Математика. В 2 ч. Ч

4)(i, j,k)= 0;

5)(a,b,c)= ([a,b],c)= (a,[b,c]).

параллелепипеда, построенного на некомпланарных векторах a, b, c, взятому со

Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен

1 →, →, → .

V = 6 a b c

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a, b, c является равенство нулю их смешанного произведения:

(a,b,c)= 0.

3.9. Прямая на плоскости

1. Общее уравнение прямой

Теорема. В декартовой прямоугольной системе координат О х у на плоскости любая прямая может быть задана уравнением первой степени относительно х и у:

31

где А, В, С – некоторые действительные числа, причем A2 + B2 ≠ 0 , и обратно, всякое уравнение вида (3.3) определяет прямую.

→

Всякий ненулевой вектор n = (A, B), перпендикулярный к прямой (3.3), называется нормальным вектором прямой. Уравнение (3.3) называется общим

→

уравнением прямой с нормальным вектором n(A, B).

Возможны частные случаи.

1)C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0. Прямая Ax + By = 0 проходит через начало координат.

2)A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0. Прямая Bx + C = 0 (или y = −CB ) параллельна оси O x .

3)B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0. Прямая Ax + C = 0 (или y = −C A) параллельна оси O y .

4)A = C = 0, B ≠ 0 . Прямая B y = 0 (или y = 0) совпадает с осью O x .

5)B = C = 0, A ≠ 0 . Прямая A x = 0 (или x = 0) совпадает с осью O y .

Если прямая l проходит через заданную точку M 0 (x0 , y0 ) перпендикулярно

→

данному ненулевому вектору n(A, B), то уравнение прямой будет иметь вид

A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0

→

и называется уравнением прямой с нормальным вектором n(A, B) и проходящей через заданную точку M 0 (x0 , y0 ).

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если в общем ур авнении прямой B ≠ 0 , то его можно разрешить относительно у и представить в виде

y = kx + b ,

где k = − AB, b = −CB .

Полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k, где k = tgα.

32

Угол α (0 ≤ α < π), отсчитываемый от положительного направления оси O x до прямой против хода часовой стрелки, называется углом наклона прямой, число b определяет величину отрезка, отсекаемого прямой на оси O y .

Если прямая проходит через точку M 0 (x0 , y0 ), то имеем уравнение y − y0 = k(x − x0 ) ,

называемое уравнением прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через заданную точку M 0 (x0 , y0 ).

3. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Если прямая проходит через две точки M1 (x1, y1 ) и M 2 (x2 , y2 ), подставив их

x1 ≠ x2 ; y1 ≠ y2 .

4. Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой C ≠ 0, то, разделив все его члены на − C ,

взятые с соответствующими знаками (в зависимости от того, положительные или отрицательные полуоси координат пересекает прямая).

33

5. Каноническое уравнение прямой

→

Если прямая проходит через точку M 0 (x0 , y0 ) параллельно вектору a(m,n), называемому направляющим вектором прямой, то ее уравнение имеет вид:

x −mx0 = y −n y0

иназывается каноническим уравнением прямой на плоскости.

6.Параметрические уравнения прямой

7. Нормальное уравнение прямой

Если обе части общего уравнения прямой A x + B y + C = 0 умножить на число µ =1(± A2 + B2 ) (которое называется нормирующим множителем), причем знак перед радикалом выбрать так, чтобы выполнялось условие µ C < 0, то получается уравнение

xcos α + ysin α − p = 0 .

34

Это уравнение называется нормальным уравнением прямой. Здесь р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, α – угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси O x .

8. Угол между двумя прямыми

Под углом ϕ между двумя прямыми будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельна или совпала с другой прямой (0 ≤ ϕ≤ π2).

1. Если прямые заданы общими уравнениями A 1x + B 1 y + C 1= 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 , то косинус угла между ними находится как косинус угла

35

Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо, чтобы выполнялось равенство k1 = k2 , а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы

9. Пересечение прямых. Расстояние от точки до прямой. Пучок прямых

Если A1 ≠ B1 , то координаты точки пересечения прямых A1x + B1 y + C1 = 0

A2 B2

A2 x + B2 y + C2 = 0, то уравнение

A1x + B1 y + C1 + λ(A2 x + B2 y + C2 )= 0,

где λ – числовой множитель, определяет прямую, проходящую через точку пересечения заданных прямых. Придавая различные значения, будем получать различные прямые, принадлежащие пучку прямых, центр которого есть точка пересечения заданных прямых.

36

3.10.Плоскость и прямая в пространстве

1.Общее уравнение плоскости

Теорема. Всякая плоскость в пространстве может быть задана уравнением первой степени относительно переменных x, y, z :

Ax + By + Cz + D = 0 ,

если A2 + B2 + C2 ≠ 0 .

Всякое уравнение первой степени относительно переменных x, y, z определяет некоторую плоскость в пространстве.

Полученное уравнение называется общим уравнением плоскости. Здесь A, B, C – координаты ненулевого вектора n(A, B,C), перпендикулярного плоскости,

называемого нормальным вектором плоскости.

Положение плоскости в пространстве вполне определено, если известны точка M 0 (x0 , y0 , z0 ), принадлежащая ей, и нормальный вектор n(A, B,C).

Тогда уравнение плоскости имеет вид:

A(x − x0 )+ B(y − y0 )+ C(z − z0 )= 0

и называется уравнением плоскости с нормальным вектором n(A, B,C). и проходящей через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ).

Частные случаи расположения плоскости, определяемой общим уравнением:

1)A = 0; параллельна оси O x ;

2)B = 0; параллельна оси O y ;

3)C = 0 ; параллельна оси O z ;

4)D = 0 ; проходит через начало координат;

5)A = B = 0; перпендикулярна оси O z (параллельна плоскости xOy );

6)A = C = 0 ; перпендикулярна оси O y (параллельна плоскости xOz );

37

7)B = C = 0 ; перпендикулярна оси O x (параллельна плоскости yOz );

8)A = D = 0 ; проходит через ось O x ;

9)B = D = 0 ; проходит через ось O y ;

10)C = D = 0; проходит через ось O z ;

11)A = B = D = 0 ; совпадает с плоскостью xOy (z = 0);

12)A = C = D = 0; совпадает с плоскостью xOz (y = 0);

12) B = C = D = 0; совпадает с плоскостью yOz (x = 0).

Существуют различные способы задания плоскости и соответствующие им виды ее уравнения.

2. Уравнение плоскости в отрезках

Если в общем уравнении плоскости коэффициент D ≠ 0, то разделив все члены уравнения на − D , уравнение плоскости можно привести к виду

M1M3 (x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1 ) компланарны и, значит, их смешанное произведение равно нулю, т. е. (M1M , M1M 2 , M1M3 )= 0 или

38

Это равенство и является уравнением плоскости, проходящей через три точки. Раскрыв данный определитель по элементам первой строки, придем к уравнению плоскости по точке и нормальному вектору.

4. Нормальное уравнение плоскости

Пусть n° – единичный вектор нормали к плоскости Р, проведенный к ней из

Вкоординатной форме уравнение принимает вид xcosα + ycosβ + z cos γ − p = 0

иназывается нормальным уравнением плоскости.

Для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду, следует все члены уравнения умножить на нормирующий множитель

µ = ±1A2 + B2 + C2 , где знак выбирается противоположным знаку свободного члена D.

5. Уравнение плоскости, параллельной двум данным векторам

Положение плоскости в пространстве также определено единственным образом, если известны два неколлинеарных вектора a1 (m1,n1, p1 ) и a2 (m2 ,n2 , p2 ), параллельных плоскости, и точка, через которую эта плоскость проходит. В качестве нормального вектора плоскости Р можно взять вектор векторного произведения n = [a1 ,a2 ], перпендикулярный к векторам a1 и a2 , а значит и к плоскости P . Зная точку, через которую проходит плоскость Р, можно записать уравнение вида A(x − x0 )+ B(y − y0 )+ C(z − z0 )= 0.

39

Также получить уравнение плоскости можно, выбрав произвольную точку

которое является уравнением плоскости, параллельной двум векторам и проходящей через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ).

6. Уравнение пучка плоскостей

Уравнение

A1 x + B1 y + C1 z + D1 + λ(A2 x + B2 y + C2 z + D2 )= 0

при произвольном λ определяет некоторую плоскость, проходящую через

плоскостей, проходящих через эту прямую. Такое уравнение называют

уравнением пучка плоскостей.

где n1 (A1 , B1 ,C1 ) и n2 (A2 , B2 ,C2 ) – нормальные векторы данных плоскостей.

8. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

40