Математика. В 2 ч. Ч

Решение.

Преобразуем

уравнение

z − 4 = −(x2 + y2 ),

получим

3

+ 5x + x4

− 3

n2

+ 3n −1

n2

1 + 2x

а) lim

;

б)

lim

;

в) lim

.

2

+ x3

+ 3n − 2

x − 2

x→∞

x→4

n→∞

n2

Решение.

а) lim 3 + 5x + x4

∞

3

+

5

+1

1

=

= lim

x4

x3

=

= ∞.

∞

0

x→∞

2 + x

3

x→∞

2

1

+ x

x4

−3

=

0

(

− 3)(

+ 3)(

+ 2)=

б) lim

1 + 2x

= lim

1 + 2x

1 +

2x

x

x→4

x − 2

0

x→4

(

x − 2)(

x + 2)(

1 + 2x + 3)

(2x −8)(

+ 2)

2(

+ 2)

8 =

4 .

= lim

x

= lim

x

=

(x − 4)(

1 + 2x + 3)

x→4

x

→4

1 + 2x + 3

6

3

n2 + 3n −1

n2

∞

1

n2

в) lim

=[1 ]= lim 1 +

=

n2 +

n→∞

n2 + 3n − 2

n→∞

3n − 2

1

(n

2

+3n−2)

n2

2

lim

1

n

3

2

2

n→∞

= lim 1 +

n

+3n−2

= e

lim

= e

1+

+

= e

.

n

+3n−2

n

2

n→∞

n

2

1

n→∞

n2 + 3n − 2

Задание 1.9. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

а) lim sin x − cos x

;

б) lim e−3x2

−1;

в)lim(2x +1)(ln(x + 3)− ln x).

x→4

1 − tgx

x→0

x

2

x→∞

π

lim sin x − cos x =

0

= lim

(sin x − cos x)′

= lim cos x + sin x =

= −2

а)

2

.

2

π

1 − tgx

0

π

(1 − tgx)′

π

1

1

x→ 4

x→ 4

x→ 4

−

−

cos2 x

2

б)

lim e−3x2

−1 =

0

= lim =

(e−3x2

−1)′

= lim e−3x2 (− 6x)= −3.

0

x→0

x

2

x→0

(x

2 )′

x→0

2x

x + 3

x + 3 2 x+1

в) lim(2x +1)(ln(x + 3)− ln x)= lim(2x +1)ln

=

[∞ 0]= limln

=

x

x

x→∞

x→∞

x→∞

3

x

3x (2 x+1)

6 x+3

lim 6 x+3

3

6.

= lnlime

x

= lne

x→∞

x =

lnlim 1 +

x

x→∞

x→∞

Задание. 1.10. Вычислить производные функций.

1

а)

y = cos(1 − πx) 10x ;

б) y = 3

;

в)

y = arcsin2 (ln(ax + b)).

8 − 4sin2 x

Решение.

а)

1

′

1

1

′

y = cos(1 − πx) 10x ,

y′ = (cos(1 − πx)) 10x + cos(1 − πx) 10x

=

= −sin(1

′

1

+ cos(1 − πx)

1

ln10

1

′

1

+

− πx) (1 − πx)

10x

10x

= −sin(1 − πx)(− π) 10x

x

1

1

1

1

+ cos(1 − πx) 10x

ln10

−

=10x πsin(1 − πx)−

ln10cos(1

− πx) .

x2

x2

б)

y = 3

x)′ =

8 − 4sin2 x = (8 − 4sin2 x)3 ; y′

= 13 (8 − 4sin2 x)−3

(8 − 4sin2

1

2

1

′

2arcsin(ln(ax + b))

(ln(ax + b))

=

1 − ln2 (ax + b)

= 2arcsin(ln(ax + b))

1

a

.

ax + b

1 − ln2 (ax + b)

Задание. 1.11. Найти

dy

, если

dx

а)

y = xx

2

;

б) y2 + x = ex−y ;

y = arccos(1 + t2 ),

в)

2

.

x

= e−t

Решение.

а) y = xx2 ,

ln y = x2 ln x ;

1

y′ = 2x ln x + x2 1x ;

y

y′ = y(2xln x + x)= xx2 x(2ln x +1).

б)

y2 + x = ex−y . Функция y(x) задана неявно, поэтому 2y y′ +1 = ex−y (1 − y′)

или 2y y′ + e

x−y

y′

x−y

1, y′ =

ex−y −1

= e

−

.

2y + ex−y

в)

y = arccos(1 + t2 ),

Воспользуемся

формулой

y′x =

y′

,

где

2

t

.

xt′

x = e−t

yt′ = (arccos(1 − t2 ))′ = −

1

(2t)=

− 2t

=

− 2

≈

− 2

;

1 −(1 − t2 )2

− 2t2 − t4

− 2 − t2

− 2 − t2

Задача 1.12. Найти d 2 y , если y =

ln2 x − 4

.

Решение.

y′ = (ln2

1

′

1

(ln2

x − 4)−

1

(ln2 x −

4)1 =

d 2 y = y′′ dx2 .

x − 4)2

=

2

2

=

1

2ln x

1

=

ln x

;

x

2 ln2 x − 4

x

ln2 x − 4

x2ln x

1

1

x

x

ln2 x − 4

− ln x

ln2 x − 4

+

x