arctg 2x		dx;

	1		e2x dx							x3 8				1 4x2
7)						;	8)			xdx	.

			ex							x2
	0			1				0 4

9)Вычислить площадь трапеции, ограниченной линиями acos ,

2a cos .

10)Найти длину полукубической параболы y2 23 (x 1)2 , заклю-

ченную внутри параболы y2 3x .

Вариант 2

x2ex3 dx;

3 x ln xdx;

sin2 x xsin 2x

dx;

xsin2 x

sin

xdx;

dx;

x 1

dx;

x(x2

2x 3)

x 1

;

(x 1)3

1 x

4 ln x

9)Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линия-

ми y x2, y 2 x.

10)Найти длину кардиоиды 2(1 sin ).

Вариант 3

sin xdx

;

excos 2xdx;

sin2 x cos xdx;

cos2 x

(x2

;

1)dx

;

x dx

;

cos x 3sin x

4x2

x 1

dy;

xe x2 dx.

9)Найти площадь криволинейной трапеции ограниченной линией

a(1 cos ).

10)Найти объем тела, полученного вращением криволинейной тра-

пеции, ограниченнойлиниями y x2 , y 2 x, y 0, вокругоси Ox.

Вариант 4

x2dx

;

arctg 2xdx;

;

sin2 x

2 ln x dx

;

x3dx

;

xdx

;

(x2 1)(x2

sin x

dx;

cos3 x

1 x ln2 x

9) Найти

площадь

фигуры,

ограниченной

линиями

xy 6,

x y 7.

10) Найти

периметр

фигуры,

ограниченной

линиями

y x2,

Вариант 5

;

2) ln 4xdx;

;

sin2 x

1 ctg x

arccos x 1

6sin x cos x

dx;

x4dx

;

x 1

dx;

cos x

x2 2

e ln x

4x2

xdx

dx;

(1 x2 )2

9) Найти длину дуги кривой

y ex 1 от точки (0; 0)

до точки

(1; e 1).

10) Найти объем тела, полученного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями y x2 , y 0,

x 2, вокруг оси Oy.

Вариант 6

cos2 xdx

;

2) x arccos 2xdx;

2 tgx 3

dx;

sin

4 x

sin2 x 2cos2 x

xsin(1 3x2 )dx;

x5 2x 1

dx;

2x 1dx

;

x4 1

2x 1

2 xdx;

sin

x2 1

9) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой x t sin t,

y1 cost, 0 t .

10)Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy криволинейнойтрапеции, ограниченнойлиниями: xy 1, x 3, y 3.

		Вариант № 7
1)	1 tgx dx;	2)	2x 1	dx;	3) x2	1 3x3 dx;

	cos2 x		cos2 x

;

x2 3x 1

dx;

x 1

dx;

cos x 3sin x

x3 2x2

x2 3

3 arctg x

dx;

1 x2

ln x

1 x

9)Вычислитьплощадьфигуры, ограниченнойлинией 2cos3 .

10)Вычислить длину кривой x cos3t , y sin3t.

Вариант 8

x3dx

;

ln(1 x2 )dx;

3) e

x dx

;

1 x4

;

x3 2x2

dx;

2sin x 3cos x

(x 1)(x2 1)

x 1 1

dx;

4 x2 dx;

x 1(3 x 1 1)

9 x2

9)Вычислитьдлину кривой y ln x от точки (1; 0) до точки (e; 1).

10)Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox

фигуры, ограниченной линией x cost,

y 3sin t, 0 t

Вариант 9

(1 x)5 dx

;

(2x 1)e

dx;

x6dx

;

sin42x cos22xdx;

4 3x

dx;

;

x3 8x2

x 2

y 1

dx;

x dx

y 1

9)Найти площадь фигуры ограниченной линией 2asin .

10)Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy

фигуры, ограниченной линиями y2 x, x 4.

Вариант 10

x2sin x3dx;

2) x2sin 3xdx;

sin x dx

;

x2 1

dx;

cos5 x

2x2 3x

ln 4

1 arccos x

dx.

;

3) (x2 1)ex3 3xdx;

6)	x 3	x	dx;
	x 6	x

9. Найти длину кривой 4sin .

10. Найти площадь

фигуры,

ограниченную

линией x 4cost,

y 3sin t.

Вариант 11

(1 ctg3 x)

;

(x2

1)ln xdx;

9 x2 dx;

sin2 x

;

dx;

2x 1dx

;

2cos x 3

2x 1 6 2x 1

cos x2sin x dx;

16 x4

9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x2 16x 4 y, x 4 y.

10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями x2 y2 a2, x 2a.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025980.98 Кб0Математика. В 2 ч. Ч.1.pdf
#
24.11.20252.25 Mб0Математика. В 2. Ч. 1.pdf
#
24.11.20254.21 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.42 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 3. Кратные интегралы и их приложения. Криволинейные интегралы, интегралы по поверхности и их приложения. Теория поля.pdf
#
24.11.20253.19 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2. Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной независимой переменной.pdf
#
24.11.20254.44 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2.pdf
#
24.11.20252 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.3.pdf
#
28.12.20253.13 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.4-1.pdf
#
24.11.2025796.88 Кб1Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб2Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf