Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. В 4 ч. Ч

.2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.44 Mб

Скачать

☆

1 / 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 1»

МАТЕМАТИКА

Практикум

Часть 2

Минск

БНТУ

2015

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 1»

МАТЕМАТИКА

Практикум для студентов инженерно-технических специальностей

В 4 частях

Часть 2

Рекомендовано учебно-методическим объединением в области автоматизации технологических процессов, производств и управления

Минск

БНТУ

2015

УДК 519.2(075.8) ББК 22.1я7

М34

Составители части:

Е. А. Бричикова, Г. К. Воронович, И. Н. Катковская, Г. И. Лебедева, И. М. Мартыненко, Е. А. Федосик, Н. И. Чепелев, Т. И. Чепелева

Рецензенты:

кандидатфизико-математическихнаук, доцентА. Н. Исаченко (БГУ);

доцент Л. А. Хвощинская (БГАТУ)

Математика : практикум для студентов инженерно-технических М34 специальностей : в 4 ч. / сост.: Е. А. Бричикова [и др.]. – Минск :

БНТУ, 2014– . – Ч. 2. – 2015. – 138 с. ISBN 978-985-550-509-0 (Ч. 1).

Практикум подготовлен в соответствии с действующей программой дисциплины «Математика» для студентов инженерно-технических специальностей БНТУ.

Практикум состоит из 28 занятий по разделам «Неопределенный и определенный интеграл», «Интеграл по фигуре», «Элементы теории поля» и «Дифференциальные уравнения». Каждое занятие содержит задания для аудиторной и самостоятельной работы студентов. Задания снабжены ответами, что позволит студентам проконтролировать правильность решений задач. Издание содержит также типовые расчеты по указанным разделам, которые могут быть использованы и для индивидуальных заданий студентов, и для проведения текущего контроля знаний.

Часть 1 вышла в 2014 г.

УДК 519.2(075.8) ББК 22.1я7

ISBN 978-985-550-509-0 (Ч. 2)	© Белорусский национальный
ISBN 978-985-550-341-6	технический университет, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ......................................................	5
Занятие 1. Неопределенный интеграл.
Метод непосредственного интегрирования.......................	5
Занятие 2. Интегрирование с помощью замены переменной.
Метод подстановки..............................................................	8
Занятие 3. Интегрирование по частям
в неопределенном интеграле.............................................	10
Занятие 4. Интегрирование выражений,
содержащих квадратный трехчлен в знаменателе..........	13
Занятие 5. Интегрирование рациональных функций........................	15
Занятие 6. Интегрирование тригонометрических выражений.........	18
Занятие 7. Интегрирование иррациональных выражений................	20
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ..........................................................	23
Занятие 8. Вычисление определенных интегралов...........................	23
Занятие 9. Приложения определенных интегралов...........................	24
Занятие 10. Несобственные интегралы...............................................	26
ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ....................................................................	28
Занятие 11. Двойной интеграл. Его вычисление в декартовой
системе координат............................................................	28
Занятие 12. Замена переменных в двойном интеграле .....................	31
Занятие 13. Приложения двойного интеграла ...................................	33
Занятие 14. Тройной интеграл и его вычисление
в декартовой системе координат....................................	36
Занятие 15. Замена переменных в тройном интеграле......................	38
Занятие 16. Приложения тройного интеграла....................................	41
Занятие 17. Криволинейные интегралы I рода ..................................	45
Занятие 18. Криволинейные интегралы II рода.................................	47
Занятие 19. Приложения криволинейных интегралов......................	50
Занятие 20. Поверхностные интегралы I рода...................................	53
Занятие 21. Поверхностные интегралы II рода..................................	55
Занятие 22. Приложения интегралов по поверхности ......................	57
ТЕОРИЯ ПОЛЯ ....................................................................................	61
Занятие 23. Элементы теории поля.....................................................	61
Занятие 24. Поток векторного поля. Циркуляция.
Потенциальное поле.........................................................	65

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ..........................................	70
Занятие 25. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными
и однородные....................................................................	70
Занятие 26. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка, уравнения Бернулли
и в полных дифференциалах...........................................	73
Занятие 27. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижения порядка..................................	76
Занятие 28. Линейные однородные и неоднородные
дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами. Метод Лагранжа................................	80
Занятие 29. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами
с правой частью специального вида...............................	83
Занятие 30. Решение систем дифференциальных уравнений
методом Эйлера и методом исключения........................	90
Типовой расчет № 1
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ...........	95
Типовой расчет № 2
ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ..................................................................	106
Типовой расчет № 3
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ...............	125
ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ ПОСОБИЙ ..................	137

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Занятие 1. Неопределенный интеграл. Метод непосредственного интегрирования

Аудиторные задания

1.1. Пользуясь свойствами неопределенного интеграла и таблицей основных неопределенных интегралов, найти следующие интегралы:

1)			x 2					x 1										1 43							x 2																dx
													dx;		2)													dx;		3)																;
													dx;		2)								x					dx;		3)				sin2 x cos2 x												;
4)		1 3x2							dx;				5)		sin	2	x		dx;											6)	4x2 2x 3														dx;
4)	x2		1 2x2						dx;				5)		sin		2		dx;											6)								x2							dx;
	x2		1 2x2														2																					x2
7) sin 3x cos xdx;													8) 2x 3 3 dx;																	9) cos 4x cos8xdx;
		1	cos2 x												2x						2 x												5 sin									3 x
10)								dx;					11)			1										dx;				12)										2				dx;
10)								dx;					11)			1				4				3		dx;				12)														dx;
		1 cos 2x																		4			x	3												sin						x
		1 cos 2x																					x													sin						x
			3							7																										x2
13)														dx;																14)												dx;
13)					2									dx;																14)					2							dx;
					2				1 x				2																				x		2			1
		1 x							1 x																								x					1
15)				x						x	2		dx;		16)							x4							17)			ex										3e x
			cos			sin																					dx;											5							dx;
			cos			sin																2					dx;											5					4		dx;
				2						2										x		2	1																			x	4
				2						2										x			1																			x
	1				x		3																							x			3
18)								dx;																	19)												dx;
18)								dx;																	19)									x			dx;
																																		x
		6x4 8x3 4x2											3x 5			dx;														x5					1
20)										2															21)															dx;
20)																									21)								3					2		dx;
									x																								3			x		2
									x																											x
									ex																								3 x
22)	e x 1												dx;												23) 3x					2											dx;
22)	e x 1											2	dx;												23) 3x					2											dx;
								1 x				2																				1 x							2
								1 x																								1 x

		3			5					3	1 x2	2cos2 x
24)								dx;	25)							dx;
24)			2			2		dx;	25)			2		2		dx;
		1 x	2	cos		2					1 x	2	cos	2	x
		1 x		cos			x				1 x		cos		x
26)	6x 7 7x2				dx;		27)		ch x sh x dx;		28)		2 7sh2 x dx.
		x3 x											sh2 x

Домашние задания

1.2.Пользуясь таблицей основных неопределенных интегралов

исвойствами неопределенного интеграла, найти следующие интегралы:

1) x2 4 x 2 dx;

3) tg2 xdx;

5) cos2 2x dx;

7) 1 x x 3 dx;

9) x2x2 1 dx;

9x5

12x4 6x3 7x2 4x 2

dx;

ex 3 5e x ctg2 х dx;

dx;

7 3cos2 x

dx;

cos2 x

10)

dx.

Ответы:

1.1. 1)		x2	2		x3	2x C;	2)	ln	x			243 x 243 x2						C;
		x2

	2		3			4) 1	1										x	sin x
	2		3
3)	tg x ctg x C;							arctg					2x C;		5)				C;
						x	2								2			2
6)	4x 2ln			x	3 C;			7)					1 cos 2x		1 cos 4x C;
6)	4x 2ln			x	3 C;			7)					1 cos 2x		1 cos 4x C;
					x								4		8
					x								4		8
8)	2x4 12x3 27x2					27x C;		9)			1 sin 4x			1		sin12x C;
8)	2x4 12x3 27x2					27x C;		9)			1 sin 4x			24		sin12x C;
										8				24

10)

ctg x

1 x C;

11)

x C;

ln 2

12)

5ctg x 4cos x C;

13) 3arctg x 7arcsin x C;

x 1

14)

15)

x cos x C;

16)

x arctg x C;

17)

18) x 2x

3/2

5/2

19)

x3 6

x C;

20) 2x3 4x2 4x 3ln

21)

33 x C;

22) e x arcsin x C;

23)

2 3x

arctg x C;

24) 3arcsin x 5 tgx C;

ln 3

25)

3tg x 2arcsin x C;

26) 6arctg x 7 ln

27)

ch x sh x C ;

28) 2cth x 7x C .

1.2. 1)

2) 3x3 6x2

6x 7ln

tg x x C;

4) 3ex 5ctg x 5x C; 5)

sin x C;

7) ln

x 3x

x3 C;

8) 7 tg x 3x C;

9) x arctg x C;

10)

Занятие 2. Интегрирование с помощью замены переменной. Метод подстановки

Аудиторные задания

2.1. Найти неопределенные интегралы подведением (поднесением) под знак дифференциала:

cos x2sin x dx;

;

2x 3

dx;

x 1 2ln x 4

x2 3x 2

4x 4

dx;

tg xdx

;

x2 2x

cos2 х

arctg x

xe x2 dx;

sin3 2x dx;

; 10)

xdx

cos4 2x

x ln 4x

1 x4

2.2. Найти интегралы, применив метод подстановки:

1) x 3x 4 5 dx;

4)		sin 2x			dx;
4)	4				dx;
	4	sin2 x
7)		sin xdx				;
7)		1 2cos x				;
		1 2cos x
10)		e x	dx;
10)		x	dx;
		x		x
		cos		x
		cos
13)			2				dx;
13)		2 sin			x		dx;
					x
					2
					2

2)	x			2x 3dx;
5)				dx			;
5)		x		x 1			;
		x		x 1
8)					dx			;
8)								;
		x		x2 a2
				1
11)			2	х	dx;
11)			x2		dx;
			x2
14)				dx		;
14)			3	x		;
			3		1

3)	ln x	2 ln2 x			dx;
			x
	xdx
6)			;
	x	1

9)	dx			;

	1 ex

12) cos ln x dx; x

15)2x 1 dx ;

16)	ln x 1 dx;	17)	sin x x cos x dx;	18)		dx	;
16)	ln x 1 dx;	17)	sin x x cos x dx;	18)		1 x2	;
	x ln x		x2 sin2 x		x	1 x2
19)	4x ln x 1 ln x dx;		20) 2x arccos x dx.
			1 x2

Домашние задания

2.3. Найти неопределенные интегралы подведением (поднесением) под дифференциал:

1)	e4x 3dx;						2)						cos 2x						dx;				3) x2e x3 dx;										4)							dx		;
1)	e4x 3dx;						2)					1 sin2 2x							dx;				3) x2e x3 dx;										4)				x			ln 2x		;
												1 sin2 2x												3x dx													x			ln 2x
5)	x			x2 4 dx;							6)				xdx			;			7)			3x dx					;		8) x2 cos(3x3 1)dx.
5)	x			x2 4 dx;							6)			x2			7	;			7)								;		8) x2 cos(3x3 1)dx.
														x2			7						1 9x
2.4. Найти неопределенные интегралы методом подстановки:
1)		4sin 2x dx						;					2)			ln x 1							dx;								3)				dx			;
1)								;					2)			1 x ln x							dx;								3)		1 ex					;
		4 sin2 x														1 x ln x																	1 ex
																																	1
4)		1	x			dx;							5)			x(2ln x 1)									dx;						6)		2		x2	dx;
4)		1			x	dx;							5)			4 x2 ln x									dx;						6)			x3		dx;
		1			x											4 x2 ln x																		x3
7) x(4x 5)3 dx;															8)								dx					.
7) x(4x 5)3 dx;															8)													.
																			x		1 4ln2 x
																Ответы:
2.1. 1)				2sin x С;								2)						1							С;					3) ln		x2 3x 2									С;
																		1
																	2ln x)3
					ln 2										6(1
					ln 2										6(1
4)	2ln			x2 2x					С;					5)		tg2 x				С;						6)				ln				С;
4)	2ln			x2 2x					С;					5)		tg2 x				С;						6)				ln	arctg x			С;
		1			x2										1		2						1
7)			e			С;				8)							2										С;				9) ln				ln 4x				С;



		2											6cos3 2x									2cos 2x
		2											6cos3 2x									2cos 2x
10)		1 arcsin x2 С.
		2
2.2. 1)				(3x 4)7							2(3x 4)6									С;			2)			(2x				3)5 2			(2x			3)3 2						С;
2.2. 1)						63							27							С;			2)							10							2					С;
						63	3						27																	10							2
	1						3
3)		(2 ln2 x)2 С;											4) ln				4 sin2 x								С;					5) 2arctg						x 1 С;
3)		(2 ln2 x)2 С;											4) ln				4 sin2 x								С;					5) 2arctg						x 1 С;
	3
	3
6)	2		(x 1)3				2					x 1 С;											7)				1 2cos x С;
	3

1 / 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025980.98 Кб0Математика. В 2 ч. Ч.1.pdf
#
24.11.20252.25 Mб0Математика. В 2. Ч. 1.pdf
#
24.11.20254.21 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.42 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 3. Кратные интегралы и их приложения. Криволинейные интегралы, интегралы по поверхности и их приложения. Теория поля.pdf
#
24.11.20253.19 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2. Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной независимой переменной.pdf
#
24.11.20254.44 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2.pdf
#
24.11.20252 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.3.pdf
#
24.11.2025796.88 Кб0Математика. В 4 ч. Ч.4.pdf
#
24.11.20251.14 Mб1Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
24.11.20253 Mб0Математика. Раздел Математическое программирование.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Математика. Специальные разделы. Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.pdf