Математика. В 4 ч. Ч. 3. Кратные интегралы и их приложения. Криволинейные интегралы, интегралы по поверхности и их приложения. Теория поля

№

Условие

Варианты ответа

п/п

Вычислить повторный интеграл

4

2

x

1.

44/15

2.

12/5

1

dx

(4

x)dy

3.

28/3

4.

128/15

0

x

Вычислить двойной интеграл в декартовых координа-

1.

15/10

2.

50/9

2

тах при данной области интегрирования D

10

9

105

9

x 2y)dxdy,

D : y

3/ 2x; y

3; 4/3y

(x

5)2

3.

4.

D

10

10

Вычислить двойной интеграл в полярных координатах

26

6

3

по области D, ограниченной указанными линиями

1.

2.

x2

y2 dxdy , D : x2

y2

, x2

y2 36

126

118

3.

4.

D

4

Вычислить площадь плоской фигуры D, ограниченной

1.

1/2

2.

2/3

заданными линиями x

cos y, x

y

1, x

3.

2 2

4.

1

Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-

1.

208/27

2.

7/28

5

стью

x, y), ограниченной кривыми

8/3

213/34

D : y x, y 2x

2

, x

2 ,

(x, y)

3.

4.

x y

Вычислить тройной интеграл в прямоугольных коор-

1.

1 126

2.

222 13

динатах:

2x

3y

z)dxdy dz, V : трехгранная

6

V

0,

z 5, x 0,

225 4

112 19

призма, ограниченная плоскостями z

3.

4.

y

0,

x y

3

Вычислить тройной интеграл, используя цилиндриче-

1.

358 25

7

ские или сферические координаты

zdx dy dz

, если

2.

1472 45

V

x

2

y

2

3.

1222

43

V : x2

y2

4y, y z 4, z

4.

1260

С помощью тройного интеграла вычислить объем те-

1.

23 3

2.

47 6

8

ла, ограниченного указанными поверхностями

3. 48 5

4. 55 6

x y z 4, x 3, y 2 , x 0 , y 0, z 0

Вычислить координаты центра масс однородного те-

1.

(0;0;2 3)

2.

(0;0;1 3)

9

ла, занимающего область V, ограниченную указанны-

3.

(0;0;4 3)

ми поверхностями: 2z

4

x2

y2 , z

0

4.

(1; 0;1 3)

Вычислить момент инерции относительно оси Oz од-

16 3

32 3

10

нородного тела, занимающего область V, ограничен-

1.

2.

ную данными поверхностями: 2z

x2

y2 ,

3.

29 2

4.

48 5

x2

y2

4 , z 0. Плотность тела принять равной 1

№

Условие

Варианты ответа

п/п

1

1 x

1. 11/5

2.

1/2

1

Вычислить повторный интеграл

dx

x2

y 2

dy

3.

3/2

4.

1/6

0

0

Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-

1.

28/5

2.

8

1

натах при данной области интегрирования D

2

15

x ydxdy, D : y2

x, x

4

3.

128/15

4.

2 2

D

Вычислить двойной интеграл в полярных координа-

1. 3

2

10

тах по области D, ограниченной указанными линия-

2.

3

ми

3.

2

/5

4.

4

7

x2

y 2

3 dxdy, D : x2

y2

1

D

4

Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-

1. 15

2.

9

ной заданными линиями y

4

x2 ,

y x2 2x

3. 4

4.

17

Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-

1. 64/3

2.

5 3

5

стью

x, y), ограниченной кривыми

13/4

20

1

D : y

2 x, y

4x

x2

,

x, y)

2y

3.

4.

3

Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-

1.

3

2.

3 8

ординатах:

x

y

z dxdy dz, V : тетраэдр, огра-

6

V

2,

0, y

0,

2

8

ниченный плоскостями x

y

z

x

3.

4.

z 0

Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-

1.

137 14

2535 11

7

ческие или сферические координаты:

2

dxdy dz,

2.

1555 12

V

3.

если V : 1

x2

y2

36,

y

x,

x

, z

4.

15 28

С помощью тройного интеграла вычислить объем

1.

16

2. 12

8

тела, ограниченного указанными поверхностями: эл-

липсоидом x2 4

y2

9

z2

4

1

3. 24

4. 18

Вычислить координаты центра масс однородного

1. (1 2;0;0)

2.

(3 8;0; 0)

9

тела, занимающего область V, ограниченную ука-

3.

(1 8;0;0)

занными поверхностями: 8x

y2

z 2 ,

x

1 2

4. (1; 1; 0)

Вычислить момент инерции относительно оси Ox

1.

12 5

2.

8 3

однородного тела, занимающего область V, ограни-

10

ченную данными поверхностями: x2

y2

z 2 ,

x 2.

3.

18 5

4. 16 5

Плотность тела принять равной 1

№

Условие

Варианты ответа

п/п

2

2

1.

2

2.

2

3

1

Вычислить повторный интеграл

d

4r

r 3 dr

3.

24

4.

8

0

0

Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-

1.

3

2

2.

2 2

натах при данной области интегрирования D

2

cos(x

y)dxdy,

D : y

0,

x

,

y

x

2

5

3

3.

4.

D

Вычислить двойной интеграл в полярных координа-

тах по области D, ограниченной указанными линия-

1.

24

2.

4

3

ми

3.

48

4.

11

3

x

2

y

2

dxdy, где D : x

2

y

2

4x

D

Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-

1.

38/3

2.

6

4

ной заданными линиями

3.

16/3

4.

18

x

2y

2

, x 1 3y

2

, x

, y

Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-

1.

47/3

2.

74/3

5

стью

x, y), ограниченной кривыми

15

1

46/13

D : y

3

x,

2 x, x

1 ,

x, y)

6y5

3.

4.

y

3

Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-

1.

3 8

2.

9 4

6

ординатах:

x3

yz dxdy dz,

V :

1

x

,

V

3.

1 8

4.

7 3

0

,

0

y

z

Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-

1.

3 8

3

ческие или сферические координаты:

2.

4 13

5

7

x2

y 2

dxdy dz,

если V – верхняя половина ша-

V

3.

4 15

5

ра x2

y2

z2

R2

4.

3 8

5

С помощью тройного интеграла вычислить объем

1.

90

2.

80

8

тела, ограниченного указанными поверхностями:

3.

76

4. 121

x

2

y

2

9, z 1, x y z 11

Вычислить координаты центра масс однородного

1.

(0;1 4; 3)

9

тела, занимающего область V, ограниченную ука-

2.

(0;17

3;0)

занными поверхностями:

y

3

x2

z 2

,

3.

(1;12 87; 1 3)

x2

z2

36 , y

0

4.

(0; 27

4; 0)

Вычислить момент инерции относительно оси Ox

1.

2.

3

однородного тела, занимающего область V, ограни-

10

ченную данными поверхностями:

x

y2

z2 ,

3.

2

4.

8

y2

z 2

1, x 0 . Плотность тела принять равной 1

№

Условие

Варианты ответа

п/п

Вычислить повторный интеграл

1.

4

2.

2

1

/ 4

/ 4

cos2 x

sin2

dx

y dy

3.

1

4.

/16

0

0

Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-

33/14

36/121

2

натах при данной области интегрирования D

1.

2.

x2

y dxdy,

D :

y

x2 ,

y2

x

3.

33/140

4.

11/12

D

Вычислить двойной интеграл в полярных координа-

9

6

тах по области D, ограниченной указанными линия-

1.

2.

3

ми

16

4 3

ydxdy

x x

y2 , D : x2

y2

3y

3.

4.

D

Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-

1. 3/2

2.

1/2

4

ной заданными линиями y

cosx,

y

x

1,

y

3.

1

4.

2 2

Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-

1.

48

2.

42

5

стью

x, y), ограниченной кривыми

3.

/4

4.

21/

D : x

2

y

2

2,

x

2

y

2

8 ,

x, y)

x

2

y

2

2

Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-

1.

14

2.

–20

6

ординатах:

5x

2y

z

3

dxdy dz, V

: 0

x

,

12

–22

V

3.

4.

0

y

, 1 z

Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-

ческие или сферические координаты:

1. 8

2.

20

7

x2

y2 dx dy dz,

если V ограничена цилиндром

3.

16

4.

12

V

x2

y2

2x и плоскостями y

0,

z

0,

z

3

С помощью тройного интеграла вычислить объем

8

тела, ограниченного указанными поверхностями:

1. 112

2.

136

x2

y2

10x , x2

y2

13x , z

x2

y2 , z 0 ,

3.

266

4.

98

y

Вычислить координаты центра масс однородного

1. (1 3;0;0)

2.

(4 3; 0; 0)

9

тела, занимающего область V, ограниченную ука-

3.

(2 3;1; 0)

занными поверхностями: y2

z 2

8x ,

x

2

4. (4 3; 0; 4 3)

Вычислить момент инерции относительно оси Ox

2 3

5 3

однородного тела, занимающего область V, ограни-

1.

2.

10

ченную данными поверхностями: x

y2

z2 ,

x 2.

3.

4 3

4.

7 2

Плотность тела принять равной 1

№

Условие

Варианты ответа

п/п

Вычислить повторный интеграл

1.

4/9

2.

1

1

1

1

1 x

9

dx

5

x

1 3

y dy

3.

74/3

4.

14 9

0

x

Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-

1.

– 49/2

2.

16

натах при данной области интегрирования D

2

2

y 2 dxdy,

D :

y

1/ x, y

x,

x

3

3.

3/4

4.

21

D

Вычислить двойной интеграл в полярных координа-

1.

18

2.

48

тах по области D, ограниченной указанными линия-

3

ми

3.

2

4.

3

9

x2

y2 dxdy,

D : x2

y2

D

Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-

1.

2

+ 4

2.

2

2

4

ной заданными линиями x

2 2

y2

4,

x2

y 2 2

4

3. 2

2

4. 24

Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-

1.

28/5

2.

12/5

5

стью

x, y),

ограниченной кривыми

3. 25/16

15/2

D :

y

x2 ,

y

x,

x

2 ,

x, y)

x

2y

4.

Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-

1.

120 9

2.

135 4

ординатах:

x2 y z dxdydz, V :

1

x

,

0

y

6

110

98 3

3.

4.

2

V

z

Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-

1.

5

3

2.

3

5

ческие или сферические координаты:

7

x2

y2

z 2 3dxdy dz, если V ограничена цилин-

3.

3

2

4.

7

3

V

дром x2

z2

1 и плоскостями y

0,

y

1

С помощью тройного интеграла вычислить объем

1.

8 3

2.

9

8

тела, ограниченного указанными поверхностями:

3.

16

4.

2 3

x

, y

,

z

, x y 2 , z x

2

y

2

Вычислить координаты центра масс однородного

(0;0;8)

(0; 0;12)

9

тела, занимающего область V, ограниченную ука-

1.

2.

занными поверхностями: z

3 x2

y2

,

x2

y2

9,

3. (0; 0; 1 8)

4.

(0; 0; 9)

z

0