Математика. В 2. Ч. 1

Пример 4.1. Найти решение уравнения ex

, удовле-

творяющее начальному условию y(0) 1

(задача Коши). Изобразите график

решения (интегральную кривую, проходящую через точку (0, 1)).

Решение.

1. Разделите в уравнении переменные:

ydy

ex

dx .

ex

1

4.

Введите начальные условия y(x0 ) y0 .

5.

Определите подынтегральные функции Y ( y) и X (x) :

x0 : 0;

y0 : 1;

ex

X x :

;

Y y : y .

1 ex

6.

Решите уравнение, задающее неявно y(x) как функцию переменной x :

x

y

=

x0

y0

Find y

.

4. Определите правую часть уравнения f (x, y) :

f x, y :

в 20

40, 100

равностоящих точках отрезка 0, 3 .

5. Вычислите решение

Y1:

rkfixed

y,0,3,19, f

Y 2:

rkfixed

y,0,3,39, f

Y 3:

rkfixed

y,0,3,99, f

1

2

1

2

1

2

1

0

1

1

0

1

1

0

1

2

0.15

1.011

2

0.075

1.003

2

0.03

1

3

0.3

1.046

3

0.15

1.011

3

0.06

1.002

4

0.45

1.104

4

0.225

1.026

4

0.09

1.004

5

0.6

1.189

5

0.3

1.046

5

0.12

1.007

6

0.75

1.301

6

0.375

1.072

6

0.15

1.011

7

0.9

1.436

7

0.45

1.104

7

0.18

1.016

Y1

8

1.05

1.584

Y2

8

0.525

1.143

Y3

8

0.21

1.022

9

1.2

1.727

9

0.6

1.189

9

0.24

1.029

10

1.35

1.84

10

0.675

1.242

10

0.27

1.037

11

1.5

1.907

11

0.75

1.301

11

0.3

1.046

12

1.65

1.924

12

0.825

1.366

12

0.33

1.055

13

1.8

1.9

13

0.9

1.436

13

0.36

1.066

14

1.95

1.846

14

0.975

1.509

14

0.39

1.078

15

2.1

1.771

15

1.05

1.584

15

0.42

1.091

16

2.25

1.684

16

1.125

1.658

16

0.45

1.104

6. Постройте на одном графике найденные решения.

1.924

2

Y1

2

Y2

2

1.5

Y3

2

1

1 0

1

2

3

0

Y1

1

Y2

1

Y3

1

3

Дифференциальные уравнения второго порядка. ОДУ второго порядка

имеет вид

F x, y, y

или y

.

Найти

такое

решение, которое

удовлетворяет начальным условиям

y x0 y0 ,

y

.

Решение ДУ второго порядка методом Рунге–Кутта. С помощью заме-

ны переменных y

x

вместо одного ДУ второго порядка

1,Y2

с вектором начальных условий

Y 0

.

Дальше применяем метод Рунге–Кутта с помощью встроенной функции

rkfixed Y 0, x1, x2,npoints,D , где

D x,Y

.

Пример 4.3. Решите задачу Коши методом Рунге–Кутта и постройте гра-

фик приближенного решения ДУ y

, y 0 1, y

по 60 точ-

кам отрезка 0, 6 .

С помощью замены y x Y1 x , y

x вместо заданного ДУ полу-

чим систему ДУ

2. Y 0 :

.

3.

D x,Y :

.

4.

Z: rkfixed

Y 0, 0, 6, 59, D ,

1.109

1.5

1

Z

2

0.5

0

-0.12

-0.5

0

2

4

6

Z 1

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

с

постоянными

коэффициентами.

Структура

общего решения

ДУ

y

a1 y

a2 y

0

зависит от характера корней соответствующего характери-

стического уравнения

.

Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных

корня

и

,

то фундаментальная система решений имеет вид

y1(x)

e

и y2(x)

e . Если характеристическое уравнение имеет два равных действи-

тельных

корня

,

то

фундаментальная система

решений

имеет

вид

y1(x) e

и

y2(x) xe

.

Если

характеристическое

уравнение

имеет

два

комплексных корня

и

, то фундаментальная система ре-

шений имеет вид y1(x)

и y2(x)

.

Общее решение ДУ

y

x

.

Пример 4.4. Найдите общее решение уравнения y

. Решите

задачу Коши с начальными условиями y(0) 1, y

, решенную прибли-

Given

л2

2 л

3

Find

л

4.

y1 x :

,

y2

x :

– функции фундамен-

тальной системы решений.

5.

Запишите общее решение уравнения (как функцию переменных x , c1

и c2 ).

6.

Для определения значений c1 и c2 , при которых выполняются началь-

ные условия, найдите y 0

и y

0 :

dy1 0,c1,c2 simplify

.

dyc1 x :

d

d2

dx

dx

dyc2 x

10

0

10

10

x

10

при этом

1) для

f

x

,

если

, то частное решение ДУ имеет вид

ycn x,b2,b1,b0

;

если

или

, то частное решение ДУ

ycn x,b2,b1,b0

;

если

то частное решение ДУ

ycn x,b2,b1,b0

;

2) для

f

x

Ae ,

если

, то частное решение ДУ имеет вид

ycn

x, B

;

если

или

, то частное решение ДУ

ycn

x, B

;

если

, то частное решение ДУ

ycn x, B

;

3) для

f

x

(в частности, при A1 0 или B1 0 ),

если

, то частное решение ДУ имеет вид

ycn x, A2, B2

;

если

или

, то частное решение ДУ имеет вид

ycn x, A2, B2

;

Пример 4.5.

Найдите общее

решение неоднородного уравнения

y

. Проверьте правильность решения.

ycn x, A2, A1, A0 :

.

dycn1 x, A2, A1, A0

:

d

ycn x, A2, A1, A0

dx

d2

dycn2 x, A2, A1, A0

:

ycn x, A2, A1, A0

dx2

dycn2 x, A2, A1, A0

3

a2 =1

3

=0

2

=1

3

Find a2, a1, a0

4

9

11

8.

Запишите частное решение с найденными коэффициентами a2 , a1, a0 :

ycn x : 1

4

11 .

3

9

27

9.

Запишите общее решение неоднородного уравнения:

ycno x,c1,c2 :

1

4

11 .

3

9

27

dycno2 x,c1,c2

.

Замечание.

В примере 4.5 правая

часть имеет

вид многочлена

f x

. Если в задании f (x)

или f x

,

Варианты заданий

Вариант 1

1. Найти решение уравнения с разделяющимися переменными ex

3ydy xdx ,

удовлетворяющее начальному условию y(0) 1 (задача Коши).

Изобразить