Математика. В 4 ч. Ч. 1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f (x, y) .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

	3		dx
10.	1)		dx

		2x 2 1
	0,6	2x 2 1

7dx

11.1)

2 x 2 1

		2,6		dx
12.	1)			dx
12.	1)			x 2 1
		0,5		x 2 1
		5,2		dx
13.	1)			dx
13.	1)			x 2 0,6
		1,2		x 2 0,6
		4,4		dx
14.	1)			dx
14.	1)		3x 2 1
		1,4	3x 2 1
		3,6		dx
15.	1)			dx
15.	1)		x 2 4
		0,8	x 2 4
		4,4		dx
16.	1)			dx

				x 2 2,5
		1,6		x 2 2,5
		3,2		dx
17.	1)			dx
17.	1)			x 2 0,8
		0,6		x 2 0,8
		4		dx
18.	1)			dx

			x 2 1,2
		1,2	x 2 1,2
		4		dx
19.	1)			dx

			2x 2 0,7
		1,4	2x 2 0,7
		8		dx
20.	1)			dx

			0,5x 2 1
		3,2	0,5x 2 1
		3,4		dx
21.	1)			dx

			2x 2 0,3
		0,8	2x 2 0,3
		4		dx
22.	1)			dx

			0,5x 2 1,5
		1,2	0,5x 2 1,5
		7,2		dx
23.	1)			dx
23.	1)			x 2 3
		2,1		x 2 3

	0,8	tg(x			2		0,5) dx
2)		tg(x					0,5) dx
	0,4			1 2x 2
	0,4
	0,98		sin xdx
2)			sin xdx
	0,18		x		1
	0,18
	1,8
2)				x				1cos(x 2)dx
	0,2
	3
2)	x 2 lg xdx
	1,4
	2,2	lg(x			2		2)dx
2)		lg(x					2)dx
	1,4			x 1
	1,4
	1,2 cos(x 2)
2)				x 1					dx
	0,4
	1,6
2)	(x 2 1)sin(x 0,5)dx
	0,8
	1,4
2)	x 2 cos xdx
	0,6
2)	2	lg(x 2 3)								dx
2)				2x						dx
	1,2			2x
	1,2
	3,3	lg(x			2		0,8)dx
2)		lg(x					0,8)dx
	2,5			x 1
	2,5
	1,2 tg(x 2)
2)			x 1 dx
	0,5
	2,1	sin(x				2		1)dx
2)		sin(x
2)
	1,3		2				x
	1,3
	1
2)	(x 1)cos(x 2)dx
	0,2
	1,2	sin(x				2		0,4)dx
2)		sin(x						0,4)dx
	0,8			x 2
	0,8

		5			dx		0,63											lg(x 3)dx
24.	1)				dx	2)					x 1

			0,2x 2 1
		1,3	0,2x 2 1				0,15
		2,8			dx		2,8	lg(x					2			1)dx
25.	1)				dx	2)		lg(x
25.	1)					2)
		0,6		12x 2 0,5			1,2			2x 1
		4,2			dx		0,72								1)tg2xdx
26.	1)				dx	2)		(				x
26.	1)				3x 2 0,4	2)		(				x
		1,3			3x 2 0,4		0,6
		5,2			dx		1,2	cos x
27.	1)				dx	2)		cos x									dx
27.	1)					2)											dx
		1,4		1,5x 2 0,7			0,8 x 2 1
		2,15			dx		2,8		x		1)sin								x
28.	1)					2)		(	x										x	dx
28.	1)					2)		(												dx
		0,15			2x 2 1,6		1,2	2								2
		3,5			dx		1,6	lg(x					2			1)dx
29.	1)				dx	2)		lg(x
29.	1)					2)
		0,1			x 2 4		0,8				x 1
		4,3			dx		3,2	x						x 2
30.	1)					2)		x		lg(				x 2				)dx
30.	1)					2)				lg(								)dx
		0,3			x 2 2,3		1,6	2								2

Лабораторная работа № 3

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Общие сведения

Многие научные и технические задачи приводят к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В курсе дифференциальных уравнений изучаются методы интегрирования некоторых типов этих уравнений. К сожалению, ОДУ, которые можно проинтегрировать известными методами, встречаются сравнительно редко (хотя некоторые учебники создают впечатление, что это – не так!). Поэтому, важное значение имеют приближенные методы решения ОДУ (которые получили широкое применение в середине прошлого века в связи с развитием компьютерной техники).

Приближенные методы решения ОДУ делятся на приближенные аналитические методы (в частности, использующие степенные ряды) и численные методы. Надо отметить, что все эти методы не позволяют найти общее решение ОДУ (которое, как известно, зависит от произвольных постоянных). Эти методы дают только приближенные решения задачи Коши:

Вопрос об отыскании приближенных решений задачи (3.1) можно ставить, если выполнено условие теоремы существования и единственности этого решения, а именно в рассматриваемой области функция f (x, y) непрерывна и ее частная производная f / y огра-

ничена.

Прежде всего, надо понимать, что есть такое приближенное решение дифференциального уравнения. А именно: требуется найти

такую функцию y(x) , что для некоторого числа b x0			погрешность
max	y(x) y(x)	,	(3.2)
max	y(x) y(x)	,	(3.2)
x [x0;b]
x [x0;b]

где y(x) – точное решение задачи (3.1), – заданная точность вы-

числений. В данной работе мы рассматриваем численные методы интегрирования ОДУ.

Суть численных методов интегрирования ОДУ состоит в следующем. Интересующий нас отрезок [x0; b] числовой оси точками

x0 x1 x2

... xn b разбивается на мелкие части, при этом точки

xi ,

называют узлами

разбиения. Как правило, величины

0, n

i 1

h выбирают одинаковыми, равными h

b x0

(ве-

личина

называется

шагом

разбиения). Тогда узлы разбиения

находим по формуле xi

x0 ih , i

. Численные методы дают

0, n

алгоритм нахождения чисел

, i

, которые мало отличаются

0, n

от значений

y(xi ) , i

точного решения задачи (3.1), а также

0, n

правило оценки погрешности (3.2) (подразумевается, что найденные числа yi – значения приближенного решения y(x) в узлах xi ).

Из численных методов мы рассмотрим метод Эйлера, его модификации и метод Рунге–Кутта.

3.2. Метод Эйлера

Метод Эйлера прост. Он используется тогда, когда надо получить примерное представление о решении задачи Коши (3.1) причем на небольшом промежутке [x0; b] , так как этот метод дает до-

вольно грубое приближение (об этом см. ниже).

Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной

			y		,	т. е. дифференциальное урав-

по приближенной формуле x y
нение		заменяется на				так	называемое конечно-
	y f (x, y)
разностное уравнение		y	f (x, y) .
		x
В узлах разбиения xi и xi 1				имеем yi			yi 1 yi , x h , а это
уравнение примет вид yi			f (xi, yi ) h , или

yi 1 yi f (xi, yi ) h , i 0,1,..., n 1

(3.3)

Полученная формула является расчетной формулой метода Эйлера. Зная y(x0) y0 , по формуле (3.3) последовательно можно

вычислить значения y1, y2, y3,... .

С геометрической точки зрения, равенство (3.3) является уравнением касательной к интегральной кривой в точке (xi, yi ) . Это означа-

ет, что движение от точки (xi, yi ) к точке (xi 1, yi 1) происходит не по

интегральной кривой задачи (3.1), а по касательной к ней в точке (xi, yi ) . Т. к. на каждом шаге мы

проводим свою касательную (каждый раз к новой интегральной кривой! – поясните, почему?), то интегральная кривая заменяется ломаной линией. Поэтому этот метод называют методом ломаных Эйлера (см. рис. 3.1).

Для выяснения вопроса о погрешности метода Эйлера разложим искомое решение y(x) задачи Коши (3.1), (3.2) в узле сетки xi по

формуле Тейлора:

y(x) y(xi ) y (xi )h 0,5y ( )h2, (xi, x) .

Полагая здесь x xi 1 , получим y(xi 1) y(xi ) y (xi )h 0,5y ( )h2 . Если y (x) на отрезке [xi; xi 1] ограничена, то сравнение этой фор-

мулы с формулой (3.3), определяющей метод Эйлера, показывает, что погрешность метода Эйлера возникает от отбрасывания члена

0,5y ( )h2 . Этот член при малых h является величиной порядка h 2 . Следовательно, локальная погрешность метода Эйлера есть

величина порядка h 2 .

Если говорить о суммарной погрешности метода Эйлера, то на k -ом шаге она зависит не только от замены интегральной кривой

на отрезке [xk ; xk 1] касательной, но и от ошибок, допущенных при вычислении предыдущих значений y1, y2, ..., yk .

Теорема. Если функция f (x, y) непрерывна и ограничена вместе со

своими первыми производными в области изменения своих аргументов, то приближенное решение задачи (3.1),найденное методом Эйлера, при h 0 сходится к точному решению равномерно на отрезке [x0; xn ] с суммарной погрешностью O(h) (т.е. порядок по-

грешности совпадает с первой степенью шага).

Таким образом, метод Эйлера имеет первый порядок точности.

3.3. Модификации метода Эйлера

Фактически, метод Эйлера получен из разложения решения дифференциального уравнения (3.1) в ряд по степеням h с отбрасыванием членов, содержащих h в степени выше первой. Для получения более точной формулы можно использовать еще и член, содержащий

h 2 . На практике более широкое применение получали следующие два улучшенных метода Эйлера.

Модифицированный метод Эйлера

Расчетная формула модифицированного метода Эйлера имеет вид:

i 1

hf (x

, y

h f (x

, y

)),i 0,1, 2,...

(3.4)

Смысл этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляем приближенное значение решения при

xi h2 (то есть сдвигаемся не на шаг

h , а на полшага) обычным методом Эйлера (эту точку обычно обозначают xi 12 , чтобы показать промежу-

точный характер вычислений), а за-

тем в найденной точке определяем наклон интегральной кривой

	yi	h	f (xi, yi )	и по этому наклону определяем	yi 1 (рис. 3.2).
yi 1	yi	2	f (xi, yi )	и по этому наклону определяем	yi 1 (рис. 3.2).
2

Остаточный член модифицированного метода Эйлера (т. е. локальная погрешность) на каждом шаге имеет порядок O(h3) .

Метод Эйлера–Коши

Расчетная формула метода Эйлера–Коши имеет вид:

i 1

f (x

, y

) f (x

i 1

, y

hf (x

, y )) ,i 0,1, 2,...

(3.6)

Здесь мы сначала определяем «грубое приближение» по методу Эйлера

yi 1 yi

hf (xi , yi )

(3.7)

наклон интегральной

кривой

новой

точке

(рис. 3.3)

1 f (xi 1, yi 1) , а затем находим величину

yi 1 yi

hf (xi 1, yi )

(как бы усредняем наклон на данном

шаге

) и уточняем значение

i 1

1 ( y

i 1

)

(3.8)

Остаточный член метода ЭйлераКоши имеет на каждом шаге порядок

O(h3) .

3.4. Метод Рунге–Кутта

Метод Рунге–Кутта является одним из наиболее употребительных методов повышенной точности. Большинство компьютерных программ, предназначенных для численного интегрирования ОДУ, основаны именно на этом методе.

Пусть по-прежнему требуется найти численное решение уравнения y f (x, y) , удовлетворяющее условию y(x0) y0 , на отрез-

ке [x0; b] .

Обозначим приращение решения y(x) y(x h) y(x) , где y(x h) как раз и надо вычислить. Представим приращение y(x) в виде суммы некоторых «поправок» k j с некоторыми коэффициен-

тами p j : y(x) p1k1 p2k2 ... prkr . Общие формулы для этих поправок и коэффициентов мы здесь приводить не будем. Укажем лишь на то, что они получаются при сравнении разложений y(x) и

k j по степеням h .

Здесь мы ограничимся рассмотрением наиболее распространен-

ного «четырехточечного									метода Рунге–Кутта».								Итак, при r 4 ,
y 1	(k	2k		2k		k ) , где
6	1		2		3		4
	1		2		3		4
																k
				k hf (x, y) , k hf									x h		, y	1	,
				k hf (x, y) , k hf									x h		, y		,
				1							2			2	2
				1							2
										k	2			hf x h, y k .
		k hf			x h				, y		2	, k
		k hf			x h				, y	2		, k
			3					2		2			4				3
			3										4				3
С помощью этих формул находим сначала															y1 y0 y0 . Далее, все
последующие				значения					приближенного						решения: y2 y1 y1 ,
y3 y2 y2 ,				…,	yi 1		yi yi					, …. Этот процесс можно предста-

вить геометрически. В точке (x, y) вычисляется тангенс угла наклона касательной k1 /h ; используя его, мы идем на половину шага вперед и смотрим тангенс угла наклона здесь k2 /h . Используем его, мы опять начинаем из точки (x, y) , идем вперед на половину шага и находим тангенс угла наклона k3 /h . Взяв этот последний тангенс, мы опять начинаем из точки (x, y) , идем вперед на полный шаг и находим тангенс угла наклона k4 /h . Найденные четыре тангенса

наклона усредняем с весами 16 , 13 , 13 , 16 и, беря этот средний тан-

генс, делаем окончательный шаг от (x, y) к (x h, y y) .

Таким образом, по методу Рунге–Кутта вычисление приближен-

ного значения yi 1		в точке xi 1						xi			h производится по формулам:
	yi 1 yi				yi ,			i 0,1,..., n 1 ,													(3.9)
	y			1	(k (i) 2k (i) 2k (i) k (i)) , где
		i		6	1			2			3		4
		i			1			2			3		4
										(i)			h , y					k (i)
k (i) hf (x		, y		) ,					k	(i)	hf x							1		,	(3.10)
k (i) hf (x		, y		) ,					k		hf x									,	(3.10)
1	i		i							2		i		2		i		2
			h , y				k (i)						x					k (i) .
k (i) hf x							2			, k (i) hf					h, y
k (i) hf x										, k (i) hf					h, y
3		i		2		i	2				4			i			i		3

Известно, что локальная погрешность формул Рунге–Кутта имеет порядок O(h r ) , значит, в данном «четырехточечном» методе она составляет O(h4) .

Как видно, с алгоритмической точки зрения метод Рунге–Кутта не имеет принципиальных различий от метода Эйлера. Разница лишь в объеме вычислений: для получения нового значения y на

каждом шаге необходимо проделать все действия, предусмотренные формулами выше.

На практике применяется следующий способ контроля точности для метода Рунге-Кутта (аналогичный правилу Рунге оценки точности при вычислении определенного интеграла, см. лабораторную

работу №2) – двойной счет. Если yi , i 0, n , – вычисленные значения с шагом 2h , а yi , i 0,2n – вычисленные значения с шагом h ,

то для ориентировочной оценки погрешности					численного реше-
ния (в качестве его значений берутся			yi ) можно использовать фор-
мулу:
max		y2i	yi	.	(3.11)

	15

i 1,n

3.5.Численное интегрирование систем ОДУ

иуравнений старших порядков

Рассмотрим задачу Коши для системы

y	f (x, y , y									,..., y						)
1			1		1		2							n
	f 2(x, y1, y2,..., yn ),
y2	f 2(x, y1, y2,..., yn ),
.........
y	f				(x, y , y						,..., y						)
n				n	1				2						n
			) y 0, y					(x					) y 0,...,
y (x		0	) y 0, y			2		(x				0	) y 0,...,
1		0			1	2						0					2

n уравнений 1-го порядка

yn(x0) yn0

Саму систему и начальные условия запишем в векторной форме

(x, y)

y F

) y 0

y(x

y (x)

f (x, y)

где

y(x) y2(x)

F(x, y)

f 2(x, y)

.......

........

(x)

(x, y)

				(3.12)
			0
		y1
y	0	y20		– искомая век-
y		.......		– искомая век-
			0
		y	n
			n

тор-функция скалярного аргумента x, заданная вектор-функция скалярного аргумента x и векторного аргумента y и вектор начальных

значений соответственно. Для решения задачи (3.12) можно использовать расчетные формулы (3.3) (метод Эйлера), (3.4) (модифицированный метод Эйлера), (3.6) (метод Эйлера–Коши) и (3.9)–(3.10) (метод Рунге–Кутта), только применять их надо в векторной форме. Например, формулы (3.4) будут иметь вид

(i 1)

(i)

h F(xi

, y

F(xi, y

)), i 0,1,... ,

(3.4)

где y (i)

y(x

)

– значения искомой вектор-функции в узлах

. В

формулах (3.9)–(3.10) тоже используются векторные величины:

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20251.53 Mб0Математика-1.pdf
#
24.11.20252.24 Mб0Математика. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.17 Mб0Математика. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.2025980.98 Кб0Математика. В 2 ч. Ч.1.pdf
#
24.11.20252.25 Mб0Математика. В 2. Ч. 1.pdf
#
24.11.20254.21 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.42 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 3. Кратные интегралы и их приложения. Криволинейные интегралы, интегралы по поверхности и их приложения. Теория поля.pdf
#
24.11.20253.19 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2. Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной независимой переменной.pdf
#
24.11.20254.44 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2.pdf
#
24.11.20252 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.3.pdf
#
28.12.20253.13 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.4-1.pdf