Математика. В 2 ч. Ч

n1 n2 = 0 или A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 .

Если две плоскости параллельны, то параллельны и их нормальные векторы. Учитывая условие параллельности векторов, получаем условие параллельности двух плоскостей:

A1 A2 = B1 B2 =C1 C2 ≠ D1 D2 .

9. Расстояние от точки до плоскости

Расстоянием от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Р: Ax + By + Cz + D = 0

называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на плоскость Р. Искомое расстояние находится по формуле

Оно равно взятому по абсолютной величине результату подстановки координат точки в нормальное уравнение плоскости. Знак результата этой подстановки характеризует взаимное расположение точки и начала координат относительно данной плоскости: “плюс”, если точка M 0 и начало координат расположены по разные стороны от плоскости, и “минус”, если они расположены по одну сторону от плоскости.

3.11.Прямая

1.Общие уравнения прямой в пространстве

Прямую в пространстве можно однозначно определить пересечением двух плоскостей

P1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, P2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,

нормальные векторы n1 (A1 , B1 ,C1 ) и n2 (A2 , B2 ,C2 ) которых непараллельны. Уравнения называются общими уравнениями прямой в пространстве.

41

2. Канонические уравнения прямой

Пусть a(m;n, p) – вектор, параллельный прямой L , называемый направляющим вектором этой прямой, и M 0 (x0 , y0 , z0 ) – точка, лежащая на этой прямой. Вектор M 0 M , соединяющий точку M 0 с произвольной точкой M (x, y, z)

Полученные уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве и определяют прямую, проходящую через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) и параллельную вектору a(m,n, p).

3. Параметрические уравнения прямой

От канонических уравнений прямой, вводя параметр t, нетрудно перейти к

параметрическим уравнениям:

42

и уравнения называются уравнениями прямой, проходящей через две данные точки.

5. Угол между прямыми

Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями

векторами a1 (m1;n1; p1 ) и a2 (m2 ;n2 ; p2 ). Величина угла ϕ между ними определяется из формулы

Для нахождения острого угла между прямыми L1 и L2 числитель правой части формулы следует взять по модулю.

6. Условие перпендикулярности двух прямых.

Если прямые L1 и L2 перпендикулярны, то скалярное произведение их направляющих векторов a1 a2 = 0, т. е.

m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0.

7. Условие параллельности двух прямых.

Если прямые L1 и L2 параллельны, то параллельны их направляющие векторы a1 и a2 . Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны:

43

m1 = n1 = p1 . m2 n2 p2

8. Условие компланарности двух прямых.

Пусть прямая L1 проходит через точку M1 (x1 , y1 , z1 ) , прямая L2 – через

векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Следовательно, необходимым и достаточным условием нахождения двух прямых, заданных их каноническими уравнениями, в одной плоскости является

либо параллельны, если a1 || a2 . Если условие не выполняется, то прямые L1 и L2

являются скрещивающимися.

9. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

10. Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой L и плоскостью Р называют угол ϕ, образованный прямой L и ее проекцией на плоскость Р.

Если прямая L задана каноническими уравнениями, а плоскость Р – общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0 , тогда косинус угла ме жду нормальным

44

вектором n(A, B,C) к плоскости и направляющим вектором a прямой определяется

Если прямая L параллельна плоскости Р, то векторы n и a перпендикулярны, а потому a n = 0 , т. е.

Am + Bn + Cp = 0

является условием параллельности прямой и плоскости.

Если прямая L перпендикулярна плоскости Р, то векторы n и a параллельны. Поэтому равенства

mA = Bn = Cp

являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.

11. Пересечение прямой с плоскостью.

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью нужно решить совместно их уравнения, для чего следует воспользоваться параметрическими уравнениями прямой. Подставляя x, y, z из этих уравнений в уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 , получим уравнение относительно неизвестного параметра t:

Возможны следующие случаи:

45

1) При Am + Bn + Cp ≠ 0 уравнение относительно t имеет единственное решение

t = −(Ax0 + By0 + Cz0 + D)(Am + Bn + Cp).

Подставив это значение t в параметрическое уравнение прямой, найдем координаты точки пересечения М.

2) При

Am + Bn + Cp = 0, Ax0 + By0 +Cz0 + D ≠ 0

уравнение (*) не имеет решения, и прямая не имеет общих точек с плоскостью. Условия 2) являются условиями параллельности прямой и плоскости.

3) При

Am + Bn + Cp = 0, Ax0 + By0 +Cz0 + D = 0

любое значение t является решением уравнения (*), т. е. любая точка прямой принадлежит плоскости. Последние равенства называются условиями принадлежности прямой плоскости.

3.12. Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовы координаты x, y, z которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dyz + 2Exz + 2Fxy + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0 .

Это уравнение называется общим уравнением поверхности второго порядка и

может определять сферу, эллипсоид, однополостный или двуполостный гиперболоид, эллиптический или гиперболический параболоид, цилиндрическую или коническую поверхность второго порядка. Оно может также определять

46

совокупность двух плоскостей, точку, прямую или не иметь геометрического смысла (определять мнимую поверхность).

При D = 0 , E = 0 , F = 0 общее уравнение принимает вид

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0

и легко упрощается с помощью параллельного переноса осей координат, что позволяет сразу установить его геометрический смысл.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка:

1.Эллипсоид: x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 =1.

2.Гиперболоид

а) однополостный: x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 =1; б) двуполостный: x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = −1.

3.Конус второго порядка: x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 0.

4.Параболоид

в) параболический: y2 = 2 px, p > 0.

Одним из основных методов исследования формы поверхности по ее уравнению является метод сечений.

Пример 1. Методом сечений исследовать форму поверхности, заданную

47

видно, что при h > 2 уравнение не имеет решений относительно (x, y), т. е. рассматриваемая поверхность целиком расположена ниже плоскости z = 2 . При h ≤ 2 в любом сечении получается эллипс с полуосями a = 42 − h , b = 52 − h , вырождающийся в точку x = y = 0 при h = 2.

3.13.Пределы числовой последовательности

ипредел функции

Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция,

Число a называется пределом последовательности (an ), если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется число N(ε) такое, что для всех членов последовательности с номерами n > N(ε) выполняется неравенство an − a < ε,

при этом пишется lim an = a .

n→∞

С помощью логических символов это определение можно записать:

nlim an = a ε > 0, N(ε), n > N(ε) an − a < ε.

→∞

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном

случае – расходящейся. Если lim an = 0, то (an )называется бесконечно малой

n→∞

последовательностью (б. м. п.).

Такие последовательности обладают следующими свойствами:

1.Алгебраическая сумма конечного числа б. м. п. есть б. м. п.

2.Произведение конечного числа б. м. п. есть б. м. п.

3.Произведение б.м.п. на ограниченную последовательность есть б. м. п.

48

lim f (x)= b . При п омощи логических символов это определение можно записать

x→x0

так:

xlimx f (x)= b ε > 0, δ(ε): x, 0 < x − x0 < δ f (x)− b < ε.

→ 0

Если в этом выражении рассматривать только x < x0 (x > x0 ), то понятия левого

(правого) предела функции в точке x0 , который обозначается lim f (x) или

x→x0 −0

lim f (x)= b ε > 0, N(ε), x > N(ε) f (x)− b < ε.

x→+∞

49

50