Математика. В 4 ч. Ч. 3. Кратные интегралы и их приложения. Криволинейные интегралы, интегралы по поверхности и их приложения. Теория поля

№

Условие

Варианты ответа

п/п

Вычислить повторный интеграл

5

e

2x

1dy

1. 8

2.

16/3

1

dx

3.

1 2

4.

14

3

1

y

Вычислить двойной интеграл в декартовых коор-

1. 40/3

2.

16/5

2

динатах при данной области интегрирования D

x2

y dxdy,

где D :

y

4, y

2x, x

0

3.

3

2

4.

13

D

Вычислить двойной интеграл в полярных коорди-

24

натах по области D, ограниченной указанными ли-

1.

2.

3

ниями

3.

3

4.

0

4

x

y dxdy,

D : x2

y2

2x

D

Вычислить площадь плоской фигуры D, ограни-

1.

38/3

2.

44

4

ченной заданными линиями

27/2

9/4

y

4x

x2 ,

y

2x2

5

3.

4.

Найти массу плоской фигуры D с заданной плот-

1.

8sin4

2.

2

5

ностью

x, y),

ограниченной кривыми.

3.

cos2

D : x2

y2

4,

y

0,

y

, x, y)

sin x2 y2

4.

8(1 cos4)

Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-

1.

a2

4

2.

a3 3

ординатах:

x

y

z dxdy dz,

V : тетраэдр,

6

V

0,

3. a2 8

4. a4 8

ограниченный плоскостями

x y z a

x

,

y

0,

z

0

Вычислить тройной интеграл, используя цилин-

12

24

дрические или сферические координаты:

1.

2.

7

3dx dy dz ,

если V ограничено поверхностями

3.

3 2

4.

7 2

V

x2

y2

z 2 , z 1, x 0, y 0

С помощью тройного интеграла вычислить объем

1.

2 3

2.

3 4

8

тела, ограниченного указанными поверхностями:

3.

1 8

4.

2 7

x

, y

, z

,

2x y 2, z y

2

Вычислить координаты центра масс однородного

1.

1;2; 2

тела, занимающего область V, ограниченную ука-

2.

1 8;1;1 8

9

занными поверхностями: восьмой части эллипсои-

3.

3 2; 9 8; 9 8

да x2

16

y2

9

z 2

9

, расположенной в первом

октанте

4.

2 3;5 8; 5 8

Вычислить момент инерции относительно оси Oz

432 5

371 3

однородного тела, занимающего область V, огра-

1.

2.

10

ниченную данными поверхностями:

3.

445 13

4.

276 7

z

2 9 y

2

x

2

,

z

0,

y

3. Плотность тела

принять равной 1

№

Условие

Варианты ответа

п/п

Вычислить повторный интеграл

2

2

1.

1/2

2. 2

1

cos2 xdx

ydy

0

0

3.

sin2

4. 4

Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-

1. ln 28

2. 24

натах при данной области интегрирования D

2

x y 2 dxdy, где

3.

2ln4

4. 4ln28

D

D : 3x 2y 2 0, 3x 2y 2 0, x 1, x 4

Вычислить двойной интеграл в полярных координа-

1. ln 4

2. 4ln 9 2

xdxdy

3

тах по области D

, где

x

2

y

2 3

3.

ln 4 9

4. 4 9

D

D : x2

y2

, x2

y2

, y

4

Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-

1.

12

2. 2

ной заданными линиями y

x3 ,

y

6

4x,

y

0

3.

16

4. 8

Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-

1.

9

2. 6

5

стью

x, y),

ограниченной кривыми

3. 10

4. 3 2

D : x2

y2

3y ,

x, y) 1 x2

y2

Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-

1.

720 11

2. 725 7

ординатах:

6

x2 y 2 z dxdy dz, V :1

x

, 0

y

, 2

z

3.

63 15

4. 728 3

V

Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-

16 3

2. 7 8

ческие или сферические координаты:

1.

7

x2

y 2

dx dy dz, если V ограничено поверхно-

3.

1 12

4. 18 5

V

стями x2

y2

2z,

z

2

С помощью тройного интеграла вычислить объем

1.

8

2. 16

8

тела, ограниченного указанными поверхностями:

3. 12

4. 6

x2 1 y2 9 z 2 9 1

Вычислить координаты центра масс однородного

1.

0;0;3 2

тела, занимающего область V, ограниченную ука-

2.

0;0;8 5

9

занными поверхностями полушара:

x2

y2

z2

16 ,

z , если плотность в каждой точке пропорцио-

3.

1;0;1 2

7 5;0;7 5

нальна расстоянию точки от центра

4.

Вычислить момент инерции относительно оси OX

1.

117 2

129 2

10

однородного тела, занимающего область V, ограни-

2.

ченную данными поверхностями: x2

y2

9,

z

2 .

3.

214 3

Плотность тела принять равной 1

4.

125 2

№

Условие

Варианты ответа

п/п

Вычислить повторный интеграл

4

2

dy

1. ln(24/25)

2. ln(2/3)

1

dx

3

1 (x

y)2

3. ln(25/24)

4. ln(3/2)

Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-

1.

26/3

2. 44

2

натах при данной области интегрирования D

x

y

3)dxdy, где D : x

y

2, x

0,

y

0

3 2

4. 21

3.

D

Вычислить двойной интеграл в полярных координа-

1.

19 6ln 3 2

тах по области D, ограниченной указанными линия-

3

ми

2. 19/3

y

x2

y 2

x dxdy,

3.

3 2ln 6

D

2ln 3

D : x2

y2

4, x2

y2

9,

y

3, y

4.

Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-

1.

15

2. 4

4

ной заданными линиями x2

4 3(y

3),

6x 4y 3 0

3. 68

4. 8

Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-

1.

1/2

2.

4

5

стью

x, y),

ограниченной кривыми

3.

4. 1

D : x 0, y

2, y

x ,

x, y)

sin(x

y)

Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-

1.

15 6

2. 16 3

ординатах:

dxdy dz,

V : x 0,

y

0,

z

0,

6

17 4

4. 12 5

V

3.

2x y z 4

Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-

ческие или сферические координаты:

1. 68 23

2. 49 12

7

x2

y 2 dx dy dz,

если V : x2

2x

y2

0,

3.

64 45

4. 71 42

V

2

x z

С помощью тройного интеграла вычислить объем

1.

19 6

2. 18 5

8

тела, ограниченного указанными поверхностями:

3.

17 6

4. 19 3

x

2

y

2

z

2

4, x

2

y

2

3z

Вычислить координаты центра масс однородного

1.

0;13 2; 17

7

0;15 7; 16 17

9

тела, занимающего область V, ограниченную ука-

2.

занными поверхностями:

3.

0; 0; 16 17

y 5 4 x2 , z 8 5 5 y , z 0

4.

0;12 5; 15 7

Вычислить момент инерции относительно оси Oz

однородного тела, занимающего область V, ограни-

1. 148 3

2. 251 9

10

ченную данными поверхностями:

z

9

x2

y2 ,

3.

217 4

4.

243 2

z 0. Плотность тела принять равной 1

№

Условие

Варианты ответа

п/п

Вычислить повторный интеграл

1

1

x2 dy

1.

13

2.

/12

1

0 dx

0

1

y 2

3.

0

4.

3

Вычислить двойной интеграл в декартовых коор-

1.

16/3

2.

14

динатах при данной области интегрирования D

2

x ydxdy, где D :

y

x,

y x / 2

3. 1 2

4.

1

D

Вычислить двойной интеграл в полярных коорди-

натах по области D, ограниченной указанными ли-

1.

6

2.

ln 2

3

ниями

3.

12

4.

49

x2

y 2 dxdy, где D : x2

y2

2x

D

Вычислить площадь плоской фигуры D, ограни-

1.

24/21

2.

1/2

4

ченной заданными линиями y

2

x,

y2

4x

4

3.

2

4.

64/3

Найти массу плоской фигуры D с заданной плот-

1.

e 1)

2.

6

5

ностью

x, y), ограниченной кривыми.

3

e

D :

x

2

y

2

1 ,

x, y) e

x2

y2

3.

4.

Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-

1.

a3h 6

2.

a2h 8

ординатах:

6

dxdy dz, V : x 0, y 0, z 0, y h, x z a

3. a3 3

4. a3h 2

V

Вычислить тройной интеграл, используя цилин-

6

16

дрические или сферические координаты:

1.

2.

7

x2

y 2 dx dy dz,

если V : x2

y2

2x,

y

,

3.

8

4.

12

V

,

3

z

z

С помощью тройного интеграла вычислить объем

1.

2 41

2.

3 35

8

тела, ограниченного указанными поверхностями:

3. 3 43

4. 2 35

z x2

y2 , z 2 x2

y2 , y x, y2

x

Вычислить координаты центра масс однородного

0; 0; 4

1;0;8

9

тела, занимающего область V, ограниченную ука-

1.

2.

занными поверхностями: z

122

x2

y 2

,

12

3.

1; 1; 6

4.

0;0;8

z

R

Вычислить момент инерции относительно оси Oz

однородного тела, занимающего область V, огра-

1.

3

2.

6

10

ниченную данными поверхностями:

z

2 x2

y2

, z

2. Плотность тела принять рав-

3.

4

4.

ной 1

№

Условие

Варианты ответа

п/п

2

2x

1. 9,3

2.

9

1

Вычислить повторный интеграл dx x2 ydy

3.

3/10

4.

31/3

1

x

Вычислить двойной интеграл в декартовых координа-

1.

2 3

2.

23/3

2

тах при данной области интегрирования D

2

y dxdy, где D :

y

2 ,

y

x2

– 4

D

3.

4.

8 3

Вычислить двойной интеграл в полярных координа-

1.

2.

2

тах по области D D

dxdy

dxdy , где

3

4

x2

y 2

3. 2 +

4.

0

D :

x2

y2

x,

y

4

Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-

1. 2

3

2.

2

2 3

ной заданными линиями x

1 2 y2

1 , x

1 4 y2

1

3.

1 2

4.

5/6

Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-

1.

8

/5

2.

8

/3

5

стью

x, y),

ограниченной кривыми.

3

/16

2

3